广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试数学试卷

这是一份广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则( )
A. B. 5C. D. 8
3.在等差数列中，若，则( )
A. 7B. 12C. 16D. 24
4.双曲线的一个顶点到渐近线的距离为( )
A. B. 4C. D.
5.已知向量与的夹角为，且，，则( )
A. B. C. 4D. 2
6.的展开式中常数项的系数为( )
A. 70B. 56C. 28D. 8
7.有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为( )
A. 40种B. 60种C. 80种D. 120种
8.已知三棱锥的体积是，A，B，C是球O的球面上的三个点，且，，，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是( )
A. 若，则A，B相互独立B. 若A，B互斥，则A，B不相互独立
C. 若，则D. 若，则
10.已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有( )
A. 的一个对称中心
B. 的对称轴方程为
C. 在上的值域为
D. 的单调递减区间为
11.已知函数的定义域为R，且，若，则( )
A. B.
C. 为减函数D. 为奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则在点处的切线斜率是__________.
13.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则__________.
14.记实数，，，的最小数为，若，则函数的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点.
求证：平面
求平面与平面夹角的余弦值.
16.本小题15分
某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，
写出一个递推公式，表示与之间的关系;
求的值其中，，
17.本小题15分
如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置
求
求
指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由.
18.本小题17分
一动圆与圆外切，同时与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线
求曲线E的方程，并说明E是什么曲线;
若点P是曲线E上异于左右顶点的一个动点，点O为曲线E的中心，过E的左焦点F且平行于OP的直线与曲线E交于点M，N，求证：为一个定值.
19.本小题17分
帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，注：，，，，为的导数
已知在处的阶帕德近似为
求实数a，b的值;
比较与的大小;
若有3个不同的零点，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.
解出集合B，按照集合的交运算法则进行运算即可.
【解答】
解：因为，
集合，
所以，
故选：
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查复数的几何意义以及复数的四则运算，属于基础题.
由复数的几何意义知：，再由复数的四则运算，即可求解.
【解答】解：因为复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，所以，
所以
故选
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质，属于基础题.
观察数列下标根据等差数列的性质进行求解．
【解答】
解：在等差数列中，
若，则，
所以，
所以
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查双曲线简单几何性质及渐近线，同时考查点到直线的距离公式，属于基础题.
求出顶点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解.
【解答】
解：由双曲线的方程知两顶点，
渐近线方程为，
由对称性，不妨求到直线的距离，
故选
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查两个向量的数量积坐标运算公式的应用，向量的模，属于基础题．
根据的坐标求出它的模，利用数量积运算求出所求向量的模．
【解答】解：由得，，又，
则
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．
由展开式通项公式，令，解得r即可得结论.
【解答】解：的展开式的通项公式为，
令，解得，
故的展开式中常数项为
故选：
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，分2种情况讨论：①四人中有3人被录取，②四人都被录取，再由分类加法计数原理即可求【解答】
解：根据题意，分2种情况讨论：
①四人中有3人被录取，有种不同的录用情况；
②四人都被录取，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校，
有种不同的录用情况；
所以共有种不同的录用情况．
故选
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三棱锥的外接球问题，球的表面积，正弦定理、余弦定理的应用，棱锥的体积，是中档题.
利用正弦定理即可求出的外接圆半径，即可求出三棱锥的高，利用余弦定理即可求出，可计算出三角形 ABC的面积，再利用锥体的体积公式，进而求解.
【解答】
解：因为，，
所以由正弦定理得，的外接圆半径为，
在中，由余弦定理可得
所以，
所以，
因为，
球半径，
所以球O的表面积，
故选
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了相互独立事件及条件概率的求法，属于基础题.
由条件概率及相互独立事件的概率对选项逐一判断即可.
【解答】解：因为事件A，B相互独立，
，
所以A，B相互独立，故A正确；
因为A，B互斥，则，
故A，B不可能相互独立，故B正确;
，
，故C正确；
，
，
，故D错误.
故选
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查三角恒等变化及诱导公式，考查由部分图象求三角函数的解析式，属于一般题.
由题图可得，根据三角恒等变换可得，再由余弦函数的对称性、单调性、值域逐项判断即可.
【解答】
解：由题图可得，，解得
又，
可得，解得
因为，所以，
所以
所以
对于A，当，，所以不是的一个对称中心，故A错误；
对于B，令，可得，
故的对称轴方程为，故B正确；
对于C，时，，所以，
故在上的值域为，故C正确；
对于D，令，，解得，
所以的单调递减区间为，故D正确.
故选
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数求值，函数的奇偶性、单调性，属于中档题.
利用已知条件利用赋值法以及函数奇偶性、单调性的定义即可求解.
【解答】解：，时，，，
而，，
，时，，
，，故B正确；
令，⨉，，
令，，故A正确；
，是奇函数，故D正确.
令，则，为增函数，故C错误；
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.
由题意，求出的导函数，即可得该切线的斜率.
【解答】
解：，
，
时，，
则在点处的切线斜率是
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦定理及变形、逆用两角和与差的正弦公式和诱导公式的应用，属于中档题．
由正弦定理及三角形中角之间的关系可得的值，再由角C的范围，可得角C的大小；再由，可得，由此即可求出结果.
【解答】
解：因为，
由正弦定理可得，
可得，
在三角形中，，且，
所以，，
所以；
所以，
因为，
所以，
所以
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的最值，涉及函数图像的作法，属于基础题.
由题意作出函数的图像，结合图像易得函数的最值.
【解答】
解：如图所示
，
的图象为图中的实红线部分，
则易知所求最大数即为图中A点的纵坐标．
又，可得，故所求最大值为
故答案为
15.【答案】解：以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，，，
所以，，，
，，，
因为，所以，
又平面，平面，
所以平面
设平面的法向量为，
则
取，则，所以，是平面的一个法向量，
又因为平面，
所以为平面的一个法向量，
则，，
设平面与平面的夹角为，
则，，
即平面与平面的夹角的余弦值为

【解析】本题考查了线面平行的向量表示和平面与平面所成角的向量求法，是中档题.
建立空间直角坐标系，利用线面平行的向量表示即可得证；
得出平面的一个法向量，利用空间向量求解即可.
16.【答案】解：由题意，得，并且
将化成
比较①②的系数，可得
解这个方程组，得
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则
所以头

【解析】主要考查了等比数列的应用，等比数列的求和公式，属于中档题.
由题意，可得；
原式可化为，结合可求出r，k，可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，进而利用等比数列的求和公式可得答案.
17.【答案】解：设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，则，，
所以
，
若n为偶数，中间的一项取得最大值，即概率最大，此时，
所以质点最有可能位于位置0，
若n为奇数，中间的两项，取得最大值，即或概率最大，
此时或，所以质点最有可能位于位置1或
【解析】本题主要考查二项分布，属于中档题.
设质点n次移动中向右移动的次数为Y，则Y∽，，
利用即可；
利用即可；
先得到，然后分别讨论即可.
18.【答案】解：设动圆的圆心，动圆半径为r，
化为标准方程，
圆心，，
化为标准方程，
圆心，，
依题意得，，
，
是以为焦点的椭圆，
，，，
所以曲线曲线E的是焦点在x轴上，对称中心在原点，以为焦点的椭圆；
当弦OP的斜率不存在时，此时弦OP为椭圆的短半轴，此时，
此时直线MN为椭圆的通径，满足，
从而，
当弦OP的斜率存在时，设为k，
设直线OP的方程为，代入曲线E得，
从而
设直线，代入曲线E得，
设，，则，，
，
所以，
综上所述，为一个定值
【解析】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系和椭圆中的定值问题，是较难题.
设动圆的圆心，动圆半径为r，依题意得，，则，由椭圆的定义可得结论；
当弦OP的斜率不存在时，此时弦OP为椭圆的短半轴，可得，当弦OP的斜率存在时，设为k，设直线OP的方程为，代入曲线E，结合韦达定理和向量的数量积可得，可得结论.
19.【答案】解：由，，
知，，，，
由题意，，
所以，
所以，
由知，，令，
则，
所以在其定义域内为增函数，又，
时，
时，
所以时，时，
由知，，注意到，则除1外还有2个零点，设为，，
，
令，
当时，在上恒成立，则，
所以在上单调递减，不满足，舍去，
当时，除1外还有2个零点，设为，，则不单调，
所以存在两个零点，
，解得，
当时，设的两个零点分别为s，，
则，，
，当时，，，则单调递增，
当时，，，则单调递减；当时，，，则单调递增，
又，不妨设，，而，且，，且，
所以存在，，满足即有3个零点，1，，
综上所述，m的取值范围为

【解析】本题考查导数的综合应用，考查新定义问题，考查分类讨论思想，属于难题.
求出，，，，根据，列方程组即可求解；
令，利用导数研究的单调性即可比较大小；
，除1外还有2个零点，设为，，，由导数由函数零点个数求m的范围.