高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步练习题

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题型1 求二次函数的值域或最值
1．已知全集，集合，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求集合中函数的值域，得到集合，再由集合交集和补集的定义求.
【详解】函数值域为，则，
又，则有，所以.
故选：D.
2．已知 ，则函数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次函数的图象和性质求解即可.
【详解】因为表示对称轴为，开口向下的抛物线，
所以当时取最大值，
故选：C
3．已知，，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的单调性判断求解.
【详解】，，开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值为，
结合对称性，当时，函数取得最大值为5，
所以的取值范围为.
故选：C.

题型2 二次函数的图象分析与判断
1．已知二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．其图像的开口向上B．图像的对称轴为直线
C．当时，随的增大而减小D．函数有最小值3
【答案】C
【分析】求得二次函数图像的开口方向判断选项A；求得二次函数图像的对称轴判断选项B；求得二次函数当时的单调性判断选项C；求得3为函数最大值否定选项D.
【详解】选项A：二次函数开口向下.判断错误；
选项B：二次函数图像的对称轴为直线.判断错误；
选项C：二次函数当时，随的增大而减小.判断正确；
选项D：当时，函数有最大值3，该函数无最小值.判断错误.
故选：C
2．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解的关系，再代入函数，即可分析函数的图象.
【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，，
故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合.
故选：A
3．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）

B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案.
【详解】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确.
故选：D

题型3 判断二次函数的单调性和求解单调区间
1．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.
【详解】当时，不等式恒成立，
当时，满足不等式恒成立；
当时，令，则在上恒成立，
函数的图像抛物线对称轴为，
时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
2．下列区间中，使函数逐渐增加的区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用二次函数的单调性可得出结果.
【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
所以，函数的增区间为，
故选：D.
3．函数在（ ）单调递增.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简函数的解析式，由此作出函数的大致图象，可得答案.
【详解】依题意，,
作出函数的大致图象如图所示；
观察可知，函数在，上单调递增，在上单调递减，
故选:D.
题型4 与二次函数相关的复合函数问题
1．函数，则恒成立的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据原函数表示出，化简后解不等式；
【详解】解：由题意得
故
，解得
故选：B
2．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数性质即可确定定义域为R时的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
则由二次函数性质可知，
解得，
即，
故选：A.
【点睛】本题考查了二次函数性质的简单应用，属于基础题.
3．若函数f（x）的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A．0≤a＜8B．0≤a≤6C．0＜a≤8D．6＜a≤8
【答案】A
【分析】由题得恒成立,再分情况讨论即可.
【详解】因为函数f（x）的定义域是R,故恒成立.
当时成立.当时,,解得.故.
故选：A
【点睛】本题主要考查了定义域与二次函数恒成立的问题,属于基础题型.

题型5 一元二次不等式的概念及辨析
1．一元二次不等式的解集为的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案.
【详解】由的解集为空，结合对应二次函数性质有.
故选：B
2．“”是“关于的方程有两个不等实根”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据“关于的方程有两个不等实根”解出的范围，进而判断即可.
【详解】因为关于的方程有两个不等实根，
所以，解得或，
所以“”是“关于的方程有两个不等实根” 既不充分也不必要条件.
故选：D
3．“”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由真子集列不等式组求解可得.
【详解】易知．∵“”的一个充分不必要条件是“”，
∴，则或，解得．
∴实数a的取值范围为．
故选：D

题型6 解不含参数的一元二次不等式
1．若命题“，”是假命题，则不能等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】转化为命题的否定“，”为真命题，用关于的一次函数来考虑，即可求解.
【详解】根据题意，知原命题的否定“，”为真命题.
令，故，解得.
故选：D.
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定义分析即得解
【详解】由，
解得，
由且，
解得，
故，充分性不成立；
，必要性成立
故是成立的必要不充分条件
故选：B.
3．分式不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解.
【详解】由，得，
即，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
题型7 一元二次方程根的分布问题
1．整数使关于的不等式组解集中的整数只有，则由的值组成的集合为 ．
【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的集合．
【详解】由，
得或，
由，
得，
当时，，无解，不合题意；
当时，，则原不等式组的解集中不包含，不合题意；
当时，，
因为原不等式组的解集中只有一个整数，
如图，结合数轴可知，，，
所以.
故答案为：.
2．关于x的方程无解，则a的取值范围为 ，此时关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】方程无解，可由求出a的取值范围，将转化为，再结合a的取值范围可求出其解集.
【详解】方程无解，则，所以，
不等式可化为，
因为，所以，故，
即不等式的解集是.
故答案为：，
3．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 ．

【答案】
【分析】由二次函数的图象可知方程的两根分别为1和2，且，然后利用韦达定理可求得，，代入中化简求解即可.
【详解】根据函数图像可知，方程的两根分别为1和2，且，
根据韦达定理，可知，，即，，
代入中可得，
化简可得，解得．
故答案为：

题型8 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
1．若的函数值有正值，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由二次函数图像性质即可得出结论.
【详解】由的函数值有正值可知函数的图像与轴有两个交点，所以，即或.
故答案为：
2．若正数a，b满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据题意，转化为关于的方程存在实数解，结合，即可求解.
【详解】由题意知，正数满足，
即关于的方程存在正实数解，
由方程的图象表示开口向上的抛物线，且对称轴为，
要使得方程存在正实数解，
则只需满足，即，
因为，可得，解得，所以的最小值为.
故答案为：.
3．函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意可得恒成立，即恒成立，然后分类讨论，即可求解.
【详解】由题意可得恒成立，即恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，由解得；
故的取值范围为.
故答案为：.

题型9 一元二次不等式在实数集(某区间)上恒成立问题
1．关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用判别式法求解.
【详解】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集，
所以，对恒成立，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为，
故答案为：
2．关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可.
【详解】结合题意知．即解得，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
3．已知在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】用求二次函数的性质列不等式来解题.
【详解】解析：设．其图象是开口向下的抛物线，
根据题意得解得．
故答案为：.
题型10 一元二次不等式在某区间上的有解问题
1．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围.
【详解】由，
因为，所以，令，
由，
构造函数，
即，当且仅当时取等号，
所以
故答案为：.
2．若关于的不等式组解集不为空集，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】依题意有，要满足题意只需，解不等式即可得到答案.
【详解】依题意有，要使不等式组的解集不是空集，
应有，即，解得，
实数的取值范围是，
故答案为：.
3．若命题为真命题，则m的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用二次函数性质求解可得.
【详解】由题意，不等式有解，即不等式有解，
设，则函数图象开口向上，
要使不等式有解，则函数图象与轴有交点，
则，化简得，解得或．
故答案为：
题型11 一元二次不等式在几何中的实际应用
1．为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设花卉带的宽度为，由题设有且求范围，即可得答案.
【详解】设花卉带的宽度为，则，
所以，即，可得，
又，故，而，则可能取值为2.
故选：B
2．设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为 ．
【答案】/4.5
【分析】由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件.
【详解】由题意△△，而，，
所以，而矩形的周长为，
则，整理得，仅当等号成立，
所以，而，可得，
则，而△的面积，故最大值为，此时.
故答案为：

题型12 已知二次函数单调区间、最值或值域求参数值或范围
1．已知函数，．
(1)当时，画出函数图象并指出函数的最大值和最小值；
(2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．
【答案】(1)作图见解析，最大值为，最小值为
(2)
【分析】（1）当时，作出函数在上的图象，结合图象可得出函数的最大值和最小值；
（2）对函数在上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，，
作出函数在上的图象如下图所示：
由图可知，，.
（2）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
当时，即当时，函数在上单调递增；
当时，即当时，函数在上单调递减.
综上所述，实数的取值范围是.
2．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若函数在区间上的值域为，求的值．
【答案】(1)最小值2；
(2)．
【分析】（1）配方后可得答案；
（2）根据的单调性可得答案．
【详解】（1）设，
所以时最小值2；
（2）在上严格增，
因为是对称轴为，开口向上的抛物线，
所以，
，，
所以．
3．已知函数，.
(1)若在区间上最大值为2，求实数的值；
(2)当时，求不等式的解集.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得.
（2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得.
【详解】（1）函数图象的对称轴为，
当，即时，，解得，则；
当，即时，，解得，矛盾，
所以.
（2）显然，而，
因此不等式为，
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为，
所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
1．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）直接解不等式即可；
（2）转化问题转化为恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】（1）不等式，即为，
则有，
解得或，
所以不等式的解集为或．
（2）不等式，即为，
所以，只需的最小值大于或等于即可，
因为，
当且仅当即时取等号．
所以的最小值为，所以，
故的取值范围是
2．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元．
(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
(2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？
【答案】(1)第年
(2)第年最大，为万元
【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案.
（2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】（1）设利润为，则，
由整理得，
解得，由于，
所以，所以第年首次盈利.
（2）首先，
由（1）得平均利润万元，
当且仅当万元时等号成立，
第7年，平均利润最大，为12万元.
3．若存在常数，使得函数与在给定区间上的任意实数都有，，则称是与的分隔直线函数．当时，被称为双飞燕函数，被称为海鸥函数．
(1)当时，取．求的解集；
(2)判断：当时，与是否存在着分隔直线函数．若存在，请求出分隔直线函数解析式；若没有，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)存在分隔直线函数，解析式为，理由见解析
【分析】（1）将不等式转化为，对n分类讨论解不等式；
（2）对m，n分类讨论找出介于两个函数值之间的函数解析式.
【详解】（1），时，，
可化为，即，
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，不等式的解集为或.
（2）若，，当时，恒成立，
恒成立，则是与的分隔直线函数；
若，，当时，恒成立，
恒成立，则是与的分隔直线函数；
综上所述，与的分隔直线函数解析式为.