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高中数学北师大版必修3第一章 统计5用样本估计总体本节综合精品精练
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这是一份高中数学北师大版必修3第一章 统计5用样本估计总体本节综合精品精练，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A级 基础巩固
一、选择题
1．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，则样本数据在[8,10)内的频数为( C )
A．38 B．57
C．76 D．95
[解析] 样本数据在[8,10)外的频率为(0.02＋0.05＋0.09＋0.15)×2＝0.62，所以样本数据在[8,10)内的频率为1－0.62＝0.38，所以样本数据在[8,10)内的频数为0.38×200＝76，故选C．
2．下列叙述中正确的是( C )
A．从频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小
B．频数是指落在各个小组内的数据
C．每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率
D．组数是样本平均数除以组距
[解析] A中表示样本数据对于平均数波动大小的为方差与标准差；B中频数为落在各小组内数据的个数；D中组数是极差除以组距．
3．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( C )
A．0.2B．0.3
C．0.4D．0.5
[解析] 数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120，共4个，故所求频率为eq \f(4,10)＝0.4，故选C．
4．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( B )
A．0.35B．0.45
C．0.55D．0.65
[解析] 本题考查了频数的运算，
由表可知样本数据落在[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，故频率为eq \f(9,20)＝0.45.
求频率要准确确定其频数及该样本的容量．
5．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( D )
A．56B．60
C．120D．140
[解析] 由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选D．
6．已知样本：10,8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,11,9,11,12,9,10,11,12.那么频率为0.2的范围是( D )
A．5.5～7.5B．7.5～9.5
C．9.5～11.5D．11.5～13.5
[解析] 只要列出频率分布表，就可找到答案，频率分布表如下表.
从表中可以知道频率为0.2的范围是11.5～13.5.
二、填空题
7.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽样的100根中，有_30__根棉花纤维的长度小于20 mm.
[解析] 本题主要考查频率分布直方图的应用，从而考查考生的识图与用图能力，同时也考查了考生的数据处理能力和分析解决问题的能力．
由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm的有0.3×100＝30(根)．
8．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制成频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2︰3︰4︰6︰4︰1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于_60__.
[解析] 设第一组至第六组数据的频率分别为2x,3x,4x,6x,4x，x，则2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝1，解得x＝eq \f(1,20)，所以前三组数据的频率分别是eq \f(2,20)，eq \f(3,20)，eq \f(4,20)，故前三组数据的频数之和等于eq \f(2n,20)＋eq \f(3n,20)＋eq \f(4n,20)＝27，解得n＝60.
三、解答题
9．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．
(1)求出x的值；
(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本总量N的数值；
(3)根据频率分布直方图提供的数据，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数．
[解析] (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小，且频率之和等于1，
∴0.050×2＋0.100×2＋0.125×2＋0.150×2＋x×2＝1，
∴x＝0.075.
(2)样本中身高小于100厘米的频率为
(0.050＋0.100)×2＝0.3.
∴样本容量N＝eq \f(36,0.3)＝120.
(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.
∴学生数为120×0.75＝90人．
B级 素养提升
一、选择题
1．对某校400名学生的体重(单位：kg)进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60 kg以上的人数为( B )
A．200B．100
C．40D．20
[解析] 由频率分布直方图可知学生体重在60 kg以上的频率为(0.04＋0.01)×5＝0.25，故学生体重在60 kg以上的人数为400×0.25＝100.
2．在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则b等于( A )
A．0.1B．0.2
C．0.25D．0.3
[解析] 样本容量n＝eq \f(10,0.05)＝200，∴m＝20.
又eq \f(20,200)＝a，∴a＝0.1.
则b＝1－(0.05＋0.15＋0.2＋0.4＋0.1)＝0.1.
二、填空题
3．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_600__.
[解析] 由频率分布直方图易得，成绩低于60分的频率为0.002×10＋0.006×10＋0.012×10＝0.2，
故3 000名学生中成绩低于60分的学生数为：3 000×0.2＝600(人)．
4．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1︰2︰3，其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为_48__.
[解析] 设报考飞行员的总人数为n，
设第一小组的频率为a，则有a＋2a＋3a＋(0.013＋0.037)×5＝1，
解得a＝0.125，
所以第2小组的频率为0.25.
又第2小组的频数为12，
则有0.25＝eq \f(12,n)，所以n＝48.
三、解答题
5．某市2017年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45，
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．
[解析] (1)频率分布表：
(2)频率分布直方图，如图所示．
(3)答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的eq \f(1,15)，有26天处于良的水平，占当月天数的eq \f(13,15)，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的eq \f(14,15).说明该市空气质量基本良好．
②轻微污染有2天，占当月天数的eq \f(1,15).污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的eq \f(17,30)，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善．
6．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
[解析] (1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
分组
频数累计
频数
频率
5.5～7.5
2
0.1
7.5～9.5
正一
6
0.3
9.5～11.5
正
8
0.4
11.5～13.5
4
0.2
合计
20
1
分组
[100，200]
(200，300]
(300，400]
(400，500]
(500，600]
(600，700]
频数
10
30
40
80
20
m
频率
0.05
0.15
0.2
0.4
a
b
分组
频数
频率
[41,51)
2
eq \f(2,30)
[51,61)
1
eq \f(1,30)
[61,71)
4
eq \f(4,30)
[71,81)
6
eq \f(6,30)
[81,91)
10
eq \f(10,30)
[91,101)
5
eq \f(5,30)
[101,111)
2
eq \f(2,30)
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
A级 基础巩固
一、选择题
1．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，则样本数据在[8,10)内的频数为( C )
A．38 B．57
C．76 D．95
[解析] 样本数据在[8,10)外的频率为(0.02＋0.05＋0.09＋0.15)×2＝0.62，所以样本数据在[8,10)内的频率为1－0.62＝0.38，所以样本数据在[8,10)内的频数为0.38×200＝76，故选C．
2．下列叙述中正确的是( C )
A．从频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小
B．频数是指落在各个小组内的数据
C．每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率
D．组数是样本平均数除以组距
[解析] A中表示样本数据对于平均数波动大小的为方差与标准差；B中频数为落在各小组内数据的个数；D中组数是极差除以组距．
3．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( C )
A．0.2B．0.3
C．0.4D．0.5
[解析] 数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120，共4个，故所求频率为eq \f(4,10)＝0.4，故选C．
4．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( B )
A．0.35B．0.45
C．0.55D．0.65
[解析] 本题考查了频数的运算，
由表可知样本数据落在[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，故频率为eq \f(9,20)＝0.45.
求频率要准确确定其频数及该样本的容量．
5．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( D )
A．56B．60
C．120D．140
[解析] 由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选D．
6．已知样本：10,8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,11,9,11,12,9,10,11,12.那么频率为0.2的范围是( D )
A．5.5～7.5B．7.5～9.5
C．9.5～11.5D．11.5～13.5
[解析] 只要列出频率分布表，就可找到答案，频率分布表如下表.
从表中可以知道频率为0.2的范围是11.5～13.5.
二、填空题
7.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽样的100根中，有_30__根棉花纤维的长度小于20 mm.
[解析] 本题主要考查频率分布直方图的应用，从而考查考生的识图与用图能力，同时也考查了考生的数据处理能力和分析解决问题的能力．
由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm的有0.3×100＝30(根)．
8．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制成频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2︰3︰4︰6︰4︰1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于_60__.
[解析] 设第一组至第六组数据的频率分别为2x,3x,4x,6x,4x，x，则2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝1，解得x＝eq \f(1,20)，所以前三组数据的频率分别是eq \f(2,20)，eq \f(3,20)，eq \f(4,20)，故前三组数据的频数之和等于eq \f(2n,20)＋eq \f(3n,20)＋eq \f(4n,20)＝27，解得n＝60.
三、解答题
9．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．
(1)求出x的值；
(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本总量N的数值；
(3)根据频率分布直方图提供的数据，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数．
[解析] (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小，且频率之和等于1，
∴0.050×2＋0.100×2＋0.125×2＋0.150×2＋x×2＝1，
∴x＝0.075.
(2)样本中身高小于100厘米的频率为
(0.050＋0.100)×2＝0.3.
∴样本容量N＝eq \f(36,0.3)＝120.
(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.
∴学生数为120×0.75＝90人．
B级 素养提升
一、选择题
1．对某校400名学生的体重(单位：kg)进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60 kg以上的人数为( B )
A．200B．100
C．40D．20
[解析] 由频率分布直方图可知学生体重在60 kg以上的频率为(0.04＋0.01)×5＝0.25，故学生体重在60 kg以上的人数为400×0.25＝100.
2．在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则b等于( A )
A．0.1B．0.2
C．0.25D．0.3
[解析] 样本容量n＝eq \f(10,0.05)＝200，∴m＝20.
又eq \f(20,200)＝a，∴a＝0.1.
则b＝1－(0.05＋0.15＋0.2＋0.4＋0.1)＝0.1.
二、填空题
3．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_600__.
[解析] 由频率分布直方图易得，成绩低于60分的频率为0.002×10＋0.006×10＋0.012×10＝0.2，
故3 000名学生中成绩低于60分的学生数为：3 000×0.2＝600(人)．
4．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1︰2︰3，其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为_48__.
[解析] 设报考飞行员的总人数为n，
设第一小组的频率为a，则有a＋2a＋3a＋(0.013＋0.037)×5＝1，
解得a＝0.125，
所以第2小组的频率为0.25.
又第2小组的频数为12，
则有0.25＝eq \f(12,n)，所以n＝48.
三、解答题
5．某市2017年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45，
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．
[解析] (1)频率分布表：
(2)频率分布直方图，如图所示．
(3)答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的eq \f(1,15)，有26天处于良的水平，占当月天数的eq \f(13,15)，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的eq \f(14,15).说明该市空气质量基本良好．
②轻微污染有2天，占当月天数的eq \f(1,15).污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的eq \f(17,30)，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善．
6．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
[解析] (1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
分组
频数累计
频数
频率
5.5～7.5
2
0.1
7.5～9.5
正一
6
0.3
9.5～11.5
正
8
0.4
11.5～13.5
4
0.2
合计
20
1
分组
[100，200]
(200，300]
(300，400]
(400，500]
(500，600]
(600，700]
频数
10
30
40
80
20
m
频率
0.05
0.15
0.2
0.4
a
b
分组
频数
频率
[41,51)
2
eq \f(2,30)
[51,61)
1
eq \f(1,30)
[61,71)
4
eq \f(4,30)
[71,81)
6
eq \f(6,30)
[81,91)
10
eq \f(10,30)
[91,101)
5
eq \f(5,30)
[101,111)
2
eq \f(2,30)
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
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