北师大版数学必修3第3章 2.1、2.2古典概型的特征和概率计算公式练习

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第三章 §2 2.1 2.2A级　基础巩固一、选择题1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　B　)A．eq \f(1,5)　　 B．eq \f(2,5)　　C．eq \f(8,25)　　 D．eq \f(9,25)[解析]　设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情况，其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，所以甲被选中的概率为eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).2．从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　B　)A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,6)[解析]　从1、2、3、4中任取2个不同的数有以下六种情况：{1,2}、{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}、{3,4}，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有{1,3}、{2,4}，故所求概率是eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).3．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是(　C　)A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)C．eq \f(2,3) D．1[解析]　列举基本事件，从甲、乙、丙三人中任选两名代表可能的结果是(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种；甲被选中的可能结果是(甲，乙)，(甲，丙)，共2种．所以P(甲被选中)＝eq \f(2,3).4．有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9.从这五条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为(　B　)A．eq \f(1,2) B．eq \f(7,10)C．eq \f(3,10) D．eq \f(9,10)[解析]　从这五条线段中任取三条，所有基本事件为(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)共10个，其中不能构成三角形的有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,9)，共7个，所以所取三条线段不能构成一个三角形的概率为eq \f(7,10).5．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于(　D　)A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)C．eq \f(3,5) D．eq \f(2,5)[解析]　由题知，在该问题中基本事件总数为5，一位乘客等所需车事件包含2个基本事件，故所求概率为P＝eq \f(2,5).6．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为(　B　)A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1[解析]　5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A＝“恰有一件次品”，则P(A)＝eq \f(6,10)＝0.6，故选B．二、填空题7．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别，现有10个人依次摸出1个球，设第一个摸出的1个球是黑球的概率为P1，第十个人摸出黑球的概率是P10，则P1与P10的关系是_P10＝P1__.[解析]　第一个人摸出黑球的概率为eq \f(1,10)，第10个人摸出黑球的概率也是eq \f(1,10)，所以P10＝P1.8．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 eq \f(2,3)　.[解析]　设数学书为A、B，语文书为C，则不同的排法共有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，C，A)，(B，A，C)，(C，A，B)，(C，B，A)共6种排列方法，其中2本数学书相邻的情况有4种情况，故所求概率为P＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).三、解答题9．某班数学兴趣小组有男生三名，分别记为a1、a2、a3，女生两名，分别记为b1、b2，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛．(1)写出这种选法的基本事件空间；(2)求参赛学生中恰有一名男生的概率；(3)求参赛学生中至少有一名男生的概率．[解析]　(1)从3名男生和2名女生中任选2名学生去参加校数学竞赛，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)(a3，b2)，(b1，b2)}．Ω由10个基本事件组成．(2)用A表示“恰有一名参赛学生是男生”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}．事件A由6个基本事件组成，故P(A)＝eq \f(6,10)＝0.6.(3)用B表示“至少有一名参赛学生是男生”这一事件，则B＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，事件B由9个基本事件组成，故P(B)＝eq \f(9,10)＝0.9.10．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[解析]　(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共9种．从中选出两名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共4种．选出的两名教师性别相同的概率为P＝eq \f(4,9).(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共6种．选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).B级　素养提升一、选择题1．古代“五行”学说认为“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　C　)A．eq \f(3,10) B．eq \f(2,5)C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,5)[解析]　从五种不同属性的物质中随机抽取两种，出现的情况有(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)共10种等可能事件，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也有5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为eq \f(1,2)，故应选C．2．欲寄出两封信，现有两个邮箱供选择，则两封信都投到一个邮箱的概率是(　A　)A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4)C．eq \f(3,4) D．eq \f(3,8)[解析]　可记两封信为1、2，两个邮箱为甲、乙，则寄出两封信，有两个邮箱供选择，有以下几种结果：1放在甲中，而2放在乙中；2放在甲中，而1放在乙中，1、2均放在甲中；1、2均放在乙中．由上可知，两封信都投到一个邮箱的结果数为2.所以，两封信都投到一个邮箱的概率为eq \f(1,2).3．将一枚质地均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面朝上的概率为(　C　)A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4)C．eq \f(3,8) D．eq \f(5,8)[解析]　总事件数为8个，分别为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．“恰好出现1次正面朝上”的事件为事件A，包括(正，反，反)，(反，正，反)和(反，反，正)3个．所以，所求事件的概率为eq \f(3,8).4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　A　)A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)[解析]　记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个，因此P(A)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).二、填空题5．(2019·江苏，6)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 eq \f(7,10)　.[解析]　eq \a\vs4\al(解法一：)设3名男同学分别为A，B，C,2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为eq \f(7,10).eq \a\vs4\al(解法二：)同方法1，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－eq \f(3,10)＝eq \f(7,10).6．从集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，从集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为 eq \f(1,3)　.[解析]　点P(m，n)的所有结果有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况，每种结果等可能出现，属于古典概型，记“点P在圆x2＋y2＝9内部”为事件A即m2＋n2<9，则A包含的结果有(2,1)，(2,2)共2种∴P(A)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).三、解答题7．某校夏令营有3名男同学A、B、C和3名女同学X、Y、Z，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．[解析]　(1)从6名同学中随机选出2人，共有{(A，B)，(A，C)，(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(B，C)，(B，X)，(B，Y)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，(C，Z)，(X，Y)，(X，Z)，(Y，Z)}共15种．(2)M含基本事件为{(A，Y)，(A，Z)，(B，X)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)}共6种，∴P(M)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).8．小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y，(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝7上的概率； (2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．[解析]　(1)因x，y都可取1,2,3,4,5,6，故以(x，y)为坐标的点共有36个．记点(x，y)落在直线x＋y＝7上为事件A，事件A包含的点有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6个，所以事件A的概率P(A)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).(2)记x＋y≥10为事件B，x＋y≤4为事件C，用数对(x，y)表示x，y的取值．则事件B包含(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6个数对；事件C包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个数对．由(1)知基本事件总数为36个，所以P(B)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)，P(C)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)，所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的．9．(2019·天津文，15)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．[解析]　(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6︰9︰10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事件M发生的概率P(M)＝eq \f(11,15).一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○