数学九年级上册3.1 圆的对称性优秀ppt课件

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学习目标：1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．
重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
问题：你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.02 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，根据对折，你发现圆是什么图形？
可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
由什么条件，得到什么结论？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
垂径定理的作用：证明线段相等、角相等、弧相等，求半径和弦长
注意：定理中的径可以是直径、半径、弦心距、弓形高等过圆心的直线或线段
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：
（1）过圆心直线或线段 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论.
思考：下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
例1：如图，在以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且AC=BD.求证：OA=OB.
证明:作OE⊥AB，垂足为点E.由垂径定理，得 CE=DE.∵AC=BD，∴AC+CE=BD+DE，即 AE=BE.∴OE为线段AB的垂直平分线.∴OA=AB.
例题2：你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.02 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
练习1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
6.如图3,已知⊙O中弦AB∥CD,图中相等的弧是 .
4.如图1,OE⊥AB于E，若⊙O的半径10cm,OE=6cm,则AB= cm.
5.如图2,⊙O的弦AB＝8cm,直径CE⊥AB于D,DC＝2cm,半径OC的长为 cm.
涉及解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
2.扇形形中重要数量关系
1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法
2. 如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
1．已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.8
3.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.AE－CE＝BE－DE.所以，AC＝BD.
4、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证：AC＝BD.
5.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦,AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
解：分两种情况讨论.第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.如图(一)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.∵AB∥CD. ∴OE⊥AB，连接OB、OD.∴EM＝OM-OE＝7cm.
第二种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.如图(二)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.∵AB∥CD. ∴OE⊥AB，连接OB、OD.∴EM＝OM+OE＝17cm.
6. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？
解：OM＜ON.理由如下：连接OA、OC.则OA＝OC.∵ON⊥CD,OM⊥AB,又∵AB＞CD,∴CN＜AM, ∴CN2＜AM2.在Rt△OCN和Rt△OAM中，OM2＝OA2-AM2,ON2＝OC2-CN2,∴OM2＜ON2. ∴OM＜ON.