高三摸底考试卷-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

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第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．4
13．3
14．2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）【详解】（1）依题意，由，可得，
当时，，解得，
当时，，
整理，得，，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴；
（2）依题意及（1），由可得，
则，
，
两式相减，可得
，
∴，故得证．
16．（15分）【详解】（1）证明：在中，，，，
则，可得，
所以，所以.
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，平面，所以平面，
因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）
是平行四边形，平面，，，，且.
假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，
以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，，
设，
则，所以，
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角的大小为，
故，
整理得，解得或，所以或.
17．（15分）【详解】（1）用表示甲第i个问题回答正确，表示甲第i个问题回答错误，则;
.
记事件Q：甲同学能进入下一轮的概率，则：
.
即甲同学能进入下一轮的概率为.
（2）由题意知的可能取值：0，1，2，
∴;,
，
，
∴的分布列为：
∴,
即数学期望为.
18．（17分）【详解】（1）由题意可得，解得，
则：；
（2）（ⅰ）设直线：，，，
联立，得，
则有，，
且，则，
则
，
设，
则，
则.
（ⅱ）设，则，
设直线，：，，
即分别为：，，
由，则到直线，的距离相等，
联立，有是其中一组解，
又与等价，
不妨设，则有，
即，即，
可得，
又，即，
则有，
通分并整理得：
.
代入得
.
化简得.
故，则，则.

19．（17分）【详解】（1）由题意，，，
恒成立，所以在上单调递增，
可得的值域为，
因此只需，
即可得，即，
则的取值集合为．
（2）（i）记函数，
则，
由得或；由得；
所以函数在和上单调递增，在上单调递减．
其中，因此当时，，不存在零点；
由在单调递减，易知，而，
由零点存在定理可知存在唯一的使得；
当时，，不存在零点．
综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2．
（ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”，
则对，，
当时，由（i）得在单调递增，
，即，不满足要求；
当时，由（i）得在单调递增，
，
即，也不满足要求；
当时，闭区间，而显然在单调递增，
，
由（i）可得，，
，满足要求．
综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
B
C
D
C
A
D
9
10
11
AD
BCD
BCD
0
1
2