山东省泰安市部分学校2025届高三上学期摸底考试数学试题（Word版附解析）

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本试卷共 4 页，19小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．用 2B 铅笔将试卷类型 （A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（ ）
A. 第11项B. 第12项C. 第13项D. 第14项
【答案】D
【解析】
【分析】将,变形为,根据数列,可知是数列的通项公式,即可求得答案.
【详解】根据数列1，，，，3，…，
，
又，
,解得 ，
故选:D.
2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合，再求出图中阴影部分表示的集合；最后利用集合的子集个数公式即可求解.
【详解】由图可知：阴影部分表示的集合为.
因为集合，
所以，
则，
所以阴影部分表示的集合的子集个数为.
故选：B.
3. 在研究变量与之间的相关关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据误差较大，剔除这对数据后，求得的经验回归方程为，且，则（ ）
A. 13.5B. 14C. 14.5D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，求出剔除异常数据后的平均数，进而求出剔除异常数据前的平均数，根据回归直线必过样本中心点得到.
【详解】因为，剔除异常数据数据后， ，
因为点在直线上，所以，解得，
设利用原始数据求得的经验回归直线过点，
则，
因为，所以.
故选：A.
4. 设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由运算“Δ”和“”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确.
【详解】由运算“△”和“▽”知，表示数、比较小的数，
表示数、比较大的数．
当，时，，故选项A、C错误；
当时，，故选项B错误．
∵，且，∴，
∵，，∴，故选项D正确．
故选：D
5. 已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线与圆相交的弦长公式进行求解即可.
【详解】因为圆，圆心为，半径为，即
因为为直角三角形，所以,
设圆心到直线的距离为，
由弦长公式得，所以，化简得.
故选：A.
6. 已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出，再结合奇函数的性质得到，得到结果即可.
【详解】易得的斜率为，由切线斜率的几何意义得，
且已知函数为奇函数，可得，两侧同时求导得，
故，故A正确.
故选：A
7. 在中，若，记，，，则下列结论正确的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出图示如下图所示，根据向量的线性运算和平行四边形的性质可得出三角形的面积关系.
【详解】如图，
作，，则，∴四边形是平行四边形，∴，
设的边上的高为，的边上的高为，
则，∴，即，
∴，∴，∴.
故选:C.
【点睛】本题考查向量的线性关系，关键在于由向量的线性关系转化为三角形的面积关系，属于中档题.
8. 圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形（正方形的顶点A和点P重合）沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为（ ）
A 2πB.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设第i（）次滚动后A 点位置为，结合图形，可知11次或12次滚动后A回到点P的位置，后结合题目数据可得答案.
【详解】设第i（）次滚动后A 点位置为，结合图形，可知3次或4次滚动后，A点再次达到圆周处，
则第7次或第8次滚动后，A点达到圆周，第11次或第12次滚动后A第一次回到点P的位置，相当于正方形在圆内滚动了三圈.
因为圆O的半径r＝1，正方形的边长a＝1，所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为，正方形在圆周上滚动时，点的位置如图所示，
设第i（）次滚动点A的路程为，
则，
又，
所以点A所走过的路程为．
故选：D
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么可能经过（ ）个小时会“药物失效”．（参考数据：）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】CD
【解析】
【分析】设至少经过个小时才会“药物失效”，由题意可得，两边取对数求出答案.
【详解】依题意药物实验中，血液中药物含量为，即药物含量为，
设至少经过个小时才会“药物失效”，
根据题意可得，两边取对数得，
可得，
所以至少经过个小时才会“药物失效”，故符合题意的有C、D.
故选：CD.
10. 设数列，满足，，则下列函数使得，有相等的项的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据各个选项的条件求得，的通项公式，依照题意分析即可.
【详解】对于A，若，
则
，
所以，此时，符合题意，故A正确；
对于B，若，
则
，
所以，
此时，不可能有相等的项，故B错误；
对于C，若，
则，
，
所以，
此时，符合题意，故C正确；
对于D，若，
则，
，
所以，此时，不可能有相等的项，故D错误，
故选：AC.
11. 如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，点P为圆弧上一动点（点P与点A， D不重合） ，则（ ）

A. 存在值，使得
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 当时，异面直线与所成角的余弦值为
D. 直线与平面所成最大角的正弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质即可判断选项A；根据棱锥的体积计算公式判断选项B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式判断选项C；利用立体几何、平面几何知识将线面角的正弦表达式求出来并通过进一步计算即可判断D.
【详解】对于A选项，由题意知，
若，，平面，
则平面，
又平面，
所以，不成立，故A不正确；
对于B选项，在三棱锥中，半圆面，
所以，
三棱锥即三棱锥是为高，为底面的三棱锥，
当点是半圆弧的中点时，三棱锥的底面积S△PAD取得最大值，
三棱锥的体积取得最大值为，故选项B正确；
对于选项C：当时，则为的中点，以的中点为原点，
以分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，可得，
则，
故异面直线与所成角的余弦值为，所以C正确；
对于D选项，

取的中点，过点P作于点，连接，
由题意知，平面，平面，，
又因为，，平面，
可得平面，
所以为在平面内的射影，则为直线与平面所成的角，
设，则，
在Rt中，，
又平面，平面，
所以，
又面，
所以面，
又面，
所以，
所以，
故，
令，则，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，则，
所以直线与平面所成最大角的正弦值为.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题的综合性比较强，关键在于充分利用立体几何常规方法、向量方法以及一些平面几何知识相结合，且有一定的计算要求.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分．
12. 若随机变量，且，则_________．
【答案】0.26##
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为，
所以．
故答案为：0.26.
13. 如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】令，作为基底，将表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可.
【详解】解：设，，则，
，又，，
所以
．
故答案为：.
14. 设是正实数，若函数在上至少存在两个极大值点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】考虑在上无极大值点和有且只有一个极大值点的取值范围，取其补集后可得所求的取值范围.
【详解】令，解得，.
若在上无极大值点，
则存在实数，使得，
整理得到，解得，
因为且存在，故，或，
故或.
若在上有且只有一个极大值点，
则存在实数，
使得，
或，
解得①或者②，
对于①，因且存在，故且，
故整数满足，
当时，，当时，，
当时，，
故
对于②，同理可得
综上，在上无极大值点和有且只有一个极大值点时，
.
故函数在上至少存在两个极大值点，.
故答案为：.
【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的极值点的个数，此类问题应该转化为不等式组的整数解的存在性的讨论，注意利用所得范围的端点的大小结合变量的整数性来确定变量的有限的整数解，本题属于难题.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据即可求解，
（2）根据分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.
【小问1详解】
当时，，
当时，，因为也符合上式．
所以．
【小问2详解】
由（1）可知，
所以
．
16. 如图，三棱台，平面平面，与相交于点，且平面．
（1）求三棱锥的体积；
（2）平面与平面所成角为与平面所成角为，求的值．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）通过证明线线和线面垂直，并结合已知条件即可得出三棱锥的体积；
（2）建立空间直角坐标系，表达出各点的坐标，求出角与的正余弦值，即可解出．
【小问1详解】
由题意，平面平面，
且平面平面平面，
平面，
平面，，
又平面，
平面．
连接，平面平面，平面平面，，
，，．
三棱锥底面三角形的面积为
，高，
其体积为：．
【小问2详解】
由题意及（1）得，
以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图，，
则．
设平面的法向量为，
由，取，则，
平面的一个法向量为，
所以．
又因为，所以．
．
又，所以．
17. 设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，.
（1）求的方程；
（2）设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明：
（ⅰ）为定值；
（ⅱ）直线恒过定点.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由抛物线得定义求解抛物线的方程即可.
（2）（ⅰ）利用韦达定理求解出，
（ⅱ）通过韦达定理将直线化简成，求出直线过定点.
小问1详解】
由焦半径公式知：，，
的方程为：.
【小问2详解】
由（1）知：，
可设直线方程为：，设则
直线方程为：
联立
，将代入得，
，同理：
（ⅰ），
（ⅱ）直线的方程为：
由得：即，
，
直线的方程为：，
直线恒过定点
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是写出直线的方程，再代入韦达定理式化简即可.
18. 已知函数，存在三个零点，，．
（1）求实数的取值范围；
（2）设，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据存在三个零点，转化为两个函数有三个交点，当时结合函数的单调性与零点存在性定理说明必存在一个负根，当时转化为与有两个交点，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可得解；
（2）根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得.
【小问1详解】
因为且存在三个零点，
所以有个实数根，
当时，，，，
所以在上是单调递增，由零点存在定理，方程必有一个负根，
当，，即有两个根，
令，，可转化为与有两个交点，
，
可得时，即在单调递增，
可得时，即在单调递减，
其中，当，，，
且当时，
所以可得，解得.
综上可得.
【小问2详解】
因为且存在三个零点.
设，，，，易知其中，，
因为，所以，所以，，，
故可知①；
由（1）可知与有两个交点，
当，是单调递增，所以，，，所以②；
即，，
若，则，
若，构造函数，，
则
，
设，
则，
因为，
又因为，
所以③；
因为
，
又因为，
所以，
即得④；
由③④可知，在上单调递增，
又可得，
，可知与同号，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，即，又由（1）可知，
所以，，
，，是单调递增，
所以⑤，
由①②⑤可知.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数证明不等式，解决问题的关键点是极值点偏移问题，证明方法总结：先构造，再确定的单调性，结合特殊值得到再利用单调性可得.
19. 对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系.
（1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
（2）若与具有关系，求的取值范围；
（3）已知，为定义在上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有.
判断与是否具有关系，并说明理由.
【答案】（1）与具有关系，理由见解析
（2）；
（3）不具有关系，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的性质可得，结合新定义即可下结论；
（2）根据三角函数与二次函数的性质可得、，则，结合新定义即可求解；
（3）根据函数的对称性和周期性求出、、的值域. 当、时，有；当、时，有，进而，结合新定义即可下结论.
【小问1详解】
与具有关系，理由如下：
当时，，，
当，，当时，，
此时，
则与具有关系；
【小问2详解】
，
，
因为，则当时，，则，
所以，
则；
【小问3详解】
不具有关系，理由如下：
因为在上，当且仅当时，取得最大值1；
又为定义在上的奇函数，
故在上，当且仅当时，取得最小值-1，
由对任意，有，
所以关于点对称，
又，
所以的周期为，故的值域为，，，
当时，，；
时，，，
若，则，，
此时有；
当时，，；
时，，，
若，则，时，
有；
由于，
所以，
故不存在，，使得，
所以与不具有关系.
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的图象与性质.