大通回族土族自治县第二完全中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份大通回族土族自治县第二完全中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数的导函数是( )
A.B.C.D.
2．的展开式中的系数为( )
A.B.C.20D.40
3．若函数，则( )
A.3B.C.1D.0
4．为庆祝香港回归祖国25周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则不同的排法种数为( )
A.9B.18C.24D.27
5．已知曲线在点A处的切线与直线垂直，则点A的横坐标为( )
A.1B.C.2D.
6．王华有6张不同的邮票要分给A、B、C三个好朋友，其中A分得2张，B、C每人至少分得一张，则不同的分法有( )
A.120种B.210种C.240种D.360种
7．若，则( )
A.B.C.D.
8．若函数在区间内存在单调减区间，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列运算正确的是( )
A.B.
C.D.
10．将a，b，c，d，e五个字母排成一排，下列说法正确的是( )
A.一共有种排法B.a，b相邻有种排法
C.a，b不相邻有种排法D.a不排两端有种排法
11．在的展开式中，下列命题正确的是( )
A.二项式系数之和为64B.所有项系数之和为
C.常数项为60D.第3项的二项式系数最大
12．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.当时，的图象位于x轴下方B.有且仅有一个极值点
C.有且仅有两个极值点D.存在，使得
三、填空题
13．三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有______种.
14．若，则______.
15．在的展开式中，的系数为______.
16．已知函数的导函数满足在R上恒成立，则不等式的解集是______.
四、解答题
17．已知函数.
（1）当时，求；
（2）当时，求的极值.
18．（1）求值：；
（2）解方程：.
19．在二项式的展开式中，______.给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于37；
②所有偶数项的二项式系数的和为128.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求展开式中含的项.
（备注：如果多个条件分别解答，则按第一个条件计分）
20．现有4名男生、3名女生站成一排照相.（用数字作答）
（1）两端是男生，有多少种不同的站法？
（2）任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？
（3）男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？
21．已知函数,.
（1）若函数在上单调递增，求a的最小值；
（2）若函数的图象与有且只有一个交点，求a的取值范围.
22．已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若,，都有，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：.
2．答案：D
解析：的展开式中的系数为.
3．答案：A
解析：，所以.故选A.
4．答案：B
解析：.
5．答案：A
解析：设，点，则，由在点A处的切线与直线垂直可得，即，又，.
6．答案：B
解析：根据题意进行分类：第一类：A、B、C每人分得2张，（种）；第二类：A分得2张，B、C两人中一人分得1张另一人分得3张，（种）.所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法.故选B.
7．答案：B
解析：因为，所以.
8．答案：A
解析：，当时，，不符合题意，当时，令，解得，所以，得.故选A.
9．答案：BC
解析：，故A错误；，故D错误.故选BC.
10．答案：ACD
解析：A：A正确；
B：相邻，可采用捆绑法，有种排法，A错误；
C：不相邻，故元素a，b插空，共有种排法，C正确；
D：先排a，有种排法，再排b，c，d，e，有种排法，D正确.
11．答案：AC
解析：二项式系数之和为，故A正确；
令得所有项的系数之和为1，故B错误；
，令，，
，故C正确；
当时，的值最大，是第4项的二项式系数最大，故D错误，故选AC.
12．答案：AB
解析：当时，，，所以，故A正确；
由题意知，，令，易得在上单调递减，又，，所以，使得，所以当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以有且仅有一个极值点.故B正确，C错误；所以，故D错误.故选AB.
13．答案：8
解析：由分步乘法计数原理知，不同的选法有（种）.
14．答案：3
解析：，，，，得或（舍），.
15．答案：
解析：因为的展开通项公式为，的展开通项公式为，所以取，，得的系数为.
16．答案：
解析：令，则，所以在R上单调递增，由，得，又在R上单调递增，所以，解得.所以不等式的解集是.
17．答案：（1）5；
（2）的极大值为10，极小值为.
解析：（1），当时，；
（2）当时，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
的极大值为，
极小值为.
18．答案：（1）165；
（2）5
解析：（1）因为，所以，
原式；
（2）因为，
所以，
化简可得，同时，解得，
19．答案：（1）70；
（2）
解析：选择①：，即，
即，即，解得或（舍去）.
选择②：，即，解得.
（1）展开式中系数最大的项为第5项，；
（2）展开式的通项为，
令，解得，
展开式中含的项为第6项，.
20．答案：（1）1440；
（2）144；
（3）2520
解析：（1）选2名男生排两端有种方法，再排其余学生有种方法，
所以两端是男生的不同站法有（种）；
（2）先排3名女生有种方法，再将4名男生插人4个空隙中有种方法，
所以任意两名男生不相邻的不同站法有（种）；
（3）7名学生的全排列为，而甲乙的顺序有2种，
所以男生甲要在女生乙的右边的不同站法有（种）.
21．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由已知可得，则，
因函数在上单调递增，
所以对任意的恒成立，
又因为函数在上为增函数，
则，解得，故实数a的最小值为；
（2），令，可得，
因为函数的图象与有且只有一个交点，
令，则函数的图象与直线只有一个公共点，
则，令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，极小值为，
的图象如下所示：
由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点，
因此，实数a的取值范围是.
22．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：若，，，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以；
（2）不妨设，所以，即，
所以在上单调递增，
令，在上恒成立，
令，.
当时，在上恒成立，又，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，此种情况无解，
当时，，在上单调递增，，
在上恒成立，
综上所述a的取值范围为.