古田县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份古田县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．若复数，则实数( )
A.2B.3C.0D.1
3．已知平面向量，满足，，且，则与的夹角是( )
A.B.C.D.
4．在中，若，，，则的最大角与最小角之和是( )
A.B.C.D.
5．已知平面向量，，若与共线，则实数( )
A.B.8C.D.2
6．在平行四边形ABCD中，，，则( )
A.B.C.D.
7．若复数，，其中i是虚数单位，则的最大值为( )
A.B.2C.D.3
8．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A.B.复数的虚部为
C.若复数z为纯虚数，则D.
10．在平面直角坐标系中，若点，，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
11．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是( )
A.，，B.，，
C.，，D.，，
12．已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动，，下列说法正确的有( )
A.当C位于A点时，的值最小B.当C位于B点时，的值最大
C.的取值范围为D.的取值范围
三、填空题
13．已知向量，，若，则___________.
14．设i为虚数单位，若复数，则z的实部与虚部的和为______.
15．在中，是的角平分线，且交于M.已知，，，则__________.
16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图，得到如图所示的图形.若，则______.
四、解答题
17．已知复数，其中i为虚数单位，.
（1）若z为实数，求m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在直线上，求m的值.
18．已知复数是方程的根（i是虚数单位，）
（1）求；
（2）设复数，（是z的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围.
19．如图，在平行四边形中，，垂足为P.
（1）若，求的长；
（2）设，，，，求的值.
20．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
条件①；条件②.
21．在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南，，方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：.
22．后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制.某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊.已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造.如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧AB上，点M和点N分别在线段和线段上，且，.记.
（1）请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，S取得最大值；
（2）记，若存在最大值，求的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：根据向量的线性运算法则，可得.
故选：D.
2．答案：B
解析：因为，则，解得.
故选：B.
3．答案：C
解析：设与的夹角为，则
又因为，
所以.
故选：C.
4．答案：B
解析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，
设长为7的边CA所对的角为θ，则最大角与最小角的和是，
由余弦定理可得，，
由θ为三角形内角，，
则最大角与最小角的和是.
故选：B.
5．答案：D
解析：由题意可得，
因为与共线，
所以，即，解得，
故选：D.
6．答案：C
解析：设，，
因为，所以，
因为，所以，
设，则，
，解得，，即.
故选：C.
7．答案：C
解析：由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，对应的点为，如上图所示，则.
故选：C.
8．答案：D
解析：由题图（2）得，圆形木板的直径为.
设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.
由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，当且仅当时等号成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，当且仅当时等号成立，
因此，这块四边形木板周长的最大值为.
故选：D.
9．答案：AD
解析：因为，A正确；
复数的虚部为，B不正确；
若，则，，C不正确；
设，，所以，
，D正确.
故选：AD.
10．答案：AC
解析：由图知，，，故A正确，B不正确；
，，故C正确，D不正确.
故选：AC.
11．答案：AD
解析：对于A，由正弦定理得：，
，，即，，则三角形有唯一解，A正确；
对于B，由正弦定理得：，
，，即，或，则三角形有两解，B错误；
对于C，由正弦定理得：，B无解，C错误；
对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.
故选：AD.
12．答案：ACD
解析：以O为原点，以为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
设，则，其中，，.
因为，
所以，即，
所以.
所以当时，取得最大值2，此时点C为的中点，
当或时，取得最小值1，此时点C为A或B点，故A正确，B错误；
又，，
所以.
因为，所以，故，因此，
所以的取值范围为，故C正确；
由，
又，所以，故，
则，所以，所以D正确.
故选：ACD.
13．答案：3
解析：向量，，若，则，解得.
故答案为：3.
14．答案：1
解析：因为，
因此，复数z的实部与虚部之和为.
故答案为：1.
15．答案：
解析：由题意是的角平分线，，，，
由角平分线的性质知：，
设，，，
因为，则，则，
所以，整理得，解得或（舍）.
所以.
故答案为：.
16．答案：/
解析：如图，以A为原点，分别以，为x，y轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为a，
可知，，，，
则，，即，
又，即，
，
即，即，化简得.
故答案为：.
17．答案：（1）或
（2）
解析：（1）若为实数，
则有，得或.
（2）若复数z在复平面内对应的点在直线上，
则，得.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题知，
，
即，
，.
（2），
.
19．答案：（1）2
（2）
解析：（1）在平行四边形中，，垂足为P，
，
，
解得，故长为2.
（2），且B，P，O三点共线，
①，
又，，，
则，
由可知，
展开，化简得到②，
联立①②解得，，故.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）选条件①，，，又，
，而，故；
选条件②，，，
即，，又，故，
在中，当，，时，
由余弦定理得：，
即，（负值舍去），
所以.
（2）由题设及（1）可知：，，
故由正弦定理得：，
，，故（当且仅当时等号成立），
即；
综上，的面积为，的取值范围是.
21．答案：12h后该城市开始受到台风的侵袭
解析：设后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，,
，
，
即，
依题意得，解得，
从而12h后该城市开始受到台风的侵袭.
22．答案：（1），，
（2）
解析：（1）由题可知，在中，，，，，
则由正弦定理，可得，
故可得，，
故
，，
即，，
当时，，此时S取得最大值.
（2）由（1）知，，，
，
，，
，
，
令，，
，
当时，t关于递减，不存在最大值
当时，，
其中，，
，，
要使t存在最大值，只需，即，
得解得.