贵州省贵阳市部分学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份贵州省贵阳市部分学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若集合，，则( )
A.B.C.D.
2．某同学测得连续7天的最低气温（单位：℃）分别为18，19，18，15，15，17，13，则该组数据的第70百分位数为( )
A.15B.17C.17.5D.18
3．设，，，则( )
A.B.C.D.
4．设等比数列的前n项和为，，，则( )
A.B.63C.D.31
5．已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为( )
A.B.C.D.
6．在正方体中，E为的中点，O为的中点，则下列直线与不垂直的是( )
A.B.C.D.
7．已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为( )
A.5B.6C.7D.
8．若直线l是曲线与的公切线，则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．复数z满足，则( )
A.z为纯虚数B.
C.z的实部不存在D.复数在复平面内对应的点在第二象限
10．已知函数的定义域为R，对所有的，都有，则( )
A.为奇函数B.为偶函数
C.在R上可能单调递增D.在R上可能单调递减
11．已知椭圆的离心率为，焦点为，，则( )
A.C的短轴长为4
B.C上存在点P，使得
C.C上存在点P，使得
D.C与曲线重合
三、填空题
12．已知向量，，.若A，B，D三点共线，则________.
13．设是等差数列的前n项和，且，m为常数，则________.
14．甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从A，B，C三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为________.
四、解答题
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）已知，求面积的最大值.
16．某种专业技能资格考核分A，B，C三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元.已知每个参加考核的人通过A，B，C三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立.现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核.
（1）求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
（2）记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为X，求X的分布列与期望.
17．如图，在正三棱柱中，E，F分别为棱，的中点，.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值.
19．定义在区间D上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是D上的“好函数”.
（1）若是上的“好函数”，求a的取值范围.
（2）（ⅰ）证明：是上的“好函数”.
（ⅱ）设，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意得，则.
故选：C.
2．答案：D
解析：将该组数据从小到大排列为13，15，15，17，18，18，19，又，
所以该组数据的第70百分位数为18.
故选：D
3．答案：B
解析：依题意，，又，
，所以.
故选：B
4．答案：A
解析：设等比数列的公比为q，则，
由，解得，
故.
故选：A.
5．答案：A
解析：由题可知，当或时，取得最值；
对于A：，
，符合题意，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误.
故选：A
6．答案：D
解析：
对于A，在正方体中，，又，
所以，故A不合题意；
对于B，在正方体中，，又，
所以，故B不合题意；
对于C，在正方体中，，又，
所以，故C不合题意；
在平面内的一条直线，若它和平面内的一条斜线在平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直，
如图，取中点F，连接，，易知，
所以为在内的射影，又与不垂直，所以与不垂直，所以D满足题意，
故选：D.
7．答案：A
解析：如图所示：
设切点为Q，则，，
则，
设，则由两点间距离公式得到，
解得，因为，所以，
因为M的准线方程为，所以点P到M的准线的距离PE为.
故选：A.
8．答案：B
解析：由，得，由，得.
设直线l与曲线切于点，与曲线切于点，
则①，又②，
由方程①②解得，，所以直线l过点，斜率为1，
即l的方程为.
故选：B.
9．答案：AB
解析：由，
解得或，
故z为纯虚数.
，z的实部为0，
则复数在复平面内对应的点在第二象限或第三象限.
故选：AB.
10．答案：AC
解析：令，，则，
若，则，即，
所以(，C为常数)，则.
因为，所以，所以为奇函数，故A正确，B错误.
，当时，在R上单调递增，故C正确.
结合是开口向上的二次函数可知，不可能恒成立，故D错误.
故选：AC.
11．答案：BCD
解析：对于A，由题知，解得，所以，
所以C的短轴长为，A错误；
对于BC，由上可知，，，
设，则，，
又，即，
所以，
因为，所以，得，
所以存在点P使得，，所以BC正确；
对于D，由的几何意义可知：
动点到定点，的距离之和等于，
表示以，为焦点，的椭圆，故D正确.
故选：BCD
12．答案：
解析：因为，，所以，
又A，B，D三点共线，所以，
所以，解得.
故答案为：
13．答案：2
解析：当时，，
即，即.
因为，
所以当时，，
两式相减得，
所以，两式相减得.
因为数列为等差数列，
所以数列的公差，故，
解得.
14．答案：486
解析：依题意，甲、乙、丙恰好去三个不同的社区有种方法，
除甲、乙、丙外的余下4人，每个选择一个社区的方法有3种，4人去社区的方法种数为，所以所有不同的选择种数为.
故答案为：486
15．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）因为，
所以由正弦定理可得.
又，
所以，
所以，
即.
因为，所以，
所以，即，
又，
所以.
（2）由余弦定理可知，
即.
因为，
所以，解得，
当且仅当时，等号成立，
则的面积为，
即面积的最大值为.
16．答案：（1）；
（2）分布列见解析，期望.
解析：（1）甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为.
（2）由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
X的可能取0，1，2，3，显然，
，，
，，
所以X的分布列为：
期望.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）证明：取G为的中点，连接，.
因为E为棱的中点，所以，且.
又F为棱的中点，所以.
因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）取O为的中点，H为的中点，连接，.
因为为正三棱柱，所以，，两两垂直.
以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量为，则
令，则，，可得，
又是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：（1）；
（2）证明见解析.
解析：（1）设双曲线C的一个焦点为，一条渐近线方程为，
焦点F到渐近线的距离为，
由实轴长是虚轴长的倍，得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）知，双曲线C的渐近线方程为，
当直线l的斜率不存在时，l的方程为，，，
当直线l的斜率存在时，不妨设直线，且，
由消去y得，
由，得，
由，得，不妨设l与的交点为P，则点P的横坐标，
同理得点Q的横坐标，则，
而原点O到直线l的距离，因此，
所以的面积为定值，且定值为.
19．答案：（1）；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
解析：（1）由题可知任意，且，，
即，解得.
因为，所以，即a的取值范围为.
（2）（ⅰ）证明：设，
则.
令，且，，，
则，则在上单调递增，
所以，即，
所以是上的“好函数”.
（ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，当时，，
令，，，则，
即.
故，
化简可得.
X
0
1
2
3
P