湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设，则“”是“”的( )
A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．已知i为虚数单位，若复数,在复平面内对应的点分别为，,则复数( )
A.B.C.D.
3．( )
A.-4B.4C.-2D.2
4．已知P为椭圆上一动点，,分别为其左右焦点，直线与C的另一交点为A,的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
5．若n为一组数8,2,4,9,3,10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是( )
A.28B.56C.36 D.40
6．三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：( )
A.360种 B.540种C.720种D.900种
7．已知函数的两个零点分别为，,若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
8．设函数在R上存在导数，,有，在上，若，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图，正方体的边长为2,M为的中点，动点P在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是( )
A.动点P的轨迹长度为；
B.异面直线与所成角的正切值为2；
C.的最大值为2；
D.三棱锥的外接球表面积为.
10．已知定义域在R上的函数满足：是奇函数，且，当，,则下列结论正确的是( )
A.的周期B.
C.在上单调递增D.是偶函数
11．锐角中，角A,B,C的对边为a,b,c.且满足,.下列结论正确的是( )
A.点A的轨迹的离心率
B.
C.的外接圆周长
D.的面积
三、填空题
12．若直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是___________.
13．已知数列满足：,.若，则数列的前n项和__________.
四、双空题
14．暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹.已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的.如图，已知该座山的底面半径，高，则盘山步道的长度为__________，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为__________.
五、解答题
15．在锐角中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面,,E为线段的中点，F为线段（不含端点）上的动点.
（1）证明：平面平面；
（2）是否存在点F，使二面角的大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
17．已知函数,.
（1）若在上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）当时，求证在上恒成立.
18．已知是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，已知，
（1）求抛物线的方程及a的值；
（2）当A在第一象限时，O为坐标原点，B是抛物线上一点，且的面积为1，求点B的坐标；
（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，,问抛物线的准线上是否存在一点P使得，.
19．材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p，试验进行到事件A第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为，其分布列为，我们称服从几何分布，记为.
材料二：求无穷数列的所有项的和，如求，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前n项和，再求时的极限：
根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量X.
（1）证明：；
（2）求随机变量X的数学期望；
（3）求随机变量X的方差.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：B
解析：
4．答案：C
解析：
5．答案：A
解析：
6．答案：C
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：ACD
解析：
10．答案：BC
解析：
11．答案：CD
解析：
12．答案：.
解析：由题意可得直线即,
所以直线l恒过定点,
曲线图象为以为圆心,2为半径的上半圆（包含x轴部分）,
它们的图象如图所示：
当直线l过点时,它们有两个交点,此时,
当直线l与上半部分圆相切时,有一个交点,此时,
由图象可知,若直线l与曲线C有两个不同的交点,则,
即实数k的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：
解析：
14．答案：；
解析：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，结合正弦定理得
可得，
所以，
所以或（舍去），所以
（2）在锐角中，，即，
所以
.
令，，
因为在上单调递增，
所以，，所以.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：底面为正方形，.
平面，.
平面.
又平面，.
，E为的中点，.
,平面.
平面,平面平面.
（2）以,,分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，，,,,,
设，
，
设平面的法向量，
则,
，,设平面的法向量，
则解得
由题意得：，
即，解得.从而.
17．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）函数，则，
对任意的恒成立，所以，
故，
所以，
故实数a的取值范围为；
（2）证明：由题意知，要证在，上，，
令，则，
显然在上单调减，，，
所以存在，则，
所以当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以，
故在，上恒成立.
18．答案：（1）
（2）,,
（3）不存在，理由见解析
解析：（1）由题意，解得，因此抛物线的方程为
点在抛物线上可得，故
（2）设点B的坐标为,边上的高为h，我们知道的面积是：
所以：
直线的方程是，利用B到直线的距离公式可得：
化简得：
由于点在抛物线上，代入条件可得：
可以得到或，解这个方程可以得到
或
代入拋物线方程可以得到：
或或
综上所述，点B的坐标有三个可能的值：
,,
（3）不存在，理由如下：
由（2）知
则的中点
M到准线的距离等于因为
所以，以M为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点P满足题设条件.
19．答案：（1）见解析
（2）6
（3）30
解析：（1）证明：可知，，
则.
（2）设
两式相减，
则随机变量X的数学期望；
（3）
【也可利用】
而
两式相减：
从而：.那么.