人教A版高二数学选择性必修第一册-第三章 圆锥曲线的方程 章末测试（解析版）

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第三章 章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题(每题5分，共40分）1．（2020·全国高二课时练习）已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为（ ）A．3 B．2 C．4 D．【答案】A【解析】如图，作垂直准线于点，由题意可得，显然，当三点共线时，的值最小；因为，，准线，所以当三点共线时，，所以.故选A2．（2020·全国高二课时练习）抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为(　　)A．2 B．1C．2 D．3【答案】A【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.根据抛物线定义，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入抛物线方程求得xP＝± ，∴点P到y轴的距离为.故选A.3．（2020·全国高二课时练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得即∴或故选：D.4．（2020·全国高二课时练习）曲线与曲线的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等【答案】D【解析】首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率 ，，的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等.故选D.5．（2020·全国高二课时练习）与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】椭圆可化为标准方程，可知椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆方程为，则.又，即，所以，故所求椭圆的标准方程为.故选：B.6．（2020·全国高二课时练习）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知解得.7．（2020·全国高二课时练习）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】为等腰直角三角形，，即得，解得．8．（2020·全国高二课时练习）设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【解析】当焦点在x轴时，，当焦点在y轴时，所以实数的取值范围是.故选：D.二、多选题（每题5分，共20分）9．（2020·全国高二课时练习）已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是（ ）A．当时，曲线C表示椭圆；B．当或时，曲线C表示双曲线；C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则；D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则；【答案】BC【解析】由，得，此时方程表示圆，故A选项错误.由双曲线的定义可知时，即或时，方程表示双曲线，故B选项正确.由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在轴上时，满足，解得，故C选项正确.当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故D选项不正确.综上所述，正确的选项为BC.故选：BC10．（2020·广东汕头高二期末）双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，下列结论正确的是（ ）A．该双曲线的离心率为B．该双曲线的渐近线方程为C．点到两渐近线的距离的乘积为D．若，则的面积为32【答案】BC【解析】，故错误；双曲线的渐近线方程为即，故正确；设双曲线上一点，即则到两渐近线的距离的乘积为，故正确；若，则由焦点三角形面积公式，故错误.综上，正确的有故选：11．（2019·山东青岛二中高二月考）下列说法正确的是（ ）A．方程表示两条直线B．椭圆的焦距为4，则C．曲线关于坐标原点对称D．双曲线的渐近线方程为【答案】ACD【解析】方程即，表示，两条直线，所以A正确；椭圆的焦距为4，则或，解得或，所以B选项错误；曲线上任意点，满足，关于坐标原点对称点也满足，即在上，所以曲线关于坐标原点对称，所以C选项正确；双曲线即，其渐近线方程为正确，所以D选项正确.故选：ACD12．（2019·山东淄博.高二期中）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的取值可以为( )A．3 B．4 C． D．【答案】ABD【解析】抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离,所以过焦点作直线的垂线,则到直线的距离为的最小值,如图所示：所以,选项ABD均大于或等于3.故选:ABD第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．（2019·湖北襄阳。高二期中）椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.【答案】【解析】根据题意，椭圆，其中，，则，点在椭圆上，若，则，在△中，，，，则，则有，故答案为．14．（2020·平罗中学高二月考（文））已知、是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________．【答案】【解析】如图,因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.因为，，所以,.因为，所以即，所以.故答案为：15．（2020·全国高二课时练习）若双曲线的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，已知，则的最小值是_____________.【答案】9.【解析】设双曲线的右焦点，则，∴，等号成立当且仅当共线.故答案为：.16．（2020·全国高二课时练习）设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于________.【答案】24【解析】双曲线的两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，由双曲线的性质知x﹣x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∵|F1F2|=10，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=×8×6=24．故答案为24．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线的方程是.（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.【答案】（1）焦点坐标，，离心率，渐近线方程为；（2）.【解析】（1）解：由得，所以，，，所以焦点坐标，，离心率，渐近线方程为.（2）解：由双曲线的定义可知，∴ ，则.18．（2020·定远县育才学校高二期末（文））已知双曲线：的离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线恒有两个不同的交点，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，可得，所以，故双曲线方程可化为，将点代入双曲线的方程，解得，所以双曲线的方程为；（2）联立直线与双曲线方程，，由题意得，，解得且，所以的取值范围为.19．（2020·全国高二课时练习）已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1） （2） 【解析】（1）设，因为直线的斜率为，所以，. 又解得，所以椭圆的方程为.（2）解：设由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离所以，设，则，，当且仅当，即，解得时取等号，满足所以的面积最大时直线的方程为：或.20．（2020·全国高二课时练习）点在椭圆：上，且点到椭圆两焦点的距离之和为．(1)求椭圆的方程；(2)已知动直线与椭圆相交于两点，若，求证：为定值【答案】（1）（2）【解析】（1）解得即椭圆的方程为（2）设，联立得．， 21．（2020·定远县育才学校高二期末（理））双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设双曲线的方程为，则，故，故双曲线的方程是.（2）由，得，由，且得，且，设，因为以为直径的圆过原点，所以，所以，又，所以，所以解得.22．（2019·广东高二期末（理））已知抛物线：上一点到其准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，，为抛物线上三个点，，若四边形为菱形，求四边形的面积．【答案】(1) ；(2) 或【解析】（1）由已知可得，消去得：，抛物线的方程为（2）设，，菱形的中心当轴，则在原点，，，，菱形的面积，解法一：当与轴不垂直时，设直线方程：，则直线的斜率为消去得：，，∵为的中点∴，点在抛物线上，且直线的斜率为．解得：，，综上，或解法二：设，直线的斜率为，直线的斜率为，可以设直线：消去得：∵，解方程：，解得，，接下去同上．