2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题1-1基本不等式及其应用【21类题型全归纳】-2含解析答案

这是一份2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题1-1基本不等式及其应用【21类题型全归纳】-2含解析答案，共32页。
【题型11】基本不等式的实际应用问题
不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养．
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数：
若，则（当且仅当时取“=”）
1．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
2．小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】
3．原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（ ）
A．第一种方案更划算
B．第二种方案更划算
C．两种方案一样
D．无法确定
【巩固练习2】
4．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理､定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字”证明.如图，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E.设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的“无字”证明为（ ）
A．(a>0，b>0)
B．(a>0，b>0，a≠b)
C．(a>0，b>0)
D．(a>0，b>0，a≠b)
【巩固练习3】
5．给出下面四个结论，其中不正确的是（ ）
A．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，则若n次（）购买同一物品，用第一种策略比较经济
B．若二次函数在区间内恰有一个零点﹐则实数a的取值范围是
C．已知函数，若，且，则的取值范围是
D．设矩形的周长为24，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，设，则的面积是关于x的函数且最大值为
【题型12】与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值（和，积，平方和互相转化）
利用基本不等式变形求解
常用不等式链：（主要用于和积转换）
（2024·辽宁葫芦岛·二模）
6．若，则的最小值是 （ ）
A．B．1
C．2D．
（2024·重庆渝中·模拟预测）
7．已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】
8．已知实数，满足，则的最大值为
【巩固练习2】
（2024·高三·海南·期末）
9．已知，且，则（ ）
A．B．或
C．D．或
【巩固练习3】
10．已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题
，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于
11．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
12．若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围 .
【巩固练习1】
13．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
14．已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】
15．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习4】
16．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 .
【题型14】消元法
消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
17．已知，，则的最小值为 ．
【巩固练习1】
18．若，则的最小值为 ．
【巩固练习2】（2024·浙江嘉兴·二模）
19．若正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【巩固练习3】（2024·重庆·模拟预测）
20．已知，且，则（ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的最小值是3
D．的最小值是
E．
【题型15】因式分解型
含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值
（重庆巴蜀中学校考）
21．已知，，且，则的最小值是
【巩固练习1】
22．设，为正实数，若，则的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【巩固练习2】
23．若，且，则的最小值为 .
【巩固练习3】
（2024·江苏南京·三模）
24．若实数满足，则的最大值为 .
【题型16】同除型（构造齐次式）
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．
25．设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
26．已知正实数满足，则的最小值为 .
【巩固练习2】
27．已知，，，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
【题型17】万能“k”法
求啥设啥，利用一元二次方程有实数根时.
（2024·湖南衡阳·模拟预测）
28．已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
29．若正数，，满足，则的最大值是 .
【巩固练习2】（重庆巴蜀中学校考）
30．已知实数，满足，则的最小值为
【巩固练习3】
31．已知正实数满足，则的取值范围为 ．
【题型18】三角换元法（利用三角函数）
出现平方和结构（）形式，引入三角函数表示和
32．若x，y满足，则的最大值为
33．若x，y满足，则（ ）.
A．B．
C．D．
【巩固练习1】
34．若x，y满足，则的最大值为
【巩固练习2】
35．已知实数满足，则的最大值为 .
【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题
利用基本不等式求最值往往交汇考查，多涉及数列、三角、向量、解析几何、立体几何等问题中有关最值的求法．
（2024·宁夏银川·二模）
36．已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 .
（2024·江西·模拟预测）
37．已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
【巩固练习1】（2024苏锡常镇二模）
38．已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
39．若直线被圆，所截得的弦长为6，则的最小值为 ．
【巩固练习3】
40．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．9D．12
【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型）
对于，求最大值
可以设，配好系数后的与可以凑出定值
41．已知为正实数,且,求的最大值.
【巩固练习1】
42．若，，且，求的最大值为 ．
【巩固练习2】
43．已知a，b是正实数，且，求的最大值．
【题型21】多次运用基本不等式
多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致.
44．已知正实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【巩固练习1】
45．对任意的正实数，满足，则的最小值为 .
【巩固练习2】
46．已知正实数、、满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
参考答案：
1．C
【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.
【详解】解：由图知：，
在中，，
所以，即，
故选：C
2．D
【分析】平均速度等于总路程除以总时间
【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
，，，
∴，，
故选:D.
3．B
【解析】分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论.
【详解】设小李这两次加油的油价分别为元升､元升，则：
方案一：两次加油平均价格为，
方案二：两次加油平均价格为，
故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.
故选：B.
4．D
【分析】求出半圆O的半径DO=，DC=，DE=，根据DE