2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题2-1函数的基本概念及其性质-1含解析答案

这是一份2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题2-1函数的基本概念及其性质-1含解析答案，共18页。


【题型1】函数的概念
【题型2】 同一函数的判断
【题型3】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）
【题型4】建立方程组求解析式（方程思想）
【题型5】求嵌套函数的解析式（换元或配凑）
【题型6】求具体函数的定义域
【题型7】已知定义域求参数
【题型8】抽象函数的定义域问题
【题型9】分离常数法求值域
【题型10】换元法求函数的值域
【题型11】对勾函数值域问题
【题型12】已知值域求参数范围
【题型13】分段函数及其应用
【题型1】函数的概念
一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x).
1．下列关系中是函数关系的是（ ）
A．等边三角形的边长和周长关系B．电脑的销售额和利润的关系
C．玉米的产量和施肥量的关系D．日光灯的产量和单位生产成本关系
2．下列图象中，表示函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】
4．下列图象中，能表示函数图象的是（ ）

A．①②B．②③C．②④D．①③
【巩固练习2】
5．设集合，.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【题型2】 同一函数的判断
两个函数相同需要满足的条件是：1.定义域相同；2.解析式相同.
（2024·重庆·二模）
6．下列函数中，与是相同的函数是
A．B．
C．D．
【巩固练习1】（2024·山东·一模）
7．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）
8．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型3】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）
待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
9．若二次函数满足，且.求的解析式.
【巩固练习1】
10．已知二次函数满足，且.求的解析式.
【巩固练习2】
11．已知函数，则 ．
【巩固练习3】（2024·广东东莞·二模）
12．已知函数，，则 ．
【题型4】建立方程组求解析式（方程思想）
已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
（广东深圳实验校考）
13．已知函数满足，且，则 .
【巩固练习1】（广东广雅中学校考）
14．已知，则 .
【巩固练习2】
15．若对任意实数，均有，求.
【巩固练习3】
16．已知定义在上的函数满足，则函数的解析式 .
【题型5】求嵌套函数的解析式（换元或配凑）
换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
17．函数满足若，则（ ）
A．B．
C．D．
18．若函数，且，则等于（ ）
A．B．C．3D．
【巩固练习1】
19．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
20．已知函数满足：，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】
21．设函数，则的表达式为（ ）
A． B．
C．D．
【题型6】求具体函数的定义域
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
22．函数的定义域为
23．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【巩固练习1】
24．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
25．函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】（2024·山东泰安·三模）
26．已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【题型7】已知定义域求参数
函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义域求参数.
一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较容易.
27．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
28．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
【巩固练习1】
29．已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
30．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】
31．已知函数的定义域是关于的不等式的解集的子集，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
近4年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2021年浙江卷：第12题，5分
函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考对函数的概念考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现.高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主.
(1)了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域(2)会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数
(3)了解简单的分段函数，并会应用
2022年浙江卷：第14题，5分
2023年北京卷：第11题，5分
2024年上海卷，第2题,5分
参考答案：
1．A
【分析】题目考察函数关系的定义，即当一个变量取一定的值时，另外一个变量有确定的值与其对应，则符合函数关系
【详解】根据函数关系的定义可得，选项A中，当等边三角形的边长取一定的值时，周长有唯一且确定的值与其对应，所以等边三角形的边长和周长符合函数关系；其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系
故选：A
2．D
【分析】利用函数的概念即可求解.
【详解】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项D的图象满足.
故选：D.
3．A
【分析】根据函数的定义逐一判断即可得出答案.
【详解】解：①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，
即A中每一个元素在对应法则下，在中都有唯一的元素与之对应，
对于④⑤，A的每一个元素在中有个元素与之对应，∴不是A到的函数，
对于⑥，A中的元素、在中没有元素与之对应，∴不是A到的函数，
综上可知， 是函数的个数为.
故选：A.
4．D
【分析】根据函数的定义判断可得出结论.
【详解】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意，
对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义；
对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义.
故选：D．
5．C
【分析】根据集合到集合的函数定义即可求解.
【详解】①中：因为在集合中当时，
在中无元素与之对应，所以①不是；
②中：对于集合中的任意一个数，
在中都有唯一的数与之对应，所以②是；
③中：对应元素，所以③不是；
④中：当时，在中有两个元素与之对应，
所以④不是；
因此只有②满足题意，
故选：C.
6．B
【分析】求出各选项函数的定义域，并对解析式进行化简，要求所选函数的定义域和解析式都与函数的定义域和解析式一致，可得出正确的选项.
【详解】对于A选项，函数定义域为，其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数；
对于B选项，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式一致，两个函数是同一函数；
对于C选项，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数；
对于D选项，的定义域为，但其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数.
故选B.
【点睛】本题考查函数相等概念的理解，判断两个函数是否为同一函数，关键看定义域和对应关系是否一致，而对应关系主要是看解析式，意在考查学生对于这个概念的理解，属于基础题.
7．D
【分析】根据同一函数的定义对四个选项中的两个函数进行比较即可.
【详解】选项A:函数的定义域是，函数的定义域是全体实数，故这两个函数不是同一函数；
选项B:函数的定义域是，函数的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；
选项C: 函数的定义域是,函数的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；
选项D:函数和的定义域都是全体实数，且，对应关系相同，所以是同一函数，故本题选D.
【点睛】本题考查了同一函数的识别，正确求出函数的定义域、判断对应关系是否相同是解题的关键.
8．C
【解析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B中，函数和的定义域不同，不是同一函数；
对于C中，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；
对于D中，函数的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
9．
【分析】根据题意，设，由得到c，由，
可得，变形可得，解可得a、b的值，将a、b、c的值代入函数解析式，即可得答案.
【详解】根据题意，设，
由得，则.
又由，
所以.
即，
则有，解可得，
则.
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法.注意利用待定系数法分析，属于基础题.
10．
【分析】设，利用建立恒等式求解即可.
【详解】设二次函数，
因为，所以，
由，得，
得，
所以，得，
故.
11．
【分析】代入函数解析式计算即可.
【详解】解：因为，所以，
.
故答案为：.
12．3
【分析】利用直接代入法结合对应系数相等可得的值，将代入可得结果.
【详解】由题意，得，
即，解得，，因此，
故答案为3.
【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的求法，利用系数相等是解题的关键，属于基础题.
13．
【分析】用替换,再解方程组可得答案.
【详解】由①，
用替换，得②，
①×2－②，得，得.
故答案为：.
14．
【分析】令，得到，进而求得函数的解析式.
【详解】令，则且，所以，
所以函数的解析式为.
故答案为：
15．.
【分析】利用方程组方法即可求解.
【详解】利用方程组法求解即可；
∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为： .
16．
【分析】根据已知把换成，建立方程组求解.
【详解】因为，把换成有：，
联立，解得.
故答案为：
17．A
【分析】对的式子适当变形，即可直接求出.
【详解】因为，
所以，则.
故选：A.
18．D
【分析】令，则代入原式计算整理即可得结果.
【详解】令，则
即
故选：D.
19．B
【分析】利用换元法令求解析式即可．
【详解】令，则，且，则，
可得，
所以.
故选：B.
20．A
【分析】通过化简即可得出函数的解析式.
【详解】因为，∴，
故选：A.
21．B
【分析】令，则可得，然后可得答案.
【详解】令，则可得
所以，所以
故选：B
【点睛】易错点睛：本题主要考查函数解析式的求法，主要涉及了用换元法，要注意换元后的取值范围，考查学生的转化与化归能力，属于基础题.
22．
【分析】根据具体函数有意义的限制条件，列出不等式组，再解不等式组即可求解．
【详解】根据具体函数有意义的条件得，
.
故答案为：．
23．
【分析】由函数的定义域可推得的定义域，再结合对数的真数大于0、要使函数有意义即可得出结论.
【详解】由函数的定义域是，得到，故 即 .
解得: ；所以原函数的定义域是：.
故答案为：.
24．C
【分析】由函数形式得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，则定义域为，
故选：C.
25．D
【分析】根据函数的解析式，列出相应不等式，即可求得其定义域.
【详解】函数需满足且 ，
即的定义域为，
故选：D.
26．D
【分析】先求得函数的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项.
【详解】因为，所以解得，所以函数的定义域为，
所以函数需满足且，解得且，
故选：D.
【点睛】本题考查函数的定义域，以及复合函数的定义域的求解方法，属于基础题.
27．B
【分析】由题意可知的解集为R，分，两种情况讨论，即可求解.
【详解】函数的定义域为R，可知的解集为R，
若，则不等式为恒成立，满足题意；
若，则，解得．
综上可知，实数k的取值范围是．
故选：B．
28．
【分析】由恒成立可得．
【详解】的定义域是R，则恒成立，
时，恒成立，
时，则，解得，
综上，．
故答案为：．
29．A
【分析】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意得对任意恒成立，
当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意；
当时，由该不等式恒成立可得
，解之得，
综上，实数的取值范围是
故选：A
30．D
【分析】分、、三种情况，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】当时，，则，得，即定义域为，不符合题意；
当时，，定义域为R，符合题意；
当时，由题意得关于x的不等式恒成立，
故，解得或.
综上，实数a的取值范围是.
故选：D
31．A
【分析】依题意解不等式即可.
【详解】函数定义域非空集，则，解得.
记，
因为，所以的解集为，
依题意有或，所以或，
又，，所以.
故选：A.