山东省2024届数学夏令营试卷

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1. 实数 满足 . 则 的最小值是_________.
2. 如图,锐角 中, 为外心, 是垂心. 过 作 垂足为 与 相交于 . 则 _________.
3. 将集合 为非负整数 中的数从小到大依次排成数列 若 ,则 的值为_________.
4. 设数列 满足 ,
. 则 _________.
5. 平面上坐标都是整数的点称为格点. 则曲线 与 轴和 围成区域(含边界)的格点数是_________.
6. 对 的任一子集 为 中所有数之和. 则
二. 解答题(本题共 4 道题, 每题 13 分, 满分 52 分).
7. 已知:PAB, PCD 是 的两条割线, AD, BC 交于 E,延长 OE 交 PBD 于 Q.
求证: OQ⊥PQ.
8. 设 ,满足 ,求证:
(1) ;
(2) .
9. 在一个 方格表中,每一个方格放入一个整数. 使相邻两个格子中数的差的绝对值不超过 ( 为给定的正整数). 求 个整数中重复最多的那个数的重复次数的最小值.
10. 求三条边长均为素数且有一内角的度数为有理数的所有三角形.