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四川省乐山市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份四川省乐山市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共23页。
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
注意事项：
1．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（ ）
A. 第11项B. 第12项C. 第13项D. 第14项
3. 对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量u，v由观测数据得散点图2．表示变量x，y之间的线性相关系数，表示变量u，v之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量x与y呈现正相关，且B. 变量x与y呈现负相关，且
C. 变量u与v呈现正相关，且D. 变量u与v呈现负相关，且
4. 某校准备从甲、乙等7人中选出4人参加社区服务工作，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的方法有（ ）
A. 35种B. 30种C. 25种D. 20种
5. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值．则（ ）
A B. C. D.
6. 某市组织5名志愿者到当地三个学校开展活动，要求每个学校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一个学校，则不同的派出方法有（ ）
A. 240种B. 150种C. 120种D. 60种
7. 某次大型联考名学生参加，考试成绩（满分分）近似服从正态分布（其中和分别为样本均值和标准差），若本次考试平均成绩为分，分以上共有人，学生甲的成绩为分，则学生甲的名次大致是（ ）名．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
A. B. C. D.
8. 已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设离散型随机变量满足，则下列说法正确是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. 最小值为
11. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（ ）
A. 1B. 0C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 由数字2，3，4，5可组成________个三位数（各位上数字可重复，用数字作答）．
14. 一个不透明的箱子中有5个小球，其中2个白球，3个黑球，现从中任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率是________．
15. 数列是各项均为正数的等比数列，满足，，则数列的通项________．
16. 已知函数，若有解，则a的取值范围是____________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17. 某游泳俱乐部为了解中学生对游泳是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对游泳有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对游泳没有兴趣．
（1）完成下面2×2列联表：
（2）依据的独立性检验，能否认为游泳兴趣跟性别有关？
附：，其中．
18. 已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
19. 2020年至2023年全国粮食年产量y（单位：万万吨）的数据如下表：
（1）请用相关系数判断关于的线性相关程度（计算时精确到小数点后2位，若，则线性相关程度较高，若，则线性相关程度一般）；
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年全国粮食年产量．
参考公式：相关系数，回归直线方程的斜率，截距．
参考数据：，，．
20. 设数列是等差数列，是等比数列，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列单调递增，记，求数列的前n项和，并证明：．
21. 某校篮球队举行投篮与传球训练：
（1）投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组3个球，先投2个普通球，再投1个花球．记投进一个普通球得1分，普通球投进的概率为；投进一个花球得2分，花球投进的概率为．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为，求的分布列和期望;
（2）现选投篮成绩最好的3名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接住．求传了次球后，球在甲手上的概率．
22. 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若，求证：．有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
合计
α
0.10
0.05
0.01
0.005
2706
3.841
6.635
7.879
年份
2020
2021
2022
2023
年份代号x
1
2
3
4
总产量y
6.69
6.82
6.86
6.95
机密★启用前〔考试时间：2024年7月3日下午15：00-17：00〕
乐山市高中2025届期末教学质量检测
数学
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
注意事项：
1．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数，再代入求值即可.
【详解】函数，求导得，所以.
故选：A
2. 已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（ ）
A. 第11项B. 第12项C. 第13项D. 第14项
【答案】D
【解析】
【分析】将,变形为,根据数列,可知是数列的通项公式,即可求得答案.
【详解】根据数列1，，，，3，…，
，
又，
,解得 ，
故选:D.
3. 对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量u，v由观测数据得散点图2．表示变量x，y之间的线性相关系数，表示变量u，v之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量x与y呈现正相关，且B. 变量x与y呈现负相关，且
C. 变量u与v呈现正相关，且D. 变量u与v呈现负相关，且
【答案】A
【解析】
【分析】利用散点图，结合相关系数的知识可得答案.
详解】观察散点图，得变量x与y呈现正相关，变量u与v呈现负相关，BC错误；
图1中各点比图2中各点更加集中，相关性更好，因此，A正确，D错误.
故选：A
4. 某校准备从甲、乙等7人中选出4人参加社区服务工作，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的方法有（ ）
A. 35种B. 30种C. 25种D. 20种
【答案】B
【解析】
【分析】利用组合计数问题，结合排除法列式计算即得.
【详解】从7人中任选4人有种方法，从不含甲乙的5人中任选4人有种方法，
所以所求选法种数为.
故选：B
5. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目所给定义，利用导数的几何意义求切线方程即可求解.
【详解】由题意可得，，
由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，
所以，整理得，
所以，，
所以过点做曲线的切线的斜率，
设该切线为，则，整理得，
所以，
故选：C
6. 某市组织5名志愿者到当地三个学校开展活动，要求每个学校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一个学校，则不同的派出方法有（ ）
A. 240种B. 150种C. 120种D. 60种
【答案】B
【解析】
【分析】先将人分为组，再分配到三个学校去即可.
【详解】人数分配上有和两种情况，
当为时，不同的派出方法有种，
当为时，不同的派出方法有种，
所以不同的派出方法有种.
故选：B.
7. 某次大型联考名学生参加，考试成绩（满分分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为分，分以上共有人，学生甲的成绩为分，则学生甲的名次大致是（ ）名．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，得到，利用正态分布的对称性得出，即可求解.
【详解】由题知，，所以，
得到，所以，得到学生甲的名次大致是，
故选：D.
8. 已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用与间的关系，求出，从而有，再利用累加法，即可求出结果.
【详解】因为①，当时，②，
所以①②得到，
当，，满足，所以，
得到，
所以，
故选：D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可得，将代入即可判断A；根据二项分布的期望公式和方差公式即可判断BC；根据期望的性质即可判断D.
【详解】因为离散型随机变量满足，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. 最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差d及首项，再逐项计算判断即得.
【详解】依题意，，解得，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由，得，即数列前5项均为负数，从第6项起为正数，
因此，D正确.
故选：BCD
11. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】令，变形并求出展开式的通项，借助赋值法计算判断ABC；求出的导数，结合二项式定理判断D.
【详解】令，有，，
则展开式的通项为，
对于A，，A错误；
对于B，显然是展开式中项的系数，即，因此，B正确；
对于C，展开式中不含奇数次幂的项，即，又，
因此，C正确；
对于D，，
，D错误.
故选：BC
12. 在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据条件，利用累加法得到，从而将问题转化成恒成立，令，利用数列的单调性得到，即可求出结果.
【详解】因为，
当时，，
又，所以，
又时，满足，
所以，
由，得到，
令，则，
当时，，得到，当时，，
所以，又，
当为偶数时，，得到，
当为奇数时，，得到，所以，
故选：AB.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于使恒成立，令，利用数列的单调性得到，再分取奇数和偶数，即可求解.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 由数字2，3，4，5可组成________个三位数（各位上数字可重复，用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
【详解】由题意每位数都有种取法，
所以由数字2，3，4，5可组成个三位数.
故答案为：.
14. 一个不透明的箱子中有5个小球，其中2个白球，3个黑球，现从中任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】记事件“一个是白球”， 事件“另一个是白球”，求出，再由条件概率公式计算可得答案.
【详解】记事件“一个是白球”，则，
事件“另一个是白球”，则，
由条件概率公式得，
则任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率为.
故答案为：.
15. 数列是各项均为正数的等比数列，满足，，则数列的通项________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件可得，解得，即可得到答案.
【详解】设数列的公比为，则，且，
由已知得，
化简，得，解得，
所以.
故答案为：.
16. 已知函数，若有解，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由，得，构造函数，可知其为增函数，则，再转化为有解，令，利用导数求出其最小值即可.
【详解】由，得，
所以，所以，
所以
令，则，
所以在定义域内单调递增，
所以，
所以，所以有解，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，得，即a的取值范围是为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式能成立的问题，解题的关键是化简变形得，再构造函数，现再次转化为，再变形化简，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17. 某游泳俱乐部为了解中学生对游泳是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对游泳有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对游泳没有兴趣．
（1）完成下面2×2列联表：
（2）依据的独立性检验，能否认为游泳兴趣跟性别有关？
附：，其中．
【答案】（1）列联表见解析
（2）能
【解析】
【分析】（1）根据条件知对游泳有兴趣的总人数为80，女生中对游泳有兴趣的人数为45人，男生中对游泳有兴趣的人数为35人，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果，计算出，即可求出结果.
【小问1详解】
由题知对游泳有兴趣的总人数为，又女生中有5人对游泳没有兴趣，
所以女生中对游泳有兴趣的人数为45人，男生中对游泳有兴趣的人数为35人，男生中有15人对游泳没有兴趣，
故2×2列联表如下表：
【小问2详解】由（1）知，
所以依据的独立性检验，能认为游泳兴趣跟性别有关.
18. 已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数单调性．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得.
（2）求出函数的导数，再按为正负0分类讨论求出函数的单调区间.
【小问1详解】
当时，，求导得，
则，而，
所以所求切线方程为，即
【小问2详解】
函数的定义域为R，求导得，
当时，由，得，由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为.
19. 2020年至2023年全国粮食年产量y（单位：万万吨）的数据如下表：
（1）请用相关系数判断关于的线性相关程度（计算时精确到小数点后2位，若，则线性相关程度较高，若，则线性相关程度一般）；
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年全国粮食年产量．
参考公式：相关系数，回归直线方程的斜率，截距．
参考数据：，，．
【答案】（1）线性相关程度较高
（2）；万万吨
【解析】
【分析】（1）根据上表中的数据计算出相关系数即可求解；
（2）根据（1）中的数据计算出回归方程的系数得出回归方程，然后将代入回归方程即可求解.
【小问1详解】
，，
，
，
，
因为，所以线性相关程度较高；
【小问2详解】
，
，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
当时，，
所以2025年全国粮食年产量为万万吨.
20. 设数列是等差数列，是等比数列，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列单调递增，记，求数列的前n项和，并证明：．
【答案】（1）或
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式求出公比和公差，即可得解；
（2）利用错位相减法求解即可.
【小问1详解】
设数列的公差为，数列的公比为，
由，，，
得，解得或，
所以或；
【小问2详解】
因为数列单调递增，所以，
则，故，
则，①
，②
由①②得
，
所以，
令，
则，
所以，
所以，
所以．
21. 某校篮球队举行投篮与传球训练：
（1）投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组3个球，先投2个普通球，再投1个花球．记投进一个普通球得1分，普通球投进概率为；投进一个花球得2分，花球投进的概率为．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为，求的分布列和期望;
（2）现选投篮成绩最好的3名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接住．求传了次球后，球在甲手上的概率．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意写出所有可能的取值，分别求出概率，列出分布列，进而求出数学期望；
（2）传了次球后，球在甲手上的概率，则当时，传了次球后，球在甲手上的概率为，由条件确定和的关系，结合等比数列的定义求解即可.
【小问1详解】
根据题意可知，的可能取值为，
由题意可知，，
，，
，
所以的分布列为
所以.
【小问2详解】
由题意传了次球后，球在甲手上的概率，
则，，
当时，传了次球后，球在甲手上的概率为，球不在甲手上的概率为，
则，即，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
22. 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若，求证：．
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当时，，对求导，得到，令，得到，再利用极值的定义，即可求解；
（2）构造函数，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，再结合条件，得到，再构造函数，求出函数的单调区间，进而求出的最小值，即可证明结果.
【小问1详解】
当时，，所以，
令，得到，当时，，时，，
所以在处取到极小值，极小值为，无极大值.
【小问2详解】
因为，，
由，得到，
令，则，
令，则，由，得到，
当时，，时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
得到，又，所以，当且仅法时取等号，
所以在区间上单调递增，得到，
又ex1+ax1=(x2+a)lnx2=t(t>0)，
所以x1x2+alnt=(x2+a)lnx2lnt=tlnt(t>0)，
令，所以，令，得到，
当时，，时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，故.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二次，利用同构，即，构造函数，利用函数的单调性得到，从而得到x1x2+alnt=tlnt(t>0)，再构造函数，求出函数的最小值，即可求解.
有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
合计
α
0.10
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
有兴趣
没有兴趣
合计
男
35
15
50
女
45
5
50
合计
80
20
100
年份
2020
2021
2022
2023
年份代号x
1
2
3
4
总产量y
6.69
6.82
686
6.95
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
注意事项：
1．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（ ）
A. 第11项B. 第12项C. 第13项D. 第14项
3. 对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量u，v由观测数据得散点图2．表示变量x，y之间的线性相关系数，表示变量u，v之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量x与y呈现正相关，且B. 变量x与y呈现负相关，且
C. 变量u与v呈现正相关，且D. 变量u与v呈现负相关，且
4. 某校准备从甲、乙等7人中选出4人参加社区服务工作，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的方法有（ ）
A. 35种B. 30种C. 25种D. 20种
5. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值．则（ ）
A B. C. D.
6. 某市组织5名志愿者到当地三个学校开展活动，要求每个学校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一个学校，则不同的派出方法有（ ）
A. 240种B. 150种C. 120种D. 60种
7. 某次大型联考名学生参加，考试成绩（满分分）近似服从正态分布（其中和分别为样本均值和标准差），若本次考试平均成绩为分，分以上共有人，学生甲的成绩为分，则学生甲的名次大致是（ ）名．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
A. B. C. D.
8. 已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设离散型随机变量满足，则下列说法正确是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. 最小值为
11. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（ ）
A. 1B. 0C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 由数字2，3，4，5可组成________个三位数（各位上数字可重复，用数字作答）．
14. 一个不透明的箱子中有5个小球，其中2个白球，3个黑球，现从中任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率是________．
15. 数列是各项均为正数的等比数列，满足，，则数列的通项________．
16. 已知函数，若有解，则a的取值范围是____________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17. 某游泳俱乐部为了解中学生对游泳是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对游泳有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对游泳没有兴趣．
（1）完成下面2×2列联表：
（2）依据的独立性检验，能否认为游泳兴趣跟性别有关？
附：，其中．
18. 已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
19. 2020年至2023年全国粮食年产量y（单位：万万吨）的数据如下表：
（1）请用相关系数判断关于的线性相关程度（计算时精确到小数点后2位，若，则线性相关程度较高，若，则线性相关程度一般）；
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年全国粮食年产量．
参考公式：相关系数，回归直线方程的斜率，截距．
参考数据：，，．
20. 设数列是等差数列，是等比数列，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列单调递增，记，求数列的前n项和，并证明：．
21. 某校篮球队举行投篮与传球训练：
（1）投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组3个球，先投2个普通球，再投1个花球．记投进一个普通球得1分，普通球投进的概率为；投进一个花球得2分，花球投进的概率为．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为，求的分布列和期望;
（2）现选投篮成绩最好的3名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接住．求传了次球后，球在甲手上的概率．
22. 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若，求证：．有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
合计
α
0.10
0.05
0.01
0.005
2706
3.841
6.635
7.879
年份
2020
2021
2022
2023
年份代号x
1
2
3
4
总产量y
6.69
6.82
6.86
6.95
机密★启用前〔考试时间：2024年7月3日下午15：00-17：00〕
乐山市高中2025届期末教学质量检测
数学
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
注意事项：
1．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数，再代入求值即可.
【详解】函数，求导得，所以.
故选：A
2. 已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（ ）
A. 第11项B. 第12项C. 第13项D. 第14项
【答案】D
【解析】
【分析】将,变形为,根据数列,可知是数列的通项公式,即可求得答案.
【详解】根据数列1，，，，3，…，
，
又，
,解得 ，
故选:D.
3. 对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量u，v由观测数据得散点图2．表示变量x，y之间的线性相关系数，表示变量u，v之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量x与y呈现正相关，且B. 变量x与y呈现负相关，且
C. 变量u与v呈现正相关，且D. 变量u与v呈现负相关，且
【答案】A
【解析】
【分析】利用散点图，结合相关系数的知识可得答案.
详解】观察散点图，得变量x与y呈现正相关，变量u与v呈现负相关，BC错误；
图1中各点比图2中各点更加集中，相关性更好，因此，A正确，D错误.
故选：A
4. 某校准备从甲、乙等7人中选出4人参加社区服务工作，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的方法有（ ）
A. 35种B. 30种C. 25种D. 20种
【答案】B
【解析】
【分析】利用组合计数问题，结合排除法列式计算即得.
【详解】从7人中任选4人有种方法，从不含甲乙的5人中任选4人有种方法，
所以所求选法种数为.
故选：B
5. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目所给定义，利用导数的几何意义求切线方程即可求解.
【详解】由题意可得，，
由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，
所以，整理得，
所以，，
所以过点做曲线的切线的斜率，
设该切线为，则，整理得，
所以，
故选：C
6. 某市组织5名志愿者到当地三个学校开展活动，要求每个学校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一个学校，则不同的派出方法有（ ）
A. 240种B. 150种C. 120种D. 60种
【答案】B
【解析】
【分析】先将人分为组，再分配到三个学校去即可.
【详解】人数分配上有和两种情况，
当为时，不同的派出方法有种，
当为时，不同的派出方法有种，
所以不同的派出方法有种.
故选：B.
7. 某次大型联考名学生参加，考试成绩（满分分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为分，分以上共有人，学生甲的成绩为分，则学生甲的名次大致是（ ）名．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，得到，利用正态分布的对称性得出，即可求解.
【详解】由题知，，所以，
得到，所以，得到学生甲的名次大致是，
故选：D.
8. 已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用与间的关系，求出，从而有，再利用累加法，即可求出结果.
【详解】因为①，当时，②，
所以①②得到，
当，，满足，所以，
得到，
所以，
故选：D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可得，将代入即可判断A；根据二项分布的期望公式和方差公式即可判断BC；根据期望的性质即可判断D.
【详解】因为离散型随机变量满足，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. 最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差d及首项，再逐项计算判断即得.
【详解】依题意，，解得，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由，得，即数列前5项均为负数，从第6项起为正数，
因此，D正确.
故选：BCD
11. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】令，变形并求出展开式的通项，借助赋值法计算判断ABC；求出的导数，结合二项式定理判断D.
【详解】令，有，，
则展开式的通项为，
对于A，，A错误；
对于B，显然是展开式中项的系数，即，因此，B正确；
对于C，展开式中不含奇数次幂的项，即，又，
因此，C正确；
对于D，，
，D错误.
故选：BC
12. 在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据条件，利用累加法得到，从而将问题转化成恒成立，令，利用数列的单调性得到，即可求出结果.
【详解】因为，
当时，，
又，所以，
又时，满足，
所以，
由，得到，
令，则，
当时，，得到，当时，，
所以，又，
当为偶数时，，得到，
当为奇数时，，得到，所以，
故选：AB.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于使恒成立，令，利用数列的单调性得到，再分取奇数和偶数，即可求解.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 由数字2，3，4，5可组成________个三位数（各位上数字可重复，用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
【详解】由题意每位数都有种取法，
所以由数字2，3，4，5可组成个三位数.
故答案为：.
14. 一个不透明的箱子中有5个小球，其中2个白球，3个黑球，现从中任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】记事件“一个是白球”， 事件“另一个是白球”，求出，再由条件概率公式计算可得答案.
【详解】记事件“一个是白球”，则，
事件“另一个是白球”，则，
由条件概率公式得，
则任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率为.
故答案为：.
15. 数列是各项均为正数的等比数列，满足，，则数列的通项________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件可得，解得，即可得到答案.
【详解】设数列的公比为，则，且，
由已知得，
化简，得，解得，
所以.
故答案为：.
16. 已知函数，若有解，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由，得，构造函数，可知其为增函数，则，再转化为有解，令，利用导数求出其最小值即可.
【详解】由，得，
所以，所以，
所以
令，则，
所以在定义域内单调递增，
所以，
所以，所以有解，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，得，即a的取值范围是为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式能成立的问题，解题的关键是化简变形得，再构造函数，现再次转化为，再变形化简，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17. 某游泳俱乐部为了解中学生对游泳是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对游泳有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对游泳没有兴趣．
（1）完成下面2×2列联表：
（2）依据的独立性检验，能否认为游泳兴趣跟性别有关？
附：，其中．
【答案】（1）列联表见解析
（2）能
【解析】
【分析】（1）根据条件知对游泳有兴趣的总人数为80，女生中对游泳有兴趣的人数为45人，男生中对游泳有兴趣的人数为35人，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果，计算出，即可求出结果.
【小问1详解】
由题知对游泳有兴趣的总人数为，又女生中有5人对游泳没有兴趣，
所以女生中对游泳有兴趣的人数为45人，男生中对游泳有兴趣的人数为35人，男生中有15人对游泳没有兴趣，
故2×2列联表如下表：
【小问2详解】由（1）知，
所以依据的独立性检验，能认为游泳兴趣跟性别有关.
18. 已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数单调性．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得.
（2）求出函数的导数，再按为正负0分类讨论求出函数的单调区间.
【小问1详解】
当时，，求导得，
则，而，
所以所求切线方程为，即
【小问2详解】
函数的定义域为R，求导得，
当时，由，得，由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为.
19. 2020年至2023年全国粮食年产量y（单位：万万吨）的数据如下表：
（1）请用相关系数判断关于的线性相关程度（计算时精确到小数点后2位，若，则线性相关程度较高，若，则线性相关程度一般）；
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年全国粮食年产量．
参考公式：相关系数，回归直线方程的斜率，截距．
参考数据：，，．
【答案】（1）线性相关程度较高
（2）；万万吨
【解析】
【分析】（1）根据上表中的数据计算出相关系数即可求解；
（2）根据（1）中的数据计算出回归方程的系数得出回归方程，然后将代入回归方程即可求解.
【小问1详解】
，，
，
，
，
因为，所以线性相关程度较高；
【小问2详解】
，
，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
当时，，
所以2025年全国粮食年产量为万万吨.
20. 设数列是等差数列，是等比数列，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列单调递增，记，求数列的前n项和，并证明：．
【答案】（1）或
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式求出公比和公差，即可得解；
（2）利用错位相减法求解即可.
【小问1详解】
设数列的公差为，数列的公比为，
由，，，
得，解得或，
所以或；
【小问2详解】
因为数列单调递增，所以，
则，故，
则，①
，②
由①②得
，
所以，
令，
则，
所以，
所以，
所以．
21. 某校篮球队举行投篮与传球训练：
（1）投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组3个球，先投2个普通球，再投1个花球．记投进一个普通球得1分，普通球投进概率为；投进一个花球得2分，花球投进的概率为．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为，求的分布列和期望;
（2）现选投篮成绩最好的3名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接住．求传了次球后，球在甲手上的概率．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意写出所有可能的取值，分别求出概率，列出分布列，进而求出数学期望；
（2）传了次球后，球在甲手上的概率，则当时，传了次球后，球在甲手上的概率为，由条件确定和的关系，结合等比数列的定义求解即可.
【小问1详解】
根据题意可知，的可能取值为，
由题意可知，，
，，
，
所以的分布列为
所以.
【小问2详解】
由题意传了次球后，球在甲手上的概率，
则，，
当时，传了次球后，球在甲手上的概率为，球不在甲手上的概率为，
则，即，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
22. 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若，求证：．
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当时，，对求导，得到，令，得到，再利用极值的定义，即可求解；
（2）构造函数，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，再结合条件，得到，再构造函数，求出函数的单调区间，进而求出的最小值，即可证明结果.
【小问1详解】
当时，，所以，
令，得到，当时，，时，，
所以在处取到极小值，极小值为，无极大值.
【小问2详解】
因为，，
由，得到，
令，则，
令，则，由，得到，
当时，，时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
得到，又，所以，当且仅法时取等号，
所以在区间上单调递增，得到，
又ex1+ax1=(x2+a)lnx2=t(t>0)，
所以x1x2+alnt=(x2+a)lnx2lnt=tlnt(t>0)，
令，所以，令，得到，
当时，，时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，故.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二次，利用同构，即，构造函数，利用函数的单调性得到，从而得到x1x2+alnt=tlnt(t>0)，再构造函数，求出函数的最小值，即可求解.
有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
合计
α
0.10
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
有兴趣
没有兴趣
合计
男
35
15
50
女
45
5
50
合计
80
20
100
年份
2020
2021
2022
2023
年份代号x
1
2
3
4
总产量y
6.69
6.82
686
6.95
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