中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 下册5.1 实数指数幂优质教学设计

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授 课
内 容
5.1 实数指数幂
课时安排
2学时（共90分钟）
授 课
教 师
授 课
班 级
一年级
教 材
分 析
《数学（基础模块 下册）》（总主编 秦静
本册主编 郭为 毕渔民）
授课类型
讲授
本节课是高教版《数学》（基础模块）（下册）第五章指数函数与对数函数的第一节，本课通过复习学生学过的正整数指数幂，了解指数从正整数到有理数再到实数的拓展过程，体会到指数的推广过程，并学习进行简单的实数指数幂的运算的一般方法，为后续学习指数函数和对数函数奠定基础。
教 学
目 标
及 重
难 点
知识目标
理解次方根、次根式和分数指数幂的概念；
理解实数指数幂的概念，识记实数指数幂的运算法则。
能力目标
能进行根式和分数指数幂的互化；
会利用法则进行化简和求值。
思政目标
培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题；
理解对立、统一的辩证关系。
情感目标
培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神。
教学重点
实数指数幂的运算法则
教学难点
分数指数幂概念
教 学
策 略
采用复习导入的方式，从生活实例出发，让学生了解指数从正整数到有理数再到实数的拓展过程，引导学生得到有理数指数幂、实数指数幂的概念，通过联系巩固记忆实数指数幂的运算法则，逐步提升数学运算和逻辑推理等核心素养。
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
课堂实施
一、
创 设情 景兴 趣导 入
5.1.1实数指数幂
放射性元素在衰变过程中,其放射性核的数目衰变到原来的一半所需的时间称为放射性元素的半衰期. 现实工作中常常利用放射性元素的半衰期的特性进行科学测算.某种元素同一个样本内有 N 个原子,半衰期是 10 天。
那么10天之后，该原子衰变1次，还有个原子没有衰变,
20天之后,该原子衰变2次，还有 个原子没有衰变,没有衰变的原子数就可以用表示。
以此类推,设衰变次数为 n 次,那么没有衰变的原子数如何表示？
根据衰变规律，容易推出，没有衰变的原子数为
思考：7天、14天、21天之后，该元素还有多少个原子没有衰变？
，，的意义是什么？
教师引导学生联系实际进行思考，回忆初中学习的正整数指数幂的概念
以实际例子创设情境，引发学生思考，拓宽学生知识面
通过具体例子回忆初中学习的正整数指数幂知识，同时让学生发现利用已有知识无法解决问题，引发认知冲突，继而引导学生拓宽幂指数的范围，自然地引入分数指数幂
培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题
课堂实施
二、
动 脑思 考探 索新 知
我们已学习过, n 个相同因子 a 的连乘积记作 an,称为a 的 n 次幂,其中 a 称为幂的底数,简称底,n 称为幂的指数. 即
an = aaa  a ，（n  N）
n个
规定当 a  0 时，
，
一般地,如果数 b 的 n 次方等于 a,即 bn=a(n∈N*,n>1),那么称数 b 为 a 的 n 次方根.
当 n 为偶数时,正实数 a 的 n 次方根有两个,分别用和表示,其中 称为 a 的 n 次算术根,负实数 a 的偶数次方根没有意义。
当 n 为奇数时,实数 a 的 n 次方根只有一个,用表示．
0 的 n 次方根为 0.
形如 (n∈N*,n>1)的式子称为 a 的 n 次根式,其中 n称为根指数, a 称为被开方数．
例如：（1）25的3次方根可以表示为，其中根指数为3，被开方数为25.
（2）8的平方根可以表示为，其中根指数为2，被开方数为8.
如果指数是最简分数，我们规定:
当指数为正分数时，。
当指数为负分数且时，。
当为偶数时，的取值要使或有意义。
这样,就把整数指数幂推广到了有理数指数幂.
可以证明,当 a>0,b>0 且 p,q∈Q 时,有理数指数幂有以下运算法则：
；
；
教师通过讲解和说明，让学生更好地理解和记忆
归纳概念，突出并强调规范表述
n次根式为指数概念的推广所做的必要准备
对指数情况进行分类讨论
借助根式与分数指数幂的相互转变，理解对立、统一的辩证关系
课堂实施
三、
例题解析
例 1 将下列各分数指数幂写成根式的形式.
(1);(2) .
解(1)；
(2)
例 2 将下列各根式写成分数指数幂的形式.
； （2）.
解 （1）；
（2）.
教师通过例题，引导学生利用所学知识解决问题，加深对概念及运算法则的理解和记忆
巩固分数指数幂与根式互相转化的基本表达，提升数学运算核心素养
课堂实施
四、
应 用提 升
巩 固知 识
1.将下列各分数指数幂写成根式的形式.
（1） （2） （3） （4）
2. 将下列各根式写成分数指数幂的形式.
（1） （2） （3） （4）
教师巡视指导学生进行计算，对学生在做题中出现的错误点，及时进行纠正
学生运用本节课所学习的知识，动手求解，相互交流，完成相应练习
以小组竞争的形式，完成课堂练习，巩固所学，提升学生的竞争意识
了解学生的知识掌握情况，查缺补漏
课堂实施
一、 新知探索
5.1.2实数指数幂
在实数范围内，我们学习了有理数指数幂的运算,可以证明,当幂的指数为无理数时,无理数指数幂(a＞0,α 是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算法则同样适用于无理数指数幂.
这样我们就将幂指数推广到了全体实数.
可以证明,当 且 时，实数指数幂有以下运算法则：
（1）；
（2）；
（3）.
教师通过讲解和说明，帮助学生理解与记忆
从原有的知识出发再次对幂指数进行推广，易于学生接受
课堂实施
二、
例题解析
例3 计算下列各式的值.
（2）； （3）
解 （1）


例4 化简下列各式.
（2）
（3） （4）
解 （1）
先把根式写成分数指数幂，然后再进行化简与计算
，，



教师通过讲解例题，引导学生利用所学知识解决问题，强调注意点，加深学生的理解和记忆
巩固基本运算法则，提升数学运算核心素养
课堂实施
三、
习题巩固
1.用分数指数幂表示下列各式.
（1） （2）
2. 计算：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
3. 化简下列各式.
（1） （2）
教师巡视指导学生进行计算，对学生在做题中出现的错误点，及时进行纠正
通过练习巩固知识点，了解学生掌握情况，以便查缺补漏
课堂实施
四、
课 堂总 结
教师总结提问
学生总结回答
在师生问答中，总结本节课知识点，巩固所学知识
课后作业
1.复习巩固本课知识；
2.学习与训练相关练习题。
布置作业
通过作业巩固知识，为后续的学习做好铺垫