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数学基础模块 下册6.1 两点间距离公式和线段的中点坐标公式优秀教案及反思
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这是一份数学基础模块 下册6.1 两点间距离公式和线段的中点坐标公式优秀教案及反思，共6页。
课 题
6.1两点间的距离公式和线段中点坐标公式
课时安排
1学时（共45分钟）
授课
教师
授课班级
二年级
教 材
分 析
《数学（基础模块 下册）》（总主编 秦静
本册主编 郭为 毕渔民）
授课类型
讲授
本节课是高教版《数学》（基础模块）（下册）第六章的开篇，两点间的距离公式和线段中点坐标公式在本章学习的基础。本节以丰富的生活实例为引例，引入学习。
教 学
目 标
及 重
难 点
知识目标
1.掌握两点间的距离公式和线段中点坐标公式；
2.能运用公式解决简单实际问题。
能力目标
1．用“数形结合”的思想，理解两个公式的推到；
2．培养学生动手画图能力、观察能力和数学思维能力
思政目标
北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，支持着日常生活中所用到的“高德地图、百度地图”、手机定位等定位导航，展示科技改变命运，人们已经逐渐脱离了地图、路标等传统定位。激励学生努力学习，紧跟时代脚步，科技强国的中国梦。
情感目标
通过建立笛卡尔坐标系，用坐标系表示平面中的点与介绍生活中的全球卫星定位系统，让学生体会本节课两个公式的实际意义，更深刻学习并掌握两个公式，激发学生的学习兴趣。感受数学枯燥公式的魅力。
教学重点
掌握两点间的距离公式和线段中点坐标公式
教学难点
两点间的距离公式和线段中点坐标公式运用与理解
教 学
策 略
采用引导发现的方式，简单介绍笛卡尔坐标系，从生活科技发展出发，引导更好的理解两点间的距离公式以及两点间的距离公式
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
课堂实施
一、
数学文化课前介绍
数学文化、课前介绍：
【课件演示】
笛卡尔坐标系的产生——法国哲学家、数学家笛卡尔曾反复思考一个问题：几何图形时直观的，而代数是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，就是能不能用方程表示几何图形呢？在探索如何把“点”和“数”一一对应时，他无意中发现了蜘蛛结网，把蜘蛛看做一个点。可以用有序数 对来表示这个点，这就是坐标系的雏形。
直角坐标系的创建，在几何和代数之间构起一座桥梁，使得几何图形可以用代数方程来表示。笛卡尔直角坐标系的产生是巨大的发现。本章节的知识都是学习几何图形的代数化方程，提高数形结合的能力
教师通过介绍笛卡尔坐标系的相关知识，让学生明白数学坐标系的由来与重要性
学习坐标系的相关知识可以帮助学生学习本章知识
课堂实施
二、
创 设情 景兴 趣导 入
进一步思考，同学们，在现在日常生活中是否有使用或者接触到有关坐标系的应用；比如不知道如何到达目的地，现在会使用卫星定位导航系统； 以及一系列导航APP
【播放视频】
视频播放
北斗卫星导航系统的介绍，中国北斗卫星导航系统（英文名称：BeiDu Navigatin Satellite System，简称BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，也是继GPS、GLONASS之后的第三个成熟的卫星导航系统。北斗卫星导航系统（BDS）和美国GPS、俄罗斯GLONASS、欧盟GALILEO，是联合国卫星导航委员会已认定的供应商。 [1]
北斗卫星导航系统由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务，并且具备短报文通信能力，已经初步具备区域导航、定位和授时能力，定位精度为分米、厘米级别，测速精度0.2米/秒，授时精度10纳秒。
这个视频，展示科技改变命运，人们已经逐渐脱离了地图、路标等传统定位。激励学生努力学习，紧跟时代脚步，科技强国的中国梦。
【引入课题】
围棋起源于中国,围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子,棋盘上有纵横各 19 条线段将棋盘分成 361 个交叉点,棋子走在交叉点上,双方交替行棋,落子后不能移动, 以围地多者为胜.
如果把围棋的棋盘看作平面直角坐标系,黑白棋子所落的位置,是否可以用点的坐标表示呢？
棋盘上棋子之间间隔大小,中位所在,对应的就是平面直角坐标系上两点间的距离和线段的中点.
在平面直角坐标系中,平面上任意一点 M 与有序实数对(a,b)一一对应,这个有序实数对就是点的坐标.反之,对于任意一个有序实数对(a,b)，都有平面上唯一的一点 M 与它对应.
学生通过观看视频，了解到本章知识的重要性
教师利用视频、GGB等多种信息化手段，从现实生活引导学生发现坐标系的重要性，两点间距离的重要
学生观察教师的演示，交流讨论生活中观察到坐标系在生活中的应用
利用实际问题引起学生的好奇心及求知欲；
对视频的解读引起学生的兴趣；
3.教学中贯彻德育教育。激励学生努力学习，紧跟时代脚步，科技强国的中国梦（思政点）
课堂实施
三、
动 脑思 考探 索新 知
1. 两点间距离公式
数轴上的点与实数是一一对应的，若点A对应的实数是-1，点 B 对应的实数是 2，那么 A、B 两点间的距离是多少？在平面直角坐标系中，每个点对应着一对有序实数对，即每个点都有坐标，那么两个点间的距离与它们的坐标有着怎样的关系呢？
点M(a,b)到x轴的距离为|b|，到 y 轴的距离为|a|.
如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(1,2),点 B 的坐标为(5,5),点 C 的坐标为(5,2),则点 A 与点 C 之间的距离|AC|=|5-1|=4,点 B 与点 BC 之间的距离|CB|=|5-2|=3.
在直角△ABC 中,根据勾股定理,有
|AB|2=|AC|2+|CB|2=42+32=25，
|AB|= =5 即 A、B 两点间的距离为 5.
(1)(2)
一般地,设点 A 的坐标为(x1,y2), 点 B 的坐标为(x2,y2), 则点 C 的坐标为(x2,y1),且有|AC|=|x2-x1|,|BC|=|y2-y1|.
在直角△ABC 中,根据勾股定理,有
|AB|2=|AC|2+|CB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2，
即 A、B 两点间的距离为
公式称为两点间距离公式.
2. 线段的中点坐标公式
若数轴上点 A 对应的实数是-1,点 B 对应的实数是 2， 线段 AB 的中点是点 C,那么如何求点 C 对应的实数？
若线段的两个端点分别为 A(x1,y1)和 B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0),如何求线段 AB 的中点 M(x0,y0)的坐标呢?
分别过点 A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x0,y0)向 x 轴作垂线,垂足分别是点 A’(x1,0)、B’(x2,0), M’(x0,0),则|A’M’|=|M’B’|.由于
|A’M’|=|x0-x1|=x0-x1, |M’B’|=|x2-x0|=x2-x0.
所以 x0-x1=x2-x0,即
同理,分别过点 A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x0,y0)向 y 轴作垂线,则有
因此,若已知点 A(x1,y1)和 B(x2,y2)且线段 AB 的中点为
M(x0,y0),则有
公式称为线段 AB 的中点坐标公式.
教师通过操作课件、讲解两点间距离公式的知识点
强调公式的重要性
让学生自己在本子上把公式写三变，加强对公式的记忆
教师通过操作课件、讲解线段中点坐标公式
强调公式的重要性
结合图形以及具体实例讲解两点间的距离公式，引导学生自己推到出公式
结合图形以及具体实例讲解线段中点坐标公式，引导学生自己推到出公式
四、
例题分析
例 1 计算 P1(2,-5) 与 P2(5,-1)两点间的距离.
解：有两点间的距离公式，得
即P1 与 P2 两点间的距离为5
例 2 已知点 A(2,3) , B(8,3) ,求线段 AB 的中点坐标.
解 设线段 AB 的中点为 M(x0,y0),由中点坐标公式,得
即线段 AB 的中点 M 的坐标为(5,0) .
例 3 如图，已知△ABC 的三个顶点分别是 A(2,4)、B(-1,1)、C(5,3).
求 BC 边上的中点 D 的坐标；
计算 BC 边上的中线的长度.
分析 (1)已知点 B(-1,1)、C(5,3),由中点坐标公式,即可求出BC 边上的中点 D 的坐标.
(2)连接点 A 和点 D,得到 BC 边上的中线 AD,由两点
间距离公式,即可求出线段 AD 的长度.
解 (1)设线段 BC 的中点 D 的坐标为(x0,y0),由点 B(-1,1)、C(5,3)和中点坐标公式,得
即 BC 边上的中点 D 的坐标为(2,2). (2)由两点间距离公式,得
即 BC 边上的中线长度为 2.
探究与发现
已知线段两个端点的坐标,可以确定线段中点的坐标.,如果知道线段的一个端点和中点的坐标,能否确定另一个端点？怎么求它的坐标？
讲解例题，对于题目进行分析，教学生如何用所学到的公式，求解出正确答案
引发学生的思考，学生自主思考，分组讨论问题
通过解题，让学生更深刻了解公式的重要性以及应用，帮助学生更好熟练的掌握公式
发展学生举隅反三的能力，让学生对于公式有更深的理解，并且告诉学生不仅有公式
五、
巩固与练习
练习 6.1
如图,写出点 M、N、P、Q 的坐标
.
求下列两点间的距离和以两点为端点的线段的中点坐标：
(1) A(1, 0), B(2,3) ；
(2) C(4,3), D(7, 1) ；
(3) P(0,3),Q(0, 2) .
如图所示,已知△ABC 的三个顶点分别是 A(2,2)、B(2,0)、C(0,2).
求 BC 边上的中点 D 的坐标；
计算 BC 边上的 中 线 AD 的长度.
4.已知点 A(3a, 3b), B(3b, 3a) ,求 A、B 两点间的距离和线段 AB 的中点坐标.
做课堂练习，巩固知识，让学生到黑板作业，并完成讲评
查缺补漏
六、
课 堂总 结
在师生问答中，总结本节课知识点，巩固所学知识
课后作业
1.复习巩固本课知识。
2.学习与训练相关练习题。
布置作业
课 题
6.1两点间的距离公式和线段中点坐标公式
课时安排
1学时（共45分钟）
授课
教师
授课班级
二年级
教 材
分 析
《数学（基础模块 下册）》（总主编 秦静
本册主编 郭为 毕渔民）
授课类型
讲授
本节课是高教版《数学》（基础模块）（下册）第六章的开篇，两点间的距离公式和线段中点坐标公式在本章学习的基础。本节以丰富的生活实例为引例，引入学习。
教 学
目 标
及 重
难 点
知识目标
1.掌握两点间的距离公式和线段中点坐标公式；
2.能运用公式解决简单实际问题。
能力目标
1．用“数形结合”的思想，理解两个公式的推到；
2．培养学生动手画图能力、观察能力和数学思维能力
思政目标
北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，支持着日常生活中所用到的“高德地图、百度地图”、手机定位等定位导航，展示科技改变命运，人们已经逐渐脱离了地图、路标等传统定位。激励学生努力学习，紧跟时代脚步，科技强国的中国梦。
情感目标
通过建立笛卡尔坐标系，用坐标系表示平面中的点与介绍生活中的全球卫星定位系统，让学生体会本节课两个公式的实际意义，更深刻学习并掌握两个公式，激发学生的学习兴趣。感受数学枯燥公式的魅力。
教学重点
掌握两点间的距离公式和线段中点坐标公式
教学难点
两点间的距离公式和线段中点坐标公式运用与理解
教 学
策 略
采用引导发现的方式，简单介绍笛卡尔坐标系，从生活科技发展出发，引导更好的理解两点间的距离公式以及两点间的距离公式
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
课堂实施
一、
数学文化课前介绍
数学文化、课前介绍：
【课件演示】
笛卡尔坐标系的产生——法国哲学家、数学家笛卡尔曾反复思考一个问题：几何图形时直观的，而代数是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，就是能不能用方程表示几何图形呢？在探索如何把“点”和“数”一一对应时，他无意中发现了蜘蛛结网，把蜘蛛看做一个点。可以用有序数 对来表示这个点，这就是坐标系的雏形。
直角坐标系的创建，在几何和代数之间构起一座桥梁，使得几何图形可以用代数方程来表示。笛卡尔直角坐标系的产生是巨大的发现。本章节的知识都是学习几何图形的代数化方程，提高数形结合的能力
教师通过介绍笛卡尔坐标系的相关知识，让学生明白数学坐标系的由来与重要性
学习坐标系的相关知识可以帮助学生学习本章知识
课堂实施
二、
创 设情 景兴 趣导 入
进一步思考，同学们，在现在日常生活中是否有使用或者接触到有关坐标系的应用；比如不知道如何到达目的地，现在会使用卫星定位导航系统； 以及一系列导航APP
【播放视频】
视频播放
北斗卫星导航系统的介绍，中国北斗卫星导航系统（英文名称：BeiDu Navigatin Satellite System，简称BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，也是继GPS、GLONASS之后的第三个成熟的卫星导航系统。北斗卫星导航系统（BDS）和美国GPS、俄罗斯GLONASS、欧盟GALILEO，是联合国卫星导航委员会已认定的供应商。 [1]
北斗卫星导航系统由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务，并且具备短报文通信能力，已经初步具备区域导航、定位和授时能力，定位精度为分米、厘米级别，测速精度0.2米/秒，授时精度10纳秒。
这个视频，展示科技改变命运，人们已经逐渐脱离了地图、路标等传统定位。激励学生努力学习，紧跟时代脚步，科技强国的中国梦。
【引入课题】
围棋起源于中国,围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子,棋盘上有纵横各 19 条线段将棋盘分成 361 个交叉点,棋子走在交叉点上,双方交替行棋,落子后不能移动, 以围地多者为胜.
如果把围棋的棋盘看作平面直角坐标系,黑白棋子所落的位置,是否可以用点的坐标表示呢？
棋盘上棋子之间间隔大小,中位所在,对应的就是平面直角坐标系上两点间的距离和线段的中点.
在平面直角坐标系中,平面上任意一点 M 与有序实数对(a,b)一一对应,这个有序实数对就是点的坐标.反之,对于任意一个有序实数对(a,b)，都有平面上唯一的一点 M 与它对应.
学生通过观看视频，了解到本章知识的重要性
教师利用视频、GGB等多种信息化手段，从现实生活引导学生发现坐标系的重要性，两点间距离的重要
学生观察教师的演示，交流讨论生活中观察到坐标系在生活中的应用
利用实际问题引起学生的好奇心及求知欲；
对视频的解读引起学生的兴趣；
3.教学中贯彻德育教育。激励学生努力学习，紧跟时代脚步，科技强国的中国梦（思政点）
课堂实施
三、
动 脑思 考探 索新 知
1. 两点间距离公式
数轴上的点与实数是一一对应的，若点A对应的实数是-1，点 B 对应的实数是 2，那么 A、B 两点间的距离是多少？在平面直角坐标系中，每个点对应着一对有序实数对，即每个点都有坐标，那么两个点间的距离与它们的坐标有着怎样的关系呢？
点M(a,b)到x轴的距离为|b|，到 y 轴的距离为|a|.
如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(1,2),点 B 的坐标为(5,5),点 C 的坐标为(5,2),则点 A 与点 C 之间的距离|AC|=|5-1|=4,点 B 与点 BC 之间的距离|CB|=|5-2|=3.
在直角△ABC 中,根据勾股定理,有
|AB|2=|AC|2+|CB|2=42+32=25，
|AB|= =5 即 A、B 两点间的距离为 5.
(1)(2)
一般地,设点 A 的坐标为(x1,y2), 点 B 的坐标为(x2,y2), 则点 C 的坐标为(x2,y1),且有|AC|=|x2-x1|,|BC|=|y2-y1|.
在直角△ABC 中,根据勾股定理,有
|AB|2=|AC|2+|CB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2，
即 A、B 两点间的距离为
公式称为两点间距离公式.
2. 线段的中点坐标公式
若数轴上点 A 对应的实数是-1,点 B 对应的实数是 2， 线段 AB 的中点是点 C,那么如何求点 C 对应的实数？
若线段的两个端点分别为 A(x1,y1)和 B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0),如何求线段 AB 的中点 M(x0,y0)的坐标呢?
分别过点 A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x0,y0)向 x 轴作垂线,垂足分别是点 A’(x1,0)、B’(x2,0), M’(x0,0),则|A’M’|=|M’B’|.由于
|A’M’|=|x0-x1|=x0-x1, |M’B’|=|x2-x0|=x2-x0.
所以 x0-x1=x2-x0,即
同理,分别过点 A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x0,y0)向 y 轴作垂线,则有
因此,若已知点 A(x1,y1)和 B(x2,y2)且线段 AB 的中点为
M(x0,y0),则有
公式称为线段 AB 的中点坐标公式.
教师通过操作课件、讲解两点间距离公式的知识点
强调公式的重要性
让学生自己在本子上把公式写三变，加强对公式的记忆
教师通过操作课件、讲解线段中点坐标公式
强调公式的重要性
结合图形以及具体实例讲解两点间的距离公式，引导学生自己推到出公式
结合图形以及具体实例讲解线段中点坐标公式，引导学生自己推到出公式
四、
例题分析
例 1 计算 P1(2,-5) 与 P2(5,-1)两点间的距离.
解：有两点间的距离公式，得
即P1 与 P2 两点间的距离为5
例 2 已知点 A(2,3) , B(8,3) ,求线段 AB 的中点坐标.
解 设线段 AB 的中点为 M(x0,y0),由中点坐标公式,得
即线段 AB 的中点 M 的坐标为(5,0) .
例 3 如图，已知△ABC 的三个顶点分别是 A(2,4)、B(-1,1)、C(5,3).
求 BC 边上的中点 D 的坐标；
计算 BC 边上的中线的长度.
分析 (1)已知点 B(-1,1)、C(5,3),由中点坐标公式,即可求出BC 边上的中点 D 的坐标.
(2)连接点 A 和点 D,得到 BC 边上的中线 AD,由两点
间距离公式,即可求出线段 AD 的长度.
解 (1)设线段 BC 的中点 D 的坐标为(x0,y0),由点 B(-1,1)、C(5,3)和中点坐标公式,得
即 BC 边上的中点 D 的坐标为(2,2). (2)由两点间距离公式,得
即 BC 边上的中线长度为 2.
探究与发现
已知线段两个端点的坐标,可以确定线段中点的坐标.,如果知道线段的一个端点和中点的坐标,能否确定另一个端点？怎么求它的坐标？
讲解例题，对于题目进行分析，教学生如何用所学到的公式，求解出正确答案
引发学生的思考，学生自主思考，分组讨论问题
通过解题，让学生更深刻了解公式的重要性以及应用，帮助学生更好熟练的掌握公式
发展学生举隅反三的能力，让学生对于公式有更深的理解，并且告诉学生不仅有公式
五、
巩固与练习
练习 6.1
如图,写出点 M、N、P、Q 的坐标
.
求下列两点间的距离和以两点为端点的线段的中点坐标：
(1) A(1, 0), B(2,3) ；
(2) C(4,3), D(7, 1) ；
(3) P(0,3),Q(0, 2) .
如图所示,已知△ABC 的三个顶点分别是 A(2,2)、B(2,0)、C(0,2).
求 BC 边上的中点 D 的坐标；
计算 BC 边上的 中 线 AD 的长度.
4.已知点 A(3a, 3b), B(3b, 3a) ,求 A、B 两点间的距离和线段 AB 的中点坐标.
做课堂练习，巩固知识，让学生到黑板作业，并完成讲评
查缺补漏
六、
课 堂总 结
在师生问答中，总结本节课知识点，巩固所学知识
课后作业
1.复习巩固本课知识。
2.学习与训练相关练习题。
布置作业
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