[数学][期末]河南省新乡市2023-2024学年高二下学期期末测试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]河南省新乡市2023-2024学年高二下学期期末测试试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 函数的图象大致为， 已知正三棱台的体积为，则等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 3B. 5C. D. 17
【答案】B
【解析】.故选：B.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，即，解得，
所以，
由，解得，所以，
又，则，所以.
故选：D
3. 已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为点到直线的距离为，
所以点到抛物线准线的距离为，
由抛物线的定义得，.
故选：D.
4. 若曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】A
【解析】由，得，当时，
由，得，
曲线在点处的切线与在点处的切线平行，
则，得.
故选：A.
5. 已知的内角的对边分别为，且，则为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】由正弦定理得，，，为的外接圆半径，
因为，
所以，
因为，
所以，即，
又因为，即，
所以为中最大的内角，
则，
所以为钝角三角形.
故选：C.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以是偶函数，排除C，D;因为在上的零点有共三个，排除B.故选:A.
7. 若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若，则，故不满足条件；
若或，则对有，或.
所以，根据复合函数单调性知在上单调递减，满足条件；
若，则，故不满足条件；
若，则由可知，
存在正整数满足.
此时，，
从而在上存在极值点，不可能单调递减，不满足条件.
综上，满足条件的有和.故选：C.
8. 在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过顶点P向平面ABCD作垂线，垂足为O，则PO为正四棱锥的高，设为h.
设底面边长为x，则，则，则.
所以正四棱锥的体积为：，
则.
当时，；当时，.
即在上单调递增，在上单调递减，则
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额及其增长速度如图所示，则（ ）
A. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额稳步上升
B. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额的极差为3501亿元
C. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的平均数为
D. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的分位数为
【答案】BC
【解析】对于A，2020年河南省社会消费品零售总额有所下降，A错误.
对于B，2019年至2023年河南省社会消费品零售总额的极差为亿元，B正确.
对于C，2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的平均数为，C正确.
对于D，2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度从小到大依次为，，因为，所以该组数据的分位数为，D错误.故选：BC.
10. 已知正三棱台的体积为，则（ ）
A.
B. 正三棱台的高为9
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 正三棱台的外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】设正三棱台的高为，
由，得，B正确.
如图，设的中点分别为，连接，

设的外心分别为，连接，过作，垂足为.
易知，，
则，所以，
直线与平面所成角的正切值为A正确，C错误.
设正三棱台的外接球的球心为，半径为，连接，
则，得，
所以正三棱台的外接球的表面积为，D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A.
B.
C. 方程有唯一的实数解
D. 函数有极大值
【答案】AB
【解析】对于A，令，得.
因为，所以，即，A正确；
对于B，令，得，由，得.
又，所以.
令，得，即，所以，
因为为增函数，且，所以，
故B正确；
对于C，由B项可知，等价于.设，
因为，所以在上必至少有一个零点，
又，所以的零点不唯一，从而方程的实数解不唯一，故C错误；
对于D，因，故函数只有极小值，没有极大值，故D错误.
故选：AB.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，且，则__________.
【答案】2
【解析】由题意得，则，得.
故答案为：2.
13. 已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】，，
由题意得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.
14. 将六个数字填入如图所示的方格中，要求每个方格填个数字，且每个数字不重复，则在这三列数字中，第一列的数字之和最小的概率为__________.

【答案】
【解析】设事件表示“存在某两列，使得这两列各自的两个数之和相等且同时为最小”，表示“第一列的数字之和最小”.
若事件发生，由于所有数字之和不是的倍数，所以三列的各自两个数之和不可能都相等.
这就意味着当事件发生时，存在且仅存在两列各自两个数之和相等且同最小，故根据对称性有.
列举即知，这两列各自的两个数只可能是和，和，和三种可能.
所以.
若事件不发生，则两数之和最小的一列是唯一的，故根据对称性有.
所以.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平面四边形中，为的中点，，将沿对折至，使得.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正切值.
解：（1）由题设，易知
即.
又，即.
平面.
平面.
（2）（方法一）如图，以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设平面的法向量为，则
取，则，得.
易得平面的一个法向量为，
由图可知二面角为钝角，则二面角的余弦值为.
故二面角的正切值为.
（方法二）如图，过点作，垂足为，连接.
由平面，面，则，
又平面，则平面，
又平面，则，则为二面角的平面角.
由由勾股定理可得
，
.
二面角与二面角互补，
二面角的正切值为.
16. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，求在上的最小值与最大值.
解：（1）.
令，得；
令，得；令，得.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，.
由（1）知，在处取得极大值，且极大值为.
当时，在上单调递增，
.
当时，，
若，则，
因为，所以.
17. 在某张试卷的多项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有2个或3个选项正确.
（1）已知多项选择题第9题仅有2个选项正确，甲从4个选项中随机选2个，求甲第9题得满分的概率；
（2）在有3个选项正确的多项选择题中，选1个选项且选对得2分，选2个选项且都选对得4分，选3个选项且都选对得6分，有选错的得0分.已知多项选择题第10题仅有3个选项正确，以第10题得分的期望值为决策依据，甲应随机选多少个选项？
解：（1）甲第9题得满分的概率为.
（2）若甲随机选1个选项，则甲得2分的概率为，得0分的概率为，
甲随机选1个选项的得分的期望为；
若甲随机选2个选项，则甲得4分的概率为，得0分的概率为，
甲随机选2个选项的得分的期望为；
若甲随机选3个选项，则甲得6分的概率为，得0分的概率为，
甲随机选3个选项的得分的期望为；
甲选4个选项必定得0分.
因为甲随机选2个选项的得分的期望最大，所以甲应随机选2个选项.
18. 最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为.例如，.
（1）求的值；
（2）若数列满足，，求数列的前n项和；
（3）若公差为整数的等差数列满足，，证明：.
解：（1）.
（2）因为，，且2与3互质，所以，
所以，，
两式相减得
，
所以.
（3）设的公差为d.因为，，所以，
则，
因为公差d为整数，所以，.
当时，因与互质，所以，
所以，
所以.
19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，平面内一动点满足，记的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）已知为的右焦点，过点且斜率为的直线交于两点，过点且斜率为的直线交于两点，且，求四边形面积的最大值.
解：（1）设，则，由，得.
因为点在圆上，所以.
把代入方程，得，
所以的方程为.
（2）设的倾斜角为，由题意得，则，
设的倾斜角为，由题意得，
因为，所以，
即.
综上，.
由题意得，设，
联立得，
则
所以
同理可得.
.
令，由，
得，则.
由，得，所以，
因为在上单调递增，所以，
故四边形面积的最大值为.