2023-2024学年北京市延庆区七年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市延庆区七年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.碳纳米管是一维纳米材料，六边形结构连接完美，具有许多特殊的力学、电学和化学性能．中国科学院的科学家成功地研制出直径0.5纳米的碳纳米管，0.5纳米相当于0.0000005毫米，将0.0000005用科学记数法可以表示为( )
A. 5×10−6B. 5×10−7C. 0.5×10−6D. 0.5×10−7
2.不等式x−1≥0的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
3.以下四个有关调查的说法中，正确的是( )
A. 为了解妫河的水质情况，选择抽样调查
B. 为了解某班学生身高情况，选择抽样调查
C. 为了解某种型号的图形计算器的使用寿命，选择全面调查
D. 为了解某种奶制品中蛋白质的含量，选择全面调查
4.若m>n，则下列结论正确的是( )
A. m+3>n+3B. m−4−5nD. 6m<6n
5.下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A. x2+x+1=xx+1+1B. x+5x−5=x2−25
C. x2−9=x−3x+3D. x+42=x2+8x+16
6.下列命题中是假命题的是( )
A. 对顶角相等
B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 同旁内角互补
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
7.下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a5C. a23=a5D. −2a3=2a3
8.如图，AB//DC，AD//BC，AC，BD相交于点O，下列结论：①∠DAC=∠BCA；②∠DAC=∠DBC；③∠AOB=∠COD；④∠ABC+∠BCD=180∘.其中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.计算：3−2=__________.
10.因式分解：x2−4x+4=__________.
11.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，如果∠COE=40∘，那么∠BOD的度数是__________ ∘.
12.若x=−1y=2是关于x，y的二元一次方程3x+ay=5的一个解，则a的值为__________
13.如果关于x的方程3x−m=4的解为负数，那么m的取值范围是__________.
14.已知二元一次方程组2x−y=−1x−2y=4，则x−y的值为__________.
15.如表是关于x，y的二元一次方程y=kx+b的部分解，那么关于x的不等式kx+b>0的解集为__________.
16.如表是某面包店的价目表：
小明原本拿了4个面包去结账，结账时收银员告诉小明，店内有优惠活动，优惠方式为每买5个面包，其中1个价格最低的面包就免费．因此，小明又去拿了一个面包，这次，小明选择了一个手撕面包．
(1)如果小明买的5个面包均不相同，那么小明需要支付__________元；
(2)如果小明原本的结账金额为n元，那么小明后来的结账金额为__________元．(用含n的式子表示)
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
因式分解：
(1)3a2x−6axy+3a；
(2)2x2−32.
18.(本小题8分)
计算：
(1)2m2+m2m−1+m+2m−3；
(2)28a3b4+21a2b3−14ab2÷7ab2.
19.(本小题8分)
解方程组：
(1)y=2x−4x+y=5
(2)x−y=12x+3y=2
20.(本小题8分)
解不等式：2(3x−1)≤x+3，并把它的解集在数轴上表示出来．
21.(本小题8分)
解不等式组：x−3<5x+1,x−222.(本小题8分)
已知x2−2x−5=0，求代数式x−12+xx−4+x+2x−2的值．
23.(本小题8分)
完成下面的证明．
已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点D在射线OA上，点E在射线OC上，且∠AOC=∠DEO.
求证：DE//OB.
证明：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=①(②).
∵∠AOC=∠DEO，
∴∠BOC=③.
∴DE//OB(④).
24.(本小题8分)
已知：如图，点D，点E分别在三角形ABC的边AB，AC上，连接DE，∠CBD+∠BDE=180∘，直线MN经过点A，且∠AED=∠EAN.求证：MN//BC.
25.(本小题8分)
学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米．
26.(本小题8分)
在国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”活动．通过数学素养竞赛、数学创意展示等活动，展现数学魅力、传播数学文化．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，现从七年级随机抽取了20名学生成绩(单位：分)，并对数据进行整理、描述和分析．过程如下：
a.20名学生的数学素养竞赛分数：
66 70 71 78 71 78 75 78 58 80
63 90 80 85 80 89 85 86 80 87
b.整理、描述数据：
c.20名学生的数学素养竞赛分数扇形统计图：
d.20名学生的数学素养竞赛分数的平均数、中位数和众数：
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)m=，n=，t=；
(2)在扇形统计图中，“60≤x<70”所在的扇形的圆心角等于度；
(3)若该校七年级共有200名学生参加了数学素养竞赛，且成绩不低于80分的学生可获得“数学之星”的称号，请你估计该校七年级获得“数学之星”称号的学生有多少人？
27.(本小题8分)
如图，点F在∠ABC的内部，点D在射线BA上，点E在射线BC上，连接DF，EF，∠ADF=∠FEC，∠FEC=∠B.

(1)求证：DF//BC；
(2)过点D作DM⊥AB交射线BC于点M，连接MF，请你依题意在图2中补全图形，用等式表示∠DMF与∠MFE的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
我们把关于x，y的二元一次方程ax+by=1，叫作数对P(a,b)的“伴随方程”；若x=cy=d是关于x，y的二元一次方程ax+by=1的一个解，则称数对Q(c,d)是数对P(a,b)的“伴随数对”．
(1)已知数对A(2,3)，在数对B(1,1),C(2,1),D−4,3,E2,−1中，是数对A(2,3)的“伴随数对”的是；
(2)若数对F4,−1是数对M(a,b+2)和数对Na−1,3b的“伴随数对”，求数对G(a,b)的“伴随方程”；
(3)若T1,T2,T3,…,Tn是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组2x−5+m≤10x−t>1恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定a和n的值是解题的关键．
根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】0.0000005=5×10−7，
故选：B.
2.【答案】D
【解析】【分析】根据x−1≥0的解集为x≥1，实心圆圈，且方向向右，判断选择即可．
【详解】解：∵x−1≥0的解集为x≥1，
∴实心圆圈，且方向向右，
故选D.
【点睛】本题考查了解不等式，数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了普查和抽样调查和的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．熟练掌握调查知识是解题的关键
本题根据所要考查的对象的逐一判断即可
【详解】A.调查范围大，不宜采用普查，而应采用抽样调查，故符合题意；
B. 调查范围较小，宜采用普查，故不符合题意；
C. 调查范围大，不宜采用普查，而应采用抽样调查，故不符合题意；
D. 调查范围大，不宜采用普查，而应采用抽样调查，故不符合题意.
故选：A
4.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了不等式的性质；解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
根据不等式得性质：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整式，不等号方向改变，解答即可．
【详解】A.m>n，两边同时加3得m+3>n+3；故本选项符合题意；
B.m>n，两边同时减去4得m−4>n−4，原式不等号变方向，错误，故本选项不符合题意；
C.m>n，两边同时乘−5得−5m<−5n，原式不等号没有改变方向，错误，故本选项不符合题意；
D.m>n，两边同时乘6得6m>6n，原式不等号改变方向，错误，故本选项不符合题意
5.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义逐个判断即可．能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【详解】解：A.等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C.
6.【答案】C
【解析】【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质与判定、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A.对顶角相等是真命题，故不符合题意；
B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行是真命题，故不符合题意；
C.两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，符合题意；
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是真命题，故不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确理解平行线的性质与判定是解题关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查整式的运算，涉及整式的加减、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键．利用整式的相关运算法则计算即可．
【详解】解：A中、a2与a3不是同类项，故不能合并，故a2+a3≠a5，故选项A不符合题意；
B中、a2⋅a3=a2+3=a5，故选项B符合题意；
C中、a23=a2×3=a6，故选项C不符合题意；
D中、−2a3=−23×a3=−8a3，故选项D不符合题意；
故选：B.
8.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查平行四边形的性质，对顶角性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键，
根据平行四边形的性质和对顶角相等即可解题．
【详解】∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，故①正确；
∠ADB=∠DBC，
无条件得OB=OC故∠DAC=∠DBC不成立，故②错误；
∵∠AOB和∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD，故③正确；
∵AB//DC，
∴∠ABC+∠BCD=180∘，故④正确；
故正确的有①③④，
故选：C.
9.【答案】19
【解析】【分析】根据负指数幂的定义直接计算即可．
【详解】解：3−2=19.
故答案为：19.
【点睛】本题考查的知识点是负指数幂的计算，任何不等于零的数的−n(n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，在这个幂的意义中，强调底数不等于零，否则无意义．
10.【答案】x−22
【解析】【分析】根据完全平方公式进行分解即可
【详解】解：x2−4x+4=x−22，
故答案为：x−22.
【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11.【答案】50
【解析】【分析】本题考查了对顶角，根据OE⊥AB得∠AOE=90∘，根据∠COE=40∘得∠AOC=50∘，即可得；掌握对顶角是解题的关键．
【详解】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90∘，
∵∠COE=40∘，
∴∠AOC=∠AOE−∠COE=90∘−40∘=50∘，
∴∠BOD=∠AOC=50∘，
故答案为：50.
12.【答案】4
【解析】【分析】根据二元一次方程的解的定义把x=−1y=2代入到3x+ay=5得到关于a的方程即可求解．
【详解】解：∵x=−1y=2是关于x、y的二元一次方程3x+ay=1的一个解，
∴−3+2a=5，
∴a=4.
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知二元一次方程解的定义是解题的关键．
13.【答案】m<−4/−4>m
【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先解方程得出x=m+43，再结合题意得出m+4<0，解不等式即可得出答案．
【详解】解：3x−m=4
3x=m+4，
x=m+43，
∵关于x的方程3x−m=4的解为负数，
∴m+43<0，
解得：m<−4，
故答案为：m<−4.
14.【答案】1
【解析】【分析】方程组中两方程相加，求出x−y的值即可．
【详解】解：{2x−y=−1①x−2y=4②，
①+②得：3x−3y=3.
得x−y=1
故答案为1.
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，本题注意观察方程组中两方程系数之间的关系，利用加减法求出结果是解题关键．
15.【答案】x<1/1>x
【解析】【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，先得到当x=1时，y=0，然后利用表格得到y随x的增大而减小，，继而得到不等式的解集即可．
【详解】解：由表格可知当x=1时，y=0，
根据表中数据可得y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b>0的解集为x<1，
故答案为：x<1.
16.【答案】37
n或n+2或n+3

【解析】【分析】本题主要考查了列代数式，
(1)根据题意得：全麦面包免费，即可求解；
(2)分三种情况：当4个面包中有全麦面包时；当4个面包中没有全麦面包，且含有芒果面包时；当4个面包中既没有全麦面包，也没有芒果面包时，即可求解．
【详解】解：(1)根据题意得：全麦面包免费，
小明需要支付6+8+11+12=37元；
故答案为：37
(2)当4个面包中有全麦面包时，小明后来的结账金额为n+8−5=n+3元；
当4个面包中没有全麦面包，且含有芒果面包时，小明后来的结账金额为n+8−6=n+2元；
当4个面包中既没有全麦面包，也没有芒果面包时，小明后来的结账金额为n+8−8=n元；
综上所述，小明后来的结账金额为n元或n+2元或n+3元；
故答案为：n或n+2或n+3
17.【答案】(1)解：3a2x−6axy+3a
=3aax−2xy+1；
(2)解：2x2−32
=2x2−16
=2x+4x−4.

【解析】【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
(1)提取公因式3a即可得到答案；
(2)先提取公因式2，再用平方差公式分解即可．
18.【答案】(1)解：2m2+m2m−1+m+2m−3
=4m2+2m2−m+m2−m−6
=7m2−2m−6.
(2)解：28a3b4+21a2b3−14ab2÷7ab2
=28a3b4÷7ab2+21a2b3÷7ab2−14ab2÷7ab2
=4a2b2+3ab−2.

【解析】【分析】本题主要考查了整式的混合运算、多项式除单项式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
(1)直接运用整式的混合运算法则计算即可；
(2)直接运用多项式除单项式的运算法则计算即可．
19.【答案】(1){y=2x−4①x+y=5②
解：把①代入②，得x+2x−4=5，
3x=9，
x=3，
把x=3代入①，得y=2，
所以原方程组的解为x=3y=2；
(2){x−y=1①2x+3y=2②
解：①×3，得3x−3y=3③
②+③，得5x=5，x=1，
把x=1代入①得，y=0
所以方程组的解为x=1y=0

【解析】【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
(1)方程组利用代入消元法求解即可；
(2)方程组利用加减消元法求解即可；
20.【答案】解：2(3x−1)≤x+3，
6x−2≤x+3，
6x−x≤2+3，
5x≤5，
x≤1，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：


【解析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
21.【答案】解：{x−3 < 5x+1①x−2 < x−13②，
解不等式①，得：x> -1，
解不等式②，得：x<52，
∴原不等式组的解集是−1∴该不等式组的整数解是0，1，2.

【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后再写出相应的整数解即可．
本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
22.【答案】解：x−12+xx−4+x+2x−2
=x2−2x+1+x2−4x+x2−4
=3x2−6x−3
∵x2−2x−5=0
∴x2−2x=5
∴3x2−6x=15
∴原式=15−3=12.

【解析】【分析】此题考查了整式的乘法计算公式，整式的混合运算，先根据完全平方公式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式公式分别化简，再代入式子进行整体计算，熟练掌握整式的计算法则是解题的关键．
23.【答案】证明：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC(角平分线的定义).
∵∠AOC=∠DEO，
∴∠BOC=∠DEO.
∴DE//OB(内错角相等，两直线平行).
故答案为：∠BOC；角平分线定义；∠DEO；内错角相等，两直线平行．

【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义得∠AOC=∠BOC，根据∠AOC=∠DEO可得∠BOC=∠DEO，根据平行线的判定即可得；掌握角平分线的定义，平行线的判定是解题的关键．
24.【答案】证明：∵∠CBD+∠BDE=180∘，
∴DE//BC，
∵∠AED=∠EAN，
∴DE//MN，
∴MN//BC.

【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答此题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理的综合运用．
直接根据平行线的判定定理以及平行线的性质进行分析证明即可．
25.【答案】解：设小明每小时走x千米，每小时走y千米，根据题意列方程组，得
2.5x+2y=2020−(x+y)=11，
解这个方程组，得
x=4y=5
答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米．

【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解．
设小明每小时走x千米，小强每小时走y千米，根据小明走2.5小时的路程-小强走2小时的路程=20千米，他们共同走1个小时，俩人走的路程差为11千米，据此列方程组求解．
26.【答案】(1)解：m=20−1−2−9−1=7，
将数据排序后，第10个和第11个数据分别为：78，80，
∴n=1278+80=79，
出现次数最多的数据为80，
∴t=80；
(2)360∘×220=36∘；
故答案为：36；
(3)200×9+120=100(人)
答：该校七年级获得“数学之星”称号的学生有100人．

【解析】【分析】本题考查统计图表，求中位数和众数，利用样本估计总体：
(1)用样本容量减去其它组的数据，求出m的值，利用中位数和众数的确定方法求出n,t的值；
(2)360度乘以60≤x<70所占的比例，求解即可；
(3)利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
27.【答案】(1)证明：∵∠ADF=∠FEC，∠FEC=∠B，
∴∠ADF=∠B，
∴DF//BC，
(2)依题意补全图形．

数量关系：∠DMF=∠MFE+90∘，
证明：过点M作MN//AB交DF于点N，
∴∠DMN=∠BDM，
∵DM⊥AB，
∴∠BDM=90∘，
∴∠DMN=90∘，
∵∠FEC=∠B，
∴EF//AB，
∴MN//EF，
∴∠MFE=∠FMN，
∴∠DMF=∠MFE+90∘.

【解析】【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键；
(1)根据已知条件∠ADF=∠FEC，∠FEC=∠B，等量代换即可解答；
(2)过点M作MN//AB交DF于点N，根据平行线的性质及垂线的定义得∠DMN=∠BDM=90∘，再证EF//AB得MN//EF，即可得出结论；
28.【答案】(1)解：由题意得：“伴随方程”为：2x+3y=1
将点B1,1代入得2+3≠1，
将点C2,1代入得4+3≠1，
将点D−4,3代入得−8+9=1，
将点E2,−1代入得4−3=1，
∴点D−4,3，E2,−1是数对A2,3的“伴随数对”，
故答案为：D−4,3,E2,−1；
(2)解：由题意得，4a−b+2=14a−1−3b=1，
解得：a=12b=1，
∴数对G(a,b)的“伴随方程”为：12x−y=1；
(3)解：解不等式组{2(x−5)+m⩽10①x−t>1②，
由①得，x≤10−12m，
由②得，x>t−1，
∴不等式组的解集为：t−1∵n的最大值是t，
∴t≥2，则t+1≥3，
∴4≤x≤10−12m，
∵关于x的不等式组2x−5+m≤10x−t>1恰好有2024个整数解，
∴这2024个整数解为4,5,6,⋯,2027，
∴10−12m≥202810−12m<2029，
解得：−4038
【解析】【分析】本题考查了新定义，方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键．
(1)由题意得“伴随方程”为：2x+3y=1，将B(1,1),C(2,1),D−4,3,E2,−1分别代入验证即可；
(2)由题意得，4a−b+2=14a−1−3b=1，解得：a=12b=1，故数对G(a,b)的“伴随方程”为：12x−y=1；
(3)解不等式组{2(x−5)+m⩽10①x−t>1②得：t−1y=kx+b
x
…
−1
0
1
2
…
y
…
4
2
0
−2
…
面包品种
全麦面包
芒果面包
手撕面包
切片面包
奶香面包
单 价
5元
6元
8元
11元
12元
分数
50≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
人数
1
2
m
9
1
平均数
中位数
众数
77.5
n
t