2023-2024学年辽宁省丹东市凤城市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省丹东市凤城市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种具有超高强度纳米丝的“飞刃”，已知“飞刃”的直径为0.0009dm，则“飞刃”的直径(dm)用科学记数法表示为( )
A. 0.9×10−3B. 9×10−3C. 0.9×10−4D. 9×10−4
3.如图，当光线从空气射入水中，光线的传播发生了改变，这就是折射现象.∠1的对顶角是( )
A. ∠AOB
B. ∠BOC
C. ∠AOC
D. 都不是
4.如图，能够判断DE//BC的条件是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠4=∠C
C. ∠1+∠3=180∘
D. ∠3+∠C=180∘
5.下列算式中，正确的是( )
A. |3−π|=3−πB. −2−2=14C. 25×0.252=12D. −20=−1
6.如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于12AB的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线PO交AB于点E，交AC于点D，若BC=5，AC=8，则△BDC的周长为( )
A. 9
B. 10.5
C. 13
D. 18
7.如图是一款手推车的平面示意图，其中AB//CD，∠3=150∘，∠1=30∘，则∠2的大小是( )
A. 60∘
B. 70∘
C. 80∘
D. 90∘
8.如图1所示，将长为8的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等.若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体.则图中a的值可以是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.图1是水滴进玻璃容器的示意图(滴水速度不变)，图2是容器中水高度随滴水时间变化的图象.那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与①、②、③、④匹配的图象( )
A. (3)(2)(4)(1)B. (2)(3)(1)(4)C. (2)(3)(4)(1)D. (3)(2)(1)(4)
10.如图1，△ABC是等边三角形，动点D从点A出发，沿A−B−C方向匀速运动，在运动过程中，AD的长度y与运动时间x的关系如图2所示，若△ABC的面积为4a，则AB的长为( )
A. 4aB. 4C. 8aD. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知am=3，an=7，则am+n=______.
12.已知变量x、y满足下面的关系
则x、y之间用关系式表示为y=______.
13.一个不透明的袋子装有n个白球，2个红球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，已知从袋中任意摸出一个球是红球或黄球的概率之和为13，则n=______.
14.如图，直线l为线段AB的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于AB异侧(E,F两点不与点C重合).只需添加一个条件即可证明△ACE≌△BCF，这个条件可以是______.
15.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6cm，BC=8cm，点P从A点出发沿A−C−B路径运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B−C−A路径运动，终点为A点.点P和点Q分别以1cm/s和3cm/s的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动.若分别过点P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F.当△PEC与△QFC全等时，点P的运动时间t为______s.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
计算：(1)(3−π)0−(−1)2023+|−2|.
(2)(−2a)3⋅ab4÷12a3b2.
17.(本小题7分)
先化简，再求值：[(2x−y)2−(2x+y)(2x−y)]÷12y，其中x=2，y=−1.
18.(本小题8分)
如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠D.求证：AD//BC.
证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4(已知)，又∵∠2=______(______)，∴∠1=______(______).∴AB//______(______).∴∠B=∠DCG(______).∵∠B=∠D，(已知)∴∠DCG=∠D.∴AD//BC(______).
19.(本小题8分)
已知：如图，点E，F是BD上的点，∠AED=∠CFB，AE=CF，BE=DF.求证：AB//CD，AB=CD.
20.(本小题8分)
在网格图中，每个方格除颜色外都相同，其中4个方格为黑色，余下方格为白色.
(1)涂黑3个白色方格，使整个网格图为轴对称图形(考虑颜色)；
(2)在(1)的轴对称网格图中任取1个方格，恰好是黑色方格的概率是多少？
(3)在(1)的轴对称网格图中，再涂黑若干个白色方格，能否使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5？
21.(本小题10分)
佳佳和萌萌一起参加中长跑，起跑后路程S(m)与时间t(min)之间的关系如图所示.
(1)在上述关系中，自变量是______，因变量是______；
(2)这次比赛的路程是______ m；
(3)萌萌将本次中长跑分起跑、途中跑和冲刺跑三阶段，最慢阶段时的速度为______m/min；
(4)通过计算说明萌萌与佳佳何时相遇.
22.(本小题10分)
用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式.例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形.它的面积是(a+b)2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到(a+b)2=a2+2ab+b2.
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______.
(2)利用(1)中的结论解决以下问题：
已知a+b+c=10，ab+ac+bc=37，求a2+b2+c2的值；
(3)如图3，正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD、DF，若a−b=5，ab=6，求图3中阴影部分的面积.
23.(本小题12分)
(1)探索发现：
如图1，在△ABC中，点D在边BC上，△ABD与△ADC的面积分别记为S1与S2，试判断S1S2与BDCD的数量关系为______.
(2)阅读分析：
小鹏遇到这样一个问题：如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，射线AM交BC于点D，点E、F在AM上，且∠1=∠2=90∘，试判断BF、CE、EF三条线段之间的数量关系.小鹏利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决.图2中的BF、CE、EF三条线段之间的数量关系为______，并说明理由；
(3)类比探究：
如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点O，点E、F在射线AC上，且∠1=∠2=∠BAD.
①图3中全等的两个三角形为______；
②若OD=3OB，△AED的面积为2，直接写出△CDE的面积：______.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A.
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，判断是否是轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：0.0009dm=9×10−4dm.
故选：D.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】A
【解析】解：根据对顶角的定义判断：∠1的对顶角为∠AOB，
故选：A.
本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
本题主要考查了对顶角，要根据对顶角的定义来判断，是简单的基础题．
4.【答案】C
【解析】解：A、因为∠1=∠2，
所以EF//AC，故不符合题意；
B、因为∠4=∠C，
所以EF//AC，故不符合题意；
C、因为∠1+∠3=180∘，
所以DE//BC，故符合题意；
D、因为∠3+∠C=180∘，
所以EF//AC，故不符合题意；
故选：C.
根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、|3−π|=π−3≠3−π，故计算错误；
B、−2−2=−14≠14，故计算错误；
C、25×0.252=32×116=2≠12，故计算错误；
D、−20=−1，计算正确；
故选：D.
根据绝对值的计算、负整数指数幂、乘方的计算、零指数幂进行判断即可．
本题考查负整数指数幂、绝对值、有理数的乘法、有理数的乘方、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴AE=BE，DE⊥AB，
∴D点为AC的中点，
∴BD=CD=AD，
∴△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=8+5=13.
故选：C.
利用基本作图得到DE垂直平分AB，则AE=BE，DE⊥AB，所以D点为AC的中点，利用斜边上的中线性质得到BD=CD=AD，然后利用等线段代换得到△BDC=AC+BC.
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
由平行线的性质可得∠A=∠1=30∘，再由三角形的外角性质可求∠4，利用邻补角的定义即可求∠2的度数．
【解答】
解：如图，
∵AB//CD，∠1=30∘，
∴∠A=∠1=30∘，
∵∠3=∠A+∠4，∠3=150∘，
∴∠4=∠3−∠A=120∘，
∴∠2=180∘−∠4=60∘.
故选：A.
8.【答案】C
【解析】解：长为8的线段围成等腰三角形的腰长为a.则底边长为8−2a.
由题意得2a>8−2a8−2a>0，
解得2∴选项中只有3符合上面不等式组的解集．
故选：C.
本题实际上是长为8的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围．
本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是把三棱柱的底面问题转化为三角形三边之间的关系问题．
9.【答案】A
【解析】解：A、容器的直径小，水上升的速度最快，故A应是图(3)，
B、容器直径大，上升速度慢，故B应是图(2)；
C、容器下面大，上升速度慢，上面较小，上升速度变快，故C应是图(4)；
D、先最快，后速度放慢，故D应是图(1)；
故选：A.
先根据容器的形状，判断对应的函数图象，从而可得答案．
主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
10.【答案】D
【解析】解：从图2看，当点D在BC的中点时，AD即为△ABC的高，且此时AD=a，
则△ABC的面积=12BC×AD=12×a×BC=4a，
解得BC=8=AB，
故选：D.
从图2看，当点D在BC的中点时，AD即为△ABC的高，且此时AD=a，则△ABC的面积=12BC×AD=12×a×BC=4a，即可求解．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象确定AD的长度．
11.【答案】21
【解析】解：由题意可知：am+n=am⋅an=21
故答案为：21
根据同底数幂的乘法即可答案．
本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法，本题属于基础题型．
12.【答案】3x
【解析】解：观察图表可知，每对x，y的对应值，y是x的3倍，
故y与x之间的函数关系式：y=3x.
故答案为：3x.
观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出符合要求的关系式．
本题主要考查了根据条件写出函数关系式．认真审题能够看出规律是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：从袋中任意摸出一个球是红球或黄球的概率为2+3n+2+3=13，
解得n=10.
故答案为：10.
袋子装有n个白球，2个红球，3个黄球，从袋中任意摸出一个球是红球或黄球的概率之和为13，根据概率公式列式计算即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.
14.【答案】∠A=∠B(答案不唯一)
【解析】解：条件可以是∠A=∠B，
理由是：∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
在△ACE和△BCF中
∠A=∠BAC=BC∠ACE=∠BCF，
∴△ACE≌△BCF(ASA)，
故答案为：∠A=∠B(答案不唯一).
本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL.
15.【答案】1或72或12
【解析】解：设点P运动t秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC=(6−t)cm，QC=(8−3t)cm，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC=∠QFC=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠EPC+∠PCE=90∘，∠PCE+∠QCF=90∘，
∴∠EPC=∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
即6−t=8−3t，
∴t=1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC=(t−6)cm，QC=(3t−80)cm，
由①知：PC=CQ，
∴t−6=3t−8，
∴t=1；
因为此时t−6<0，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，
PC=6−t=3t−8，
∴t=72；
④当Q到A点停止，P在BC上时，
AC=PC，t−6=6时，解得t=12.
⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3，P和Q都在BC上的情况不存在；
综上，点P运动1或72或12秒时，△PEC与△QFC全等．
故答案为：1或72或12.
根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP=CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
本题主要考查全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
16.【答案】解：(1)(3−π)0−(−1)2023+|−2|
=1−(−1)+2
=4；
(2)(−2a)3⋅ab4÷12a3b2
=−8a3⋅ab4÷12a3b2
=−8a4b4÷12a3b2
=−23ab2.
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘除，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：[(2x−y)2−(2x+y)(2x−y)]÷12y
=(4x2−4xy+y2−4x2+y2)÷12y
=(2y2−4xy)÷12y
=4y−8x，
当x=2，y=−1时，原式=4×(−1)−8×2=−4−16=−20.
【解析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】∠4对顶角相等 ∠3等量代换 CD 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 内错角相等，两直线平行
【解析】解：∵∠1=∠2，∠3=∠4(已知)，
又∵∠2=∠4(对顶角相等)，
∴∠1=∠3(等量代换)，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠B=∠DCG(两直线平行，同位角相等)，
∵∠B=∠D(已知)，
∴∠DCG=∠D，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行).
故答案为：∠4，对顶角相等，∠3，等量代换，CD，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，内错角相等，两直线平行．
根据对顶角相等和等量代换得到∠1=∠3，从而推出平行线，再根据平行线的性质证明∠B=∠DCG，进一步利用等量代换得到∠DCG=∠D，即可证明结论．
本题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，等量代换等数学知识，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
19.【答案】证明：∵∠AED=∠CFB，
∴∠AEB=∠CFD，
∵AE=CF，BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AB=CD，∠ABD=∠CDB，
∴AB//CD.
【解析】根据补角的概念可得∠AEB=∠CFD，再根据“SAS”可得△ABE≌△CDF，由全等三角形的性质可得答案．
此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示：
(答案不唯一)；
(2)∵图中共有25个方格，黑色的有7个，
∴任取1个方格，恰好是黑色方格的概率是725；
(3)若能使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5，
则白色的方格为25×0.5=12.5个，
故不能再涂黑若干个白色方格，使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5.
【解析】(1)根据轴对称图形的性质涂黑即可，答案不唯一；
(2)根据概率公式计算即可；
(3)根据概率公式计算出白色的数量不为整数，即可判断出答案．
此题考查了概率公式和轴对称图形，利用概率=相应的面积与总面积之比求出是解题关键．
21.【答案】时间 路程 1600 100
【解析】解：(1)在上述关系中，自变量是t，因变量是S；
故答案为：时间，路程；
(2)这次比赛的路程是1600m；
故答案为：1600；
(3)萌萌将本次中长跑分起跑、途中跑和冲刺跑三阶段，经历了两次变速，在第2∼5min速度最慢，速度为：(900−600)÷(5−2)=100(m/min)；
故答案为：100；
(4)佳佳的速度为：1600÷8=200(m/min)；
萌萌冲刺跑的速度为：(1600−900)÷(7−5)=350(m/min)；
200t=600+100(t−2)或200t=900+350(t−5)，
解得t=4或t=523，
即4分或523分时萌萌与佳佳相遇．
(1)根据函数的定义解答即可；
(2)根据函数的图象可得答案；
(3)根据图象，结合“速度=路程÷时间”解答即可；
(4)根据题意列方程解答即可．
本题主要考查了函数的图象，准确的解读函数图象得到需要的信息是解题的关键．
22.【答案】(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
【解析】解：(1)图2整体是边长为a+b+c的正方形，因此面积为(a+b+c)2，图2中9个部分面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
因此有(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
(2)∵a+b+c=10，ab+ac+bc=37，而(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴100=a2+b2+c2+37×2，
即a2+b2+c2=26，
答：a2+b2+c2的值为26；
(3)∵a−b=5，ab=6，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab
=25+24
=49，
又∵a>b>0，
∴a+b=7，
∴S阴影部分=S△BCD−S△DFG−S正方形CEFG
=12a2−12b×(a−b)−b2
=12(a2−ab−b2)
=12[(a+b)(a−b)−ab]
=12(5×7−6)
=292.
(1)从“整体”和“部分”两个方面用代数式表示图2的面积即可；
(2)利用(1)的结论代入计算即可；
(3)根据图形中各个部分面积之间的关系得出S阴影部分=S△BCD−S△DFG−S正方形CEFG，再代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，以及完全平方式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
23.【答案】S1S2=BDCD CE=EF+BF△ABC≌△DAE4
【解析】解：(1)S1S2=BDCD，理由如下：
如图1中，作AH⊥BC于H.
∵S1=12BD⋅AH，S2=12CD⋅AH，
∴S1S2=12BD⋅AH12CD⋅AH=BDCD，
故答案为：S1S2=BDCD；
(2)CE=EF+BF，理由如下：
如图2中，
∵∠CAE+∠BAF=90∘，∠ACE+∠CAE=90∘，
∴∠ACE=∠BAF，
∵∠1=∠2=90∘，
∴∠AEC=∠AFB=90∘，
在△ABF和△CAE中，
∠ACE=∠BAF∠AEC=∠AFBAB=AC，
，∴△ABF≌△CAE(AAS)，
∴BF=AE，AF=CE，
∴CE=AF=AE+EF=BF+EF.
故答案为：CE=EF+BF；
(3)①△ABC≌△DAE，理由如下：
如图3，
∵∠BCF=∠DEF，
∴∠ACB=∠DEA，
∵∠BCF=∠BAD，∠BCF=∠ABC+∠BAC，∠BAD=∠BAC+∠DAE，
∴∠ABC=∠DAE，
∵AB=AD，
∴△ABC≌△DAE(ASA)，
故答案为：△ABC≌△DAE；
②4；理由如下：
∵OD=3OB，
∴S△AOD=3S△ABO，S△ODC=3S△OBC，
∴S△ACD=3S△ABC，
∵△ABC≌△DAE，
∴S△ABC=S△ADE=2，
∴S△ACD=6，
∴S△CDE=6−2=4，
故答案为：4.
(1)结论：S1S2=BDCD，利用等高模型即可解决问题；
(2)由∠AEC=∠AFB=90∘，∠BAF=∠ACE，AB=AC，用AAS证明△AFB≌△CEA，即可解决问题；
(3)①由∠ACB=∠DEA，∠ABC=∠DAE，AB=AD，根据ASA证明△ABC≌△DAE，即可解决问题．
②利用全等三角形的性质以及等高模型即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等高模型，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
−6
−3
0
3
6
…