2024年江苏省扬州市中考数学试卷

这是一份2024年江苏省扬州市中考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）实数2的倒数是（ ）
A．﹣2B．2C．D．
2．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识，其中的轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．5a﹣2a＝3a
C．（a3）2＝a5D．3a2•2a3＝6a6
4．（3分）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：
这45名同学视力检查数据的众数是（ ）
A．4.6B．4.7C．4.8D．4.9
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于坐标原点的对称点P′的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）
6．（3分）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A．三棱锥B．圆锥C．三棱柱D．长方体
7．（3分）在平面直角坐标系中，函数y的图象与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．4
8．（3分）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676B．674C．1348D．1350
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）近年来扬州经济稳步发展，2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为 ．
10．（3分）分解因式2x2﹣4x+2＝ ．
11．（3分）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 .（精确到0.01）
12．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm．
14．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 ．
15．（3分）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟．
16．（3分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 cm．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 ．
18．（3分）如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C、D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：|π﹣3|+2sin30°﹣（2）0；
（2）化简：（x﹣2）．
20．（8分）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
21．（8分）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ %，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
22．（8分）2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．
（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是 ；
（2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．
23．（10分）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
24．（10分）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数．
25．（10分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点．
（1）求b、c的值；
（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
26．（10分）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（1）、（2）的条件下，若sinA，CM＝12，求BM的长．
27．（12分）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB＝2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．
（1）如图1，若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离；
（2）如图1，若BE＝10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；
（3）如图2，若BF＝22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为 ．
28．（12分）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD．
【特殊化感知】
（1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为 ；
【一般化探究】
（2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示）
2024年江苏省扬州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）实数2的倒数是（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【解答】解：实数2的倒数是：．
故选：D．
2．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识，其中的轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由图可知，A、B、D不是轴对称图形；
C是轴对称图形．
故选：C．
3．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．5a﹣2a＝3a
C．（a3）2＝a5D．3a2•2a3＝6a6
【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故A选项错误；
B、5a﹣2a＝3a，故B选项正确；
C、（a3）2＝a6，故C选项错误；
D、3a2•2a3＝6a5，故D选项错误；
故选：B．
4．（3分）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：
这45名同学视力检查数据的众数是（ ）
A．4.6B．4.7C．4.8D．4.9
【解答】解：根据列表可知视力4.7的人数最多为11人，即众数为4.7，
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于坐标原点的对称点P′的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）
【解答】解：∵点P（1，2），
∴关于坐标原点的对称点P′的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：A．
6．（3分）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A．三棱锥B．圆锥C．三棱柱D．长方体
【解答】解：由几何体的表面展开后得到的平面图形可知：侧面为三个相同的长方形，上下底面为全等的三角形，符合三棱柱的特征，所以该几何体是三棱柱．
故选：C．
7．（3分）在平面直角坐标系中，函数y的图象与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【解答】解：当x＝0时，y＝2，故函数与y轴的交点坐标为（0，2），
当y＝0时，函数无意义．故函数与x轴没有交点，
∴函数y的图象与坐标轴的交点个数是1个．
故选：B．
8．（3分）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676B．674C．1348D．1350
【解答】解：这列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数，
∵2024÷3＝674…2，
即前2024个数共有674组，且余2个数，奇数有：674×2+2＝1350（个），
故选：D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）近年来扬州经济稳步发展，2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为 1.87×107 ．
【解答】解：18700000＝1.87×107，
故答案为：1.87×107．
10．（3分）分解因式2x2﹣4x+2＝ 2（x﹣1）2 ．
【解答】解：2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
11．（3分）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 0.53 .（精确到0.01）
【解答】解：由题意可知，盖面朝上频率在0.53左右波动，
∴根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53．
故答案为：0.53．
12．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
13．（3分）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 5 cm．
【解答】解：由题意可知：圆锥的底面周长为10πcm，
则圆锥底面圆的半径为5（cm），
故答案为：5．
14．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 x＝﹣2 ．
【解答】解：∵OA＝2，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
15．（3分）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 2.5 分钟．
【解答】解：设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人，
根据题意可列：100+60x＝100x，
解得：x＝2.5，
故答案为：2.5．
16．（3分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 20 cm．
【解答】解：设小孔O到A′B′的距离为x cm，
由题意可得：△ABO∽△A′B′O，
则，
解得：x＝20．
故答案为：20．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 2 ．
【解答】解：设点B坐标为（m，），则C（m，0），
∵A（1，0），
∴AC＝m﹣1，
由对称可知：AD＝m﹣1，∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°，
作DG⊥x轴，垂足为G，
∴AG，DG，
∴D（，），
∵点D在反比例函数图象上，
∴（）•k ①，
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，
∴BCAC，即（m﹣1）②，
由①②解得k＝2．
故答案为：2．
18．（3分）如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C、D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为 ．
【解答】解：∵AC∥BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴AE＝BEAB，
∵A为定点，且AB⊥l2，
∴AE为定值，
∵BH⊥CD，
∴∠BHE＝90°，
∴点H在以BE为直径的圆上运动（如图，O为圆心），
此时OEBEOA，
∵当AH与⊙O相切时∠BAH最大，
∴sin∠BAH．
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：|π﹣3|+2sin30°﹣（2）0；
（2）化简：（x﹣2）．
【解答】解：（1）|π﹣3|+2sin30°﹣（2）0

＝π﹣3；
（2）（x﹣2）

．
20．（8分）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【解答】解：解不等式2x﹣6≤0，得：x≤3，
解不等式x，得：x，
则不等式组的解集为x≤3，
所以整数解为1，2，3，整数解的和为6．
21．（8分）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ 20 %，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 D 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【解答】解：（1）由题意得，C组的人数为200﹣10﹣30﹣70﹣50＝40（人），
∴a＝40÷200×100%＝20%．
故答案为：20．
补全条形统计图如图所示．
（2）将这200名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第100和101名的学生成绩均在D组，
∴这200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D．
（3）1200×25%＝300（人）．
∴估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数约300人．
22．（8分）2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．
（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是 ；
（2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．
【解答】解：（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中选中东关街的结果有1种，
∴选中东关街的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种，
∴小明和小亮选到相同景区的概率为．
23．（10分）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
【解答】解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理（x+40）吨垃圾，
根据题意得：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
24．（10分）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数．
【解答】（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：如图作CH⊥AB，垂足为H，CG⊥AD，垂足为G，
∵两个纸条为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S▱ABCD＝AB•CH＝AD•CG，且CH＝CG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）如图，作AM⊥CD，垂足为M，
∵S菱形ABCD＝CD•AM＝8cm2，且AM＝2cm，
∴CD＝4cm，
∴AD＝CD＝4cm，
再Rt△ADM中，sin∠1，
∴∠1＝30°．
25．（10分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点．
（1）求b、c的值；
（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得；
（2）由（1）知，二次函数解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
设点P坐标为（m，﹣m2﹣m+2），
∵△PAB的面积为6，AB＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△PABAB•|yP|3×|﹣m2﹣m+2|＝6，
∴|m2+m﹣2|＝4，
即m2+m﹣2＝4或m2+m﹣2＝﹣4，
解得m＝﹣3或m＝2，
∴P（﹣3，﹣4）或（2，﹣4）．
26．（10分）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（1）、（2）的条件下，若sinA，CM＝12，求BM的长．
【解答】解：（1）如图点O即为所求；
（2）如图，点B点M即为所求；
（3）由作图可知OA＝OC＝OB，
∴∠ACB＝90°，
∵sinA，
∴可以假设BC＝3k，AB＝5k，则AC＝4k，
∵BM平分∠CBQ，MC⊥CB，MH⊥BQ，
∴∠MBC＝∠MBH，∠MCB＝∠BHM＝90°，
∵BM＝BM，
∴△MBC≌△MBH（AAS），
∴BC＝BH＝3k，
∴AH＝AB+BH＝8k，
∵sinA，
∴AM＝10k，MH＝MC＝6k，
∴12＝6k，
∴k＝2，
∴BH＝6，MH＝12，
∴BM6 ．
27．（12分）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB＝2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．
（1）如图1，若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离；
（2）如图1，若BE＝10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；
（3）如图2，若BF＝22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为 2 ．
【解答】解：（1）由题易得∠CBM＝∠CMH＝∠HEM＝90°，
∵∠CMB+∠BCM＝∠CMB+∠HME＝90°，
∴∠BCM＝∠HME，
∴△MCB∽△HME，
∴，
∵BC＝AB＝2，EH＝EF＝12，BE＝10，
∴，解得BM＝4或6，
∴点M与点B之间的距离是4或6．
（2）由（1）知，
设EH＝y，BM＝x，
∵BE＝10，
∴EM＝10﹣x，
∴，
∴yx2+5（x﹣5）+12.5，
∵0，
∴当x＝5时，ymax＝12.5，
即HE最大值为12.5．
（3）∵∠CMH＝90°，O是CH中点，
∴CH＝2OM，
∴2OM+HB＝CH+BH，
∴求2OM+HB的最小值就是求CH+BH的最小值即可．
如图，连接FH，则点H在∠EFG的角平分线上，作B关于FH的对称点B'，连接B'C交FH为H'，则H'即为所求H位置，B'C长度即为CH+HB最小值．
过点C作CQ⊥B'F．
∵∠BFH＝∠B'FH＝45°，
∴B'在FG的延长线上，
∵∠CBF＝∠BFQ＝∠FQC＝90°，
∴四边形CBFQ为矩形，
∴FQ＝BC＝2，
∵BF＝B'F＝22，
∴B'Q＝B'F﹣QF＝20，
在Rt△B'CQ中，B'C22，
即CH+BH最小值为2，
∴2OM+HB最小值为2．
28．（12分）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD．
【特殊化感知】
（1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为 AD﹣BD＝CD ；
【一般化探究】
（2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示）
【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°，
∴CD＝BDAD，
∴AD﹣BD＝CD．
故答案为：AD﹣BD＝CD；
（2）若∠ACB＝60°，点C、D在AB向侧，AD﹣BD与CD的数量关系为：AD﹣BD＝CD，理由：
延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CDE＝∠BAC＝60°，
∵DE＝CD，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE＝CD，∠DCE＝∠E＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝60°+∠BCD，
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝60°+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE．
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠ADC∠E＝60°．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE，
∵BE＝BD+DE＝BD+CD，
∴AD＝BD+CD，
∴AD﹣BD＝CD．
（3）①当点C、D在AB同侧时，
延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝α，
∴∠CAB＝∠CBA＝90°，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CDE＝∠BAC＝90°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝90°α，∠DCE＝α．
∵CF⊥DE，
∴∠DCF＝∠ECF，DF＝EF＝CD•sin，
∴DE＝2DF＝2CD•sin，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝α+∠BCD，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝α+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝∠E．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE，
∵BE＝BD+DE＝BD+2CD•sin，
∴AD﹣BD＝2CD•sin．
②当点C、D在AB两侧时，
延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝α，
∴∠CAB＝∠CBA＝90°，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CBE＝∠DAC，
在△CAD和△CBE中，
，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴CD＝CE，∠ADC＝∠E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠E＝90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DCF＝∠ECF，DF＝EF＝CD•sin，
∴DE＝CD•sin，
∴DE＝2CD•sin，
∵DE＝BD+BE＝AD+BD，
∴AD+BD＝2CD•sin．
综上，若∠ACB＝α，AD、BD、CD满足的数量关系为：当点C、D在AB同侧时AD﹣BD＝2CD•sin；当点C、D在AB两侧时，AD+BD＝2CD•sin．
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人数
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累计抛掷次数
50
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盖面朝上频率
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组别
成绩x（分）
百分比
A组
x＜60
5%
B组
60≤x＜70
15%
C组
70≤x＜80
a
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80≤x＜90
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80≤x＜90
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C
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C
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D
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（D，D）
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E
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（E，D）
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