2024年江苏省苏州市中考数学试卷

这是一份2024年江苏省苏州市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．﹣3B．1C．2D．3
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”．数据“2470000000000”用科学记数法可表示为（ ）
A．2.47×1010B．247×1010C．2.47×1012D．247×1012
4．（3分）若a＞b﹣1，则下列结论一定正确的是（ ）
A．a+1＜bB．a﹣1＜bC．a＞bD．a+1＞b
5．（3分）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．45B．55°C．60°D．65°
6．（3分）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）
A．甲、丁B．乙、戊C．丙、丁D．丙、戊
7．（3分）如图，点A为反比例函数y（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y（x＞0）的图象交于点B，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（ ）
A．B．C．2D．1
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9．（3分）计算：x3•x2＝ ．
10．（3分）若a＝b+2，则（b﹣a）2＝ ．
11．（3分）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
12．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝ °．
13．（3分）直线l1：y＝x﹣1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是 ．
14．（3分）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝ ．（结果保留π）
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m，n为常数，则的值为 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AEAD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ ．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（5分）计算：|﹣4|+（﹣2）0．
18．（5分）解方程组：．
19．（6分）先化简，再求值：（1），其中x＝﹣3．
20．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，分别以B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）若BD＝2，∠BDC＝120°，求BC的长．
21．（6分）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ；
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
22．（8分）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年身全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据上信息，解决下列问题：
（1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为 °；
（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数．
23．（8分）图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm．
（1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）．
24．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（﹣2，0），C（6，0），反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与AB交于点D（m，4），与BC交于点E．
（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数y（k≠0，x＞0）图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
25．（10分）如图，△ABC中，AB＝4，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cs∠ADC，⊙O是△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
26．（10分）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了 分钟，从B站到C站行驶了 分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2．
① ．
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t＝75），已知v1＝240千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中（25≤t≤150），若|d1﹣d2|＝60，求t的值．
27．（10分）如图①，二次函数y＝x2+bx+c的图象C1与开口向下的二次函数图象C2均过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求图象C1对应的函数表达式；
（2）若图象C2过点C（0，6），点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象C1的交点为M，N（N在M左侧）．当PQ＝MP+QN时，求点P的坐标；
（3）如图②，D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，连接AD，过点A作AF⊥AD，交图象C2于点F，连接EF，当EF∥AD时，求图象C2对应的函数表达式．
2024年江苏省苏州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上．
1．（3分）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．﹣3B．1C．2D．3
【解答】解：∵|﹣3|＝3，|1|＝1，|2|＝2，|3|＝3，
而3＜2＜1，
∴1与原点距离最近，
故选：B．
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：B，C，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
3．（3分）苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”．数据“2470000000000”用科学记数法可表示为（ ）
A．2.47×1010B．247×1010C．2.47×1012D．247×1012
【解答】解：2470000000000＝2.47×1012，
故选：C．
4．（3分）若a＞b﹣1，则下列结论一定正确的是（ ）
A．a+1＜bB．a﹣1＜bC．a＞bD．a+1＞b
【解答】解：若a＞b﹣1，不等式两边加1可得a+1＞b，故A不合题意，D符合题意，
根据a＞b﹣1，得不到a﹣1＜b，a＞b，故B、C不符合题意．
故选：D．
5．（3分）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．45B．55°C．60°D．65°
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝65°，
∴∠ACD＝∠1＝65°，
∵∠2＝∠ACD+∠3，∠2＝120°，
∴∠3＝55°，
故选：B．
6．（3分）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）
A．甲、丁B．乙、戊C．丙、丁D．丙、戊
【解答】解：∵要推出由7个盲盒组成的套装产品，
∴中位数应该是质量由小到大排列的第4个盲盒，
∵序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，
∴选定的6号盲盒和7号盲盒的质量应该一个超过100，另一个低于100，
∴选定的可以是：甲，戊；或乙，丁；或丙，丁，
∵选项中只有：丙，丁，
故选：C．
7．（3分）如图，点A为反比例函数y（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y（x＞0）的图象交于点B，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H，
∵点A在函数y图象上，点B在反比例函数y图象上，
∴S△AGO，S△BOH＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB，
∴△AGO∽△OHB，
∴，
∴．
故选：A．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（ ）
A．B．C．2D．1
【解答】解：连接AC，交EF于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
∵AB，BC＝1，
∴AC2，
∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，
∴CF＝AE，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
又∵∠COF＝∠AOE，
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴AO＝CO＝1，
∵AG⊥EF，
∴点G在以AO为直径的圆上运动，
∴AG为直径时，AG有最大值为1，
故选：D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9．（3分）计算：x3•x2＝ x5 ．
【解答】解：x3•x2＝x5，
故答案为：x5．
10．（3分）若a＝b+2，则（b﹣a）2＝ 4 ．
【解答】解：∵a＝b+2，
∴b﹣a＝﹣2，
∴（b﹣a）2＝（﹣2）2＝4，
故答案为：4．
11．（3分）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
【解答】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，
其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形，
∴指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，即，
故答案为：．
12．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝ 62 °．
【解答】解：连接OC，
∵OB＝OC，∠OBC＝28°，
∴∠OCB＝∠OBC＝28°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OCB＝∠OBC＝124°，
∴，
故答案为：62．
13．（3分）直线l1：y＝x﹣1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是 y ．
【解答】解：如图所示，
将x＝0代入y＝x﹣1得，
y＝﹣1，
所以点B坐标为（0，﹣1）．
将y＝0代入y＝x﹣1得，
x＝1，
所以点A的坐标为（1，0），
所以OA＝OB＝1，
所以∠OBA＝∠OAB＝45°．
由旋转可知，
∠BAC＝15°，
∴∠OAC＝45°+15°＝60°．
在Rt△AOC中，
tan∠OAC，
所以OC，
则点C的坐标为（0，）．
令直线l2的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以直线l2的函数表达式为y．
故答案为：y．
14．（3分）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝ 8π ．（结果保留π）
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则AM＝BMAB，
∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，
∴∠AOB60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∵点O是△AOB的内心，
∴∠CAB＝∠CBA60°＝30°，∠ACB＝2∠AOB＝120°，
在Rt△ACM中，AM，∠CAM＝30°，
∴AC2，
∴的长为π，
∴花窗的周长为π×6＝8π．
故答案为：8π．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m，n为常数，则的值为 ．
【解答】解：将A（0，m），B（1，﹣m），D（3，﹣m）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），
得：，
∴
∴，
把C（2，n）代入，
得：，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AEAD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ ．
【解答】解：∵，
∴设AD＝x，，
∵△ADE沿DE翻折，得到△FDE，
∴DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE，
过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M，
则∠AHE＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AHE∽△ACB，
∴，
∵CB＝5，CA＝10，，
∴，
∴EH＝x，，则DH＝AH﹣AD＝x＝EH，
∴Rt△EHD是等腰直角三角形，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，则∠ADE＝∠EDF＝135°，
∴∠FDM＝135°﹣45°＝90°，
在△FDM和△EHM中，
，
∴△FDM≌△EHM（AAS），
∴，，
∴，
S25﹣5x，
∵△CEF的面积是△BEC的面积的2倍，
∴，
则3x2﹣40x+100＝0，
解得，x2＝10（舍去），
则，
故答案为：．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（5分）计算：|﹣4|+（﹣2）0．
【解答】解：|﹣4|+（﹣2）0
＝4+1﹣3
＝2．
18．（5分）解方程组：．
【解答】解：，
①﹣②得：4y＝4，即y＝1，
将y＝1代入①得：x＝3，
则方程组的解为．
19．（6分）先化简，再求值：（1），其中x＝﹣3．
【解答】解：（1）
•
•
，
当x＝﹣3时，原式．
20．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，分别以B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）若BD＝2，∠BDC＝120°，求BC的长．
【解答】（1）证明：由作图知：BD＝CD．
在△ABD 和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACD，∠BDC＝120°，
∴∠BDA＝∠CDA∠BDC120°＝60°，
又∵BD＝CD，
∴DA⊥BC，BE＝CE．
∵BD＝2，
∴BE＝BD•sin∠BDA＝2，
∴．
21．（6分）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ；
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【解答】解：（1）∵一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，
∴从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，
∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为．
22．（8分）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年身全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据上信息，解决下列问题：
（1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为 72 °；
（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数．
【解答】解：（1）此次调查的总人数为9÷15%＝60（人），
D项目的人数有60﹣6﹣18﹣9﹣12＝15（人），
补全条形统计图如下：
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为360°72°；
故答案为：72；
（3）800240（名），
答：估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数为240名．
23．（8分）图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm．
（1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥AD，垂足为E，
由题意得：AB＝CE＝10cm，BC＝AE＝20cm，
∵AD＝50cm，
∴ED＝AD﹣AE＝50﹣20＝30（cm），
在Rt△CED中，CD10（cm），
∴可伸缩支撑杆CD的长度为10cm；
（2）过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD′于点G，
由题意得：AB＝FG＝10cm，AG＝BF，∠AGD＝90°，
在Rt△ADG中，tanα，
∴设DG＝3x cm，则AG＝4x cm，
∴AD5x（cm），
∵AD＝50cm，
∴5x＝50，
解得：x＝10，
∴AG＝40cm，DG＝30cm，
∴DF＝DG+FG＝30+10＝40（cm），
∴BF＝AG＝40cm，
∵BC＝20cm，
∴CF＝BF﹣BC＝40﹣20＝20（cm），
在Rt△CFD中，CD20（cm），
∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20cm．
24．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（﹣2，0），C（6，0），反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与AB交于点D（m，4），与BC交于点E．
（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数y（k≠0，x＞0）图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），C（6，0），
∴AC＝8．
又∵AC＝BC，
∴BC＝8．
∠ACB＝90°，
∴点B（6，8）．
设直线AB的函数表达式为 y＝ax+b，将 A（﹣2，0），B（6，8）代入 y＝ax+b得：
，解得，
∴直线AB的函数表达式为 y＝x+2．
∴将点D（m，4）代入y＝x+2，得 m＝2．
∴D（2，4），
将D（2，4）代入反比例函数解析式y得：
4，解得k＝8．
（2）延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．
∵AC＝BC，∠BCA＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵PN∥x轴，
∴∠BLN＝∠BAC＝45°，∠NQM＝90°，
∵AB∥MP，
∴∠MPL＝∠BLP＝45°，∠QMP＝∠QPM＝45°，
∴QM＝QP，
设点P的坐标为（t，），则PQ＝t，PN＝6﹣t，MQ＝PQ＝t，
∴S△PMN，
∴当t＝3时，S△PMN 有最大值 ，此时P（3，）．
25．（10分）如图，△ABC中，AB＝4，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cs∠ADC，⊙O是△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BCD，
∴，
∵，D为AB中点，
∴，
∴BC2＝16，
∴BC＝4；
（2）过点A作AE⊥CD于点E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，
∵在Rt△AED中，，，
∴DE＝1，
∴，
∵△BAC∽△BCD，
∴，
设CD＝x，则ACx，CE＝x﹣1，
∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，
∴，即x2+2x﹣8＝0，
解得x＝2，x＝﹣4（舍去），
∴CD＝2，AC，
∵∠AFC与∠ADC都是所对的圆周角，
∴∠AFC＝∠ADC，
∵CF为⊙O的直径，
∴∠CAF＝90°，
∴，
∴，即⊙O的半径为．
26．（10分）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了 90 分钟，从B站到C站行驶了 60 分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2．
① ．
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t＝75），已知v1＝240千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中（25≤t≤150），若|d1﹣d2|＝60，求t的值．
【解答】解：（1）D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
（2）①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需90+60＝150分钟，G1002次列车从A站到C站共需35+60+30＝125分钟，
∴150v1＝125v2，
∴，
故答案为：；
②∵v1＝4（千米/分钟），，
∴v2＝4.8（千米/分钟），
∵4×90＝360（千米），
∴A与B站之间的路程为360千米，
∵360÷4.8＝75（分钟），
∴当t＝100时，G1002次列车经过B站，
由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车，
∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，
i．当25≤t＜90时，d1＞d2，
∴|d1﹣d2|＝d1﹣d2，
∴4t﹣4.8（t﹣25）＝60，
t＝75（分钟）；
ⅱ．当90≤t≤100时，d1≥d2，
∴|d1﹣d2|＝d1﹣d2，
∴360﹣4.8（t﹣25）＝60，
t＝87.5（分钟），不合题意，舍去；
ⅱi．当100＜t≤110时，d1＜d2，
∴|d1﹣d2|＝d2﹣d1，
∴4.8（t﹣25）﹣360＝60，
t＝112.5（分钟），不合题意，舍去；
iv．当110＜t≤150时，d1＜d2，
∴|d1﹣d2|＝d2﹣d1，
∴4.8（t﹣25）﹣[360+4（t﹣110）]＝60，
t＝125（分钟）；
综上所述，当t＝75或125时，|d1﹣d2|＝60．
27．（10分）如图①，二次函数y＝x2+bx+c的图象C1与开口向下的二次函数图象C2均过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求图象C1对应的函数表达式；
（2）若图象C2过点C（0，6），点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象C1的交点为M，N（N在M左侧）．当PQ＝MP+QN时，求点P的坐标；
（3）如图②，D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，连接AD，过点A作AF⊥AD，交图象C2于点F，连接EF，当EF∥AD时，求图象C2对应的函数表达式．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0代入y＝x2+bx+c得 ，
解得，
∴图象C1对应的函数表达式：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设C2对应的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），将点C（0，6）代入得，a＝﹣2．
∴C2对应的函数表达式为：y＝﹣2（x+1）（x+3），其对称轴为直线x＝1．
又∵图象C1的对称轴也为直线x＝1．
作直线x＝1，交直线l于点H（如答图①）
由二次函数的对称性得，QH＝PH，PM＝NQ，
又∵PQ＝MP+QM，
∴PH＝PM．
设PH＝t（0＜l＜2），则点P的横坐标为t+1，点M的横坐标为2t+1，
将x＝t+1代入y＝﹣2（x+1）（x﹣3），得yP＝﹣2（t+2）（t﹣2），
将x＝2t+1代入y＝（x+1）（x﹣3），得 yM＝（2t+2）（2t﹣2），
∵yP＝yM，
∴﹣2（t+2）（t﹣2）＝（2t+2）（2t﹣2），
即6t2＝12，解得 ， （舍去）．
∴点P的坐标为（1，4）；
（3）连接DE，交x轴于点G，过点F作FI⊥ED于点I，过点F作FJ⊥x轴于点J，（如答图②），
∵FI⊥ED，FJ⊥x轴，
∴四边形IGJF为矩形，
∴IF＝GJ，IG＝FJ，
设C2对应的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），
∵点D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，
∴D（1，﹣4），E（1，﹣4a）．
∴DG＝4，AG＝2，EG＝﹣4a，
在Rt△AGD中，，
∵AF⊥AD，
∴∠FAB+∠DAB＝90°，
又∵∠DAG+∠ADG＝90°，
∴∠ADG＝∠FAB，
∴tmn∠FAB＝tm∠ADG，
设GJ＝m（0＜m＜2），则AJ＝2+m，
∴FJ，F（m+1，），
∵EF∥AD，
∴∠FEl＝∠ADG，
∴tan∠FEl＝tan∠ADG，
∴EI＝2m，
∵EG＝EI+IG，
∴，
∴①，
∵点F在C2上，a（m+1+1）（m+1﹣3），
即a（m+2）（m﹣2），
∵m+2≠0，
∴a（m﹣2）②，
由①，②可得，
解得m1＝0（舍去），m2，
∴a，
∴图象C2对应的函数表达式为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/26 20:48:12；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691车次
A站
B站
C站
发车时刻
到站时刻
发车时刻
到站时刻
D1001
8：00
9：30
9：50
10：50
G1002
8：25
途经B站，不停车
10：30
车次
A站
B站
C站
发车时刻
到站时刻
发车时刻
到站时刻
D1001
8：00
9：30
9：50
10：50
G1002
8：25
途经B站，不停车
10：30