2024年湖北省武汉市中考数学试卷

这是一份2024年湖北省武汉市中考数学试卷，共28页。

A．B．C．D．
2．（3分）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A．随机事件B．不可能事件
C．必然事件D．确定性事件
3．（3分）如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3%，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（ ）
A．0.3×105B．0.3×106C．3×105D．3×106
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）4＝a12
C．（3a）2＝6a2D．（a+1）2＝a2+1
6．（3分）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（ ）
A．64°B．66°C．68°D．70°
8．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（ ）
A．﹣1B．﹣0.729C．0D．1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。
11．（3分）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作 ℃．
12．（3分）某反比例函数y具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．写出一个满足条件的k的值是 ．
13．（3分）分式方程的解是 ．
14．（3分）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：tan63°≈2）
15．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是 ．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：
①b＞0；
②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；
③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（8分）求不等式组的整数解．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
19．（8分）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．
测试成绩频数分布表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出m，n的值和样本的众数；
（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．
20．（8分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．（1）求证：AB与半圆O相切；
（2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．
21．（8分）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB；
（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；
（4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．
22．（10分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
23．（10分）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．
问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值．
24．（12分）抛物线yx2+2x交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标；
（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式．
2024年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。
1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：A、B、D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．（3分）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A．随机事件B．不可能事件
C．必然事件D．确定性事件
【答案】A
【解答】解：小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件．
故选：A．
3．（3分）如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：该几何体的主视图为：．
故选：B．
4．（3分）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3%，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（ ）
A．0.3×105B．0.3×106C．3×105D．3×106
【答案】C
【解答】解：300000＝3×105，
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）4＝a12
C．（3a）2＝6a2D．（a+1）2＝a2+1
【答案】B
【解答】解：a2•a3＝a5，则A不符合题意；
（a3）4＝a12，则B符合题意；
（3a）2＝9a2，则C不符合题意；
（a+1）2＝a2+2a+1，则D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，
所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．
故选：D．
7．（3分）小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（ ）
A．64°B．66°C．68°D．70°
【答案】C
【解答】解：由（1）（2）（3）可知四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，BC∥AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，
∵∠A＝44°，
∴∠ABD+∠ADB＝180°﹣∠A＝180°﹣44°＝136°，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝68°，
故选：C．
8．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：列表如下：
由表格可知，共有9种等可能的结果，由表格可知，至少有一辆车向右转的结果有共5种，
∴至少有一辆车向右转的概率为．
故选：D．
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：过C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延长线于N，过O作OH⊥AC于H，连接OA，OC，
∵∠BAC＝∠CAD＝45°，
∴AC平分∠BAN，
∴MC＝CN，
∵∠MAN＝∠BAC+∠CAD＝90°，∠AMC＝∠ANC＝90°，
∴四边形AMCN是正方形，
∴AM＝AN，
∵∠BAC＝∠CAD，
∴，
∴CD＝BC，
∵CN＝CM，
∴Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），
∴ND＝MB，
∵AB+AD＝AM+MB+AD＝AM+DN+AD＝AM+AN＝2AM＝2，
∴AM＝1，
∵∠BAC＝45°，∠AMC＝90°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴ACAM，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴AHAC，∠AOH∠AOC＝60°，
∵sin∠AOH＝sin60°，
∴OA，
∴⊙O的半径是．
故选：A．
10．（3分）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（ ）
A．﹣1B．﹣0.729C．0D．1
【答案】D
【解答】解：由题知，
点A10的坐标为（1，0），
则y10＝0．
因为函数图象关于点（1，0）中心对称，
所以y9+y11＝y8+y12＝…＝y1+y19＝0，
将x＝2代入函数解析式得，
y＝23﹣3×22+3×2﹣1＝1，
即y20＝1，
所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值为1．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。
11．（3分）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作 ﹣2 ℃．
【答案】﹣2
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作﹣2℃．
故答案为：﹣2
12．（3分）某反比例函数y具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．写出一个满足条件的k的值是 1（答案不唯一） ．
【答案】1（答案不唯一）．
【解答】解：由题可知，
当反比例函数y具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小，
即k＞0时满足条件，
则k的值取1．
故答案为：1（答案不唯一）．
13．（3分）分式方程的解是 x＝﹣3 ．
【答案】x＝﹣3．
【解答】解：原方程去分母得：x2﹣x＝x2﹣2x﹣3，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x﹣1）（x﹣3）≠0，
故原方程的解为x＝﹣3，
故答案为：x＝﹣3．
14．（3分）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 51 m．（参考数据：tan63°≈2）
【答案】51．
【解答】解：过点C作CH∥BD，延长BA交CH于H，
由题意得∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形BDCH是矩形，
∴BH＝CD＝102m，
在Rt△BCH中，∠BCH＝63°，tan∠BCH，
∴CH51（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴∠CAH＝45°＝∠ACH，∴AH＝CH＝51m，
∴AB＝BH﹣AH＝51m．
答：黄鹤楼的高度约为51m．
故答案为：51．
15．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是 ．
【答案】．
【解答】解：方法一：如图，过A作AG∥BP交FE延长线于点G，
∵AG∥BP，
∴∠GAE＝∠PBE，∠AGE＝∠BPE，
∴△AGE∽△PBE，
∴，
设AG＝1，则BP＝k，
∵∠NMP＝45°，
∴∠AMG＝45°，AM＝AG＝1，
∵AN＝BP＝k，
∴MN＝k﹣1，
∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2，
∴；
方法二：如图，过B作BG⊥BP交FE延长线于点G，则△GBP是等腰直角三角形，
易证△GBA≌△PBC，
∴∠BGP＝∠AGP＝45°，
根据角平分线比例定理得：，
设AG＝1，则BG＝k，
∴AM＝1，MD＝k＝AN，
∴MN＝k﹣1，
∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2，
∴；
故答案为：．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：
①b＞0；
②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；
③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m．
其中正确的是 ②③④ （填写序号）．
【答案】②③④．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∵a＜0，
∴b＜0，故①错误；
∵0＜m＜1，
∴m﹣（﹣1）＞1，即（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1，
又∵a＜0，
∴x＝m﹣1时，y＞1，
∴若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，故②正确；
由①可得，
∴，即﹣1＜b＜0，
当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c，
设顶点线坐标为，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），
∴﹣1﹣b+c＝1，
∴c＝b+2，
∴，
∵﹣1＜b＜0，，对称轴为直线b＝﹣2，
∴当b＝0时，t取得最大值为2，而b＜0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无解，故③正确；
∵a＜0，抛物线开口向下，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，，x1＞x2，总有y1＜y2，
又，
∴点A（x1，y1）离较远，
∴对称轴，
解得：，故④正确；
故答案为：②③④．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（8分）求不等式组的整数解．
【答案】﹣1、0、1．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣2；
由②得，x≤1，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
故不等式组的整数解为﹣1、0、1．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
【答案】（1）证明见解析；
（2）添加BE＝CE（答案不唯一）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．
∵AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣CE，
∴DF＝BE，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：如图，添加BE＝CE，理由如下：
∵AF＝CE，BE＝CE，
∴AF＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
19．（8分）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．
测试成绩频数分布表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出m，n的值和样本的众数；
（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．
【答案】（1）m＝60，n＝15，众数为3；
（2）675名．
【解答】解：（1）由题意得，m＝15÷25%＝60，
∴a＝60×30%＝18，
∴b＝60﹣12﹣18﹣15﹣6＝9，
∴n%100%＝15%，
∴n＝15，
样本的众数为3；
（2）900675（名），
答：估计得分超过2分的学生人数有675名．
20．（8分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．（1）求证：AB与半圆O相切；
（2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AC，
而OH⊥AB，
∴OH＝OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）由（1）知OD⊥AC，
在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF+CF＝OD+2，OD2+CD2＝OC2，
∴OD2+42＝（OD+2）2，
∴OD＝3，
∴OC＝5，
∴csC，
在Rt△OCA中，csC，
∴sin∠OAC．
21．（8分）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB；
（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；
（4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．
【答案】见解析．
【解答】解：（1）如图1中，线段AD即为所求；
（2）如图1中，点E即为所求；
（2）如图2中，点C，射线AF，点G即为所求；
（3）如图2中，线段MN即为所求．
22．（10分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
【答案】（1）①a，b＝8.1；
②这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），
∴81a+9＝3.6．
解得：a．
∵yx+b经过点（9，3.6），
∴3.69+b．
解得：b＝8.1；
②由①得：yx2+x
（x2﹣15x）
（x）2（0≤x≤9）．
∴火箭运行的最高点是km．
∴1.35＝2.4（km）．
∴2.4x2+x．
整理得：x2﹣15x+36＝0．
解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3．
由①得：yx+8.1．
∴2.4x+8.1．
解得：x＝11.4．
∴11.4﹣3＝8.4（km）．
答：这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）当x＝9时，y＝81a+9．
∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．
∴yx+b经过点（9，81a+9），（15，0）
∴．
解得：．
∴a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
23．（10分）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．
问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）．
【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB和BC中点，
∴，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴，
∵∠EBF＝∠C＝90°，
∴△BCD∽△FBE；
（2）方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形．
∵E是AB中点，
∴AE＝BE，
∵AM∥BC，
∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE，
∴△AME≌△BFE（AAS），
∴AM＝BF，
∵AD＝2CF，CF＝DH，
∴AH＝DH＝CF，
∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC，
∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°，
∴△MFH≌△BDC（SAS），
∴∠AMF＝∠CBD，
又∵∠AMF＝∠BFG，
∴∠CBD＝∠BFG，
∴BG＝FG；
方法二：如图，取BD中点H，连接EH、CH，
∵E是AB中点，H是BD中点，
∴EHAD，EH∥AD，
∵AD＝2CF，
∴EH＝CF，
∵AD∥BC，
∴EH∥CF，
∴四边形EHCF是平行四边形，
∴EF∥CH，
∴∠HCB＝∠GFB，
∵∠BCD＝90°，H是BD中点，
∴CHBD＝BH，
∴∠HCB＝∠HBC，
∴∠GFB＝∠HBC，
∴BG＝FG；
（3）如图，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，则四边形CDMF是矩形，
∴CF＝DM，
∵AD＝2CF，
∴AM＝DM＝CF，
设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF，
∴AFa，
∵E是AB中点，且AG＝FG，
∴FE垂直平分AB，
∴BF＝AFa，
∵H是BD中点，
∴EH是△ABD中位线，
∴EHAD＝a，EH∥AD∥BC，
∴△EGH∽△FGB，
∴．
24．（12分）抛物线yx2+2x交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标；
（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式．
【答案】（1）A（1，0），B（﹣5，0），C（0，）；
（2）P（﹣2，）；
（3）直线DE解析式为yx﹣5．
【解答】解：（1）在yx2+2x中，令x＝0得y，
∴C（0，），
令y＝0得0x2+2x，
解得x＝﹣5或x＝1，
∴A（1，0），B（﹣5，0）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（，0），C（0，）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为yx，
由PQ∥AC，设直线PQ的解析式为yx+b'，
设P（t，t2+2t），
∴t2+2tt+b'，
∴b't2t，
∴直线PQ的解析式为yxt2t，
令x＝0得yt2t，
∴Q（0，t2t）；
∵BC平分线段PQ，
∴PQ的中点（，t2t）在直线BC上，
由B（﹣5，0），C（0，）得直线BC解析式为yx，
∴t2t，
解得t＝﹣2或t＝0（舍去），
∴P（﹣2，）；
（3）过点G作TS∥x轴，过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S，如图：

∴∠T＝∠S＝∠EGF＝90°，
∴∠EGT＝90°﹣∠FGS＝∠GFS，
∴△ETG∽△GSF，
∴，
∴ET•FS＝GS•TG，
∵点D与原点O关于 对称，
∴D（0．﹣5），
设直线EF的解析式为y1＝k1x，直线ED的解析式为y2＝k2x﹣5，
联立得：k1xx2+2x，
∴x2+（2﹣k1）x0，
联立 得：k2x﹣5x2+2x，
∴x2+（2﹣k2）x0，
设xE＝e，xF＝f，xG＝g，
∴ef＝﹣5，eg＝5，e+g＝2k2﹣4，
∴f＝﹣g，ETe2+2e（g2+2g）（e+g+4）（e﹣g），FSf2+2f（g2+2g）（f+g+4）（f﹣g），
∵ET•FS＝GS•TG，
∴（e+g+4）（e﹣g）•（f+g+4）（f﹣g）＝（g﹣e）（f﹣g），
∴（e+g+4）（e﹣g）•（﹣g+g+4）（﹣g﹣g）＝（g﹣e）（﹣g﹣g），
∴e+g＝﹣5，
∴2k2﹣4＝﹣5，
解得k2，
∴直线DE解析式为yx﹣5．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/1 18:25:41；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691成绩/分
频数
4
12
3
a
2
15
1
b
0
6
直行
左转
右转
直行
（直行，直行）
（直行，左转）
（直行，右转）
左转
（左转，直行）
（左转，左转）
（左转，右转）
右转
（右转，直行）
（右转，左转）
（右转，右转）
成绩/分
频数
4
12
3
a
2
15
1
b
0
6