2024年甘肃省中考数学试卷

这是一份2024年甘肃省中考数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣1B．﹣4C．4D．1
2．（3分）如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）若∠A＝55°，则∠A的补角为（ ）
A．35°B．45°C．115°D．125°
4．（3分）计算：（ ）
A．2B．2a﹣bC．D．
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A＝35°，则∠C的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
7．（3分）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A．y＝3xB．y＝4xC．y＝3x+1D．y＝4x+1
8．（3分）近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016﹣2023年中国农村网络零售额情况，根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．2023年中国农村网络零售额最高
B．2016年中国农村网络零售额最低
C．2016﹣2023年，中国农村网络零售额持续增加
D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
9．（3分）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为（15，16），那么有序数对记为（12，17）对应的田地面积为（ ）
A．一亩八十步B．一亩二十步
C．半亩七十八步D．半亩八十四步
10．（3分）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（ ）
A．2B．3C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）因式分解：2x2﹣8＝ ．
12．（4分）已知一次函数y＝﹣2x+4，当自变量x＞2时，函数y的值可以是 （写出一个合理的值即可）．
13．（4分）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ ．
14．（4分）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
15．（4分）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
16．（4分）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，则阴影部分的面积是 cm2.（结果用π表示）
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
20．（8分）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知⊙O和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C；
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2cm，则△ABC的周长为 cm．
21．（10分）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
22．（10分）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求风电塔简AH的高度．（参考数据：sin53°，cs53°，tan53°．）
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（8分）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图；
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：m＝ ，n＝ ；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手 发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax+b的图象，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（2，4）．过点B（0，2）作x轴的平行线分别交y＝ax+b与y（x＞0）的图象于C，D两点．
（1）求一次函数y＝ax+b和反比例函数y的表达式；
（2）连接AD，求△ACD的面积．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值．
26．（10分）【模型建立】
（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
27．（12分）如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
2024年甘肃省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣1B．﹣4C．4D．1
【答案】B
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣4，
故选：B．
2．（3分）如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：该几何体的主视图是．
故选：C．
3．（3分）若∠A＝55°，则∠A的补角为（ ）
A．35°B．45°C．115°D．125°
【答案】D
【解答】解：若∠A＝55°，则∠A的补角为180°﹣55°＝125°，
故选：D．
4．（3分）计算：（ ）
A．2B．2a﹣bC．D．
【答案】A
【解答】解：原式

＝2．
故选：A．
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠ABD＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴OC＝OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝4，
故选：C．
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A＝35°，则∠C的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝35°，
∴∠O＝2∠A＝70°，
∵AC⊥OB，
∴∠CDO＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠O＝90°﹣70°＝20°．
故选：A．
7．（3分）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A．y＝3xB．y＝4xC．y＝3x+1D．y＝4x+1
【答案】B
【解答】解：由图可知，“回文”的桌面的总面积为4x（x+y），其中每张长桌的桌面面积为xy，每张中桌的桌面面积为3x2，每张小桌的桌面面积为2x2．
根据题意，得2xy+2×3x2+3×2x2＝4x（x+y），
解得y＝4x．
故选：B．
8．（3分）近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016﹣2023年中国农村网络零售额情况，根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．2023年中国农村网络零售额最高
B．2016年中国农村网络零售额最低
C．2016﹣2023年，中国农村网络零售额持续增加
D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
【答案】D
【解答】解：A、由统计图可知，2023年中国农村网络零售额为24900亿元，是2016﹣2023年中总额最高的；
B、由统计图可知，2016年中国农村网络零售额为8945亿元，是2016﹣2023年中总额最低的；
C、由统计图可知，2016﹣2023年中，中国农村网络零售额是持续增加的；
D、由统计图可知，中国农村网络零售额从2021年开始突破了20000亿元，而非2020年；
故选：D．
9．（3分）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为（15，16），那么有序数对记为（12，17）对应的田地面积为（ ）
A．一亩八十步B．一亩二十步
C．半亩七十八步D．半亩八十四步
【答案】D
【解答】解：根据（15，16）可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，
∴（12，17）对应的是半亩八十四步，
故选：D．
10．（3分）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【解答】解：结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，
∴当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴，
当点P运动到BC中点时，PO的长为，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）因式分解：2x2﹣8＝ 2（x+2）（x﹣2） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．
12．（4分）已知一次函数y＝﹣2x+4，当自变量x＞2时，函数y的值可以是 ﹣2（答案不唯一） （写出一个合理的值即可）．
【答案】﹣2（答案不唯一）．
【解答】解：当x＝3时，y＝﹣2×3+4＝﹣2；
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
13．（4分）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ 8 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵m*n＝mn﹣mn，
∴（﹣2）*2
＝（﹣2）2﹣（﹣2）×2
＝4+4
＝8，
故答案为：8．
14．（4分）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 A（答案不唯一） 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【答案】A（答案不唯一）．
【解答】解：白方如果落子于点A（答案不唯一）的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．
故答案为：A（答案不唯一）．
15．（4分）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 能 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能．
【解答】解：∵CD＝4m，B（6，2.68），
∴6﹣4＝2，
在y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6中，
当x＝2时，y＝﹣0.02×22+0.3×2+1.6＝2.12，
∵2.12＞1.8，
∴货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
16．（4分）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，则阴影部分的面积是 3000π cm2.（结果用π表示）
【答案】3000π．
【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC


＝3000π（cm2），
故答案为：3000π．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝33
＝0．
18．（6分）解不等式组：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由2（x﹣2）＜x+3，得：x＜7，
由2x，得：x，
所以不等式组解集为x＜7．
19．（6分）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
【答案】2a+b，3．
【解答】解：原式＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷2b
＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b
＝（4ab+2b2）÷2b
＝2a+b，
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×2﹣1＝3．
20．（8分）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知⊙O和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C；
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2cm，则△ABC的周长为 6 cm．
【答案】（1）作图见解析；
（2）6．
【解答】解：（1）如图，点A，B，C即为所求．
（2）设CM交AB于点E．
∵，
∴AB＝CB＝AC，∠AOB＝120°，
∵，
∴∠AOM＝∠BOM＝60°，
∵OA＝OB，
∴OE⊥AB，AE＝EB＝AO•sin60°＝2（cm），
∴AB＝2（cm），
∴△ABC的周长为6cm．
故答案为：6．
21．（10分）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）游戏不公平．
【解答】解：（1）画树状图得：
共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，
∴甲获胜的概率为；
（2）不公平．
由树状图可知，乙获胜的结果有4种，
∴乙获胜的概率为，
∵，
∴游戏不公平．
22．（10分）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求风电塔简AH的高度．（参考数据：sin53°，cs53°，tan53°．）
【答案】风电塔简AH的高度约为105.6m．
【解答】解：连接DF交AH于点G，
由题意得：CD＝EF＝GH＝1.6m，DF＝CE＝182m，DF⊥AH，
设DG＝x m，
∴FG＝DF﹣DG＝（182﹣x）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，
∴AG＝DG•tan45°＝x（m），
在Rt△AFG中，∠AFG＝53°，
∴AG＝FG•tan53°（182﹣x）m，
∴x（182﹣x），
解得：x＝104，
∴AG＝104m，
∴AH＝AG+GH＝104+1.6＝105.6（m），
∴风电塔简AH的高度约为105.6m．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（8分）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图；
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：m＝ 8.98 ，n＝ 9.2 ；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手 丙 发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．
【答案】（1）9.1，9.1；
（2）甲；
（3）甲，理由见解答．
【解答】解：（1）甲的平均数是：m（9.2+8.8+9.3+8.4+9.5）＝9.1，
把这些数从小到大排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4，
中位数n＝9.1；
故答案为：9.1，9.1；
（2）由题意可知，甲五轮比赛成绩的波动较小，丙的波动较大，所以选手甲发挥的稳定性更好．
故答案为：甲；
（3）应该推荐甲，理由如下：
甲的中位数和平均数都比乙的大，且甲的成绩稳定性比乙好，所以应该推荐甲选手．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax+b的图象，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（2，4）．过点B（0，2）作x轴的平行线分别交y＝ax+b与y（x＞0）的图象于C，D两点．
（1）求一次函数y＝ax+b和反比例函数y的表达式；
（2）连接AD，求△ACD的面积．
【答案】（1）一次函数解析式为y，反比例函数解析式为y；
（2）6．
【解答】解：（1）因为函数y＝ax+b的图象由函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度得到，
所以b＝3．
将点A坐标代入一次函数解析式得，
2a+3＝4，
解得a，
所以一次函数解析式为y．
将点A坐标代入反比例函数解析式得，
k＝2×4＝8，
所以反比例函数解析式为y．
（2）将y＝2代入y得，
，
解得x＝﹣2，
所以点B的坐标为（﹣2，2）．
将y＝2代入y得，
x＝4，
所以点D的坐标为（4，2），
所以CD＝4﹣（﹣2）＝6，
所以．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：连接BD，OC，OD，
∵，
∴BC＝BD，
∵OC＝OD，
∴点O、B在CD的垂直平分线上，
∴OB垂直平分CD，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADC＝∠AEB，
∴CD∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴AB＝2×2＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝3，
∴，
∴，
∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵∠AEB＝∠ADC，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴．
26．（10分）【模型建立】
（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）DE+CD＝AE，理由见解析；
（2），理由见解析；
（3），理由见解析．
【解答】解：（1）DE+CD＝AE，理由如下：
∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠D＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠CBD＝∠C+∠CBD＝90°，
∴∠ABE＝∠C，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCD（AAS），
∴BE＝CD，AE＝BD，
∴DE＝BD﹣BE＝AE﹣CD，
∴DE+CD＝AE；
（2），理由如下：
过E点作EM⊥AD于点M，过E点作EN⊥CD于点N，如图，
∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，BD平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴，
∴，
∵EN⊥CD，EM⊥AD，
∴EM＝EN，
∵AE＝EF，
∴Rt△AEM≌Rt△FEN（HL），
∴AM＝NF，
∵EM＝EN，EN⊥CD，EM⊥AD，∠ADC＝90°，
∴四边形EMDN是正方形，
∴ED是正方形EMDN对角线，MD＝ND，
∴，NF＝ND﹣DF＝MD﹣DF，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3），理由如下：
过A点作AH⊥BD于点H，过F点作FG⊥BD，交BD的延长线于点G，如图，
∵AH⊥BD，FG⊥BD，AE⊥EF，
∴∠AHE＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠AEH+∠HAE＝∠AEH+∠FEG＝90°，
∴∠HAE＝∠FEG，
∵AE＝AF，
∴△HAE≌△GEF（AAS），
∴HE＝FG，
∵在正方形ABCD中，∠BDC＝45°，
∴∠FDG＝∠BDC＝45°，
∴∠DFG＝45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵∠ADB＝45°，AH⊥HD，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
27．（12分）如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
【答案】（1）yx2+2x；
（2）；
（3）①点F（2，）；②2．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣2）2+2，
将点A的坐标代入上式得：0＝a×（4﹣2）2+2，
解得：a，
抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式为yx2+2x；
（2）由（1）知，y（x﹣2）2+2，
由中点坐标公式得点C（1，），
当x＝1时，y（x﹣2）2+2，
则CE；
（3）①由（2）知，C（1，），
当y时，y（x﹣2）2+2，
则x＝2（不合题意的值已舍去），
即点F（2，）；
②设点D（m，0），则点F（m+1，），
过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′，
则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小，
由定点F′、D的坐标得，直线DF′的表达式为：y＝3（x﹣m），
将点B的坐标代入上式得：23（2﹣m），
解得：m，
则点F′（，3），点D（，0），
则BD+BF最小值为：DF′2．
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