福建省福州市第十八中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷+

这是一份福建省福州市第十八中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷+，共27页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）若一组数据6，x，2，4的平均数是3，则x的值是（ ）
A．0B．3C．4D．2
2．（4分）关于正比例函数y＝﹣3x，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过原点
B．y随x的增大而增大
C．图象经过第二、四象限
D．当x＝时，y＝1
3．（4分）抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，2）D．（﹣4，2）
4．（4分）下列命题，其中是真命题的为（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
5．（4分）某种防疫物资原价为50元/件，经过连续两次降价后售价为28元/件，每次降价的百分率均为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．50（1﹣x）2＝50﹣28B．50（1﹣x）2＝28
C．50（1﹣2x）＝28D．50（1﹣x2）＝28
6．（4分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售如表所示：
若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
7．（4分）一次函数的图象经过点A（﹣2，﹣1），且与直线y＝2x﹣3平行，则此函数的解析式为（ ）
A．y＝x+1B．y＝2x+3C．y＝2x﹣1D．y＝﹣2x﹣5
8．（4分）如图，矩形ABCD中，点O、E分别是AC、AD的中点，若OE＝3，BC＝8，则OB的长为（ ）
A．4B．5C．D．
9．（4分）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（ ）
A．2024B．2022C．2020D．2018
10．（4分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或﹣3B．或﹣3C．或﹣3D．或﹣3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是170cm，方差分别为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，则这两个合唱队的队员身高较整齐的是 大队．（填“甲”、“乙”中的一个）
12．（4分）已知A（4，y1）、B（﹣4，y2）是抛物线y＝（x+3）2﹣a上的两点，则y1 y2．
13．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，点A为（﹣3，0），点B为（0，4），则点C的坐标为 ．
14．（4分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为 ．
15．（4分）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（8分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣16＝0；
（2）x2+4x﹣5＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2满足，求k的值．
19．（8分）已知：如图，A、C是▱DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．（8分）为了巩固我县创建“省级卫生城市”成果，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，对应的分数依次为100分、90分、80分、70分．学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制如图的统计图：
（1）把这一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）根据下表填空：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与直线l2：y2＝2x相交于B（m，4）．
（1）求直线l1的函数解析式；
（2）设直线l1与y轴交于点M，求△BOM的面积；
（3）利用函数图象直接写出当y1≤y2时，x的取值范围为 ．
22．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横纵坐标x，y的对应值如表：
（1）这个二次函数的表达式为 ，对称轴是 ；
（2）表中的m＝ ，n＝ ；
（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是这个函数图象上的两点，且x1＜x2＜﹣1，则y1 y2（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（4）写出这个函数的一条性质 ．
23．（10分）某超市以每件10元的价格购进一种文具．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）求y与x之间的函数关系式及x的取值范围；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
24．（13分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（13分）如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：AG＝FG．
（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长．
（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）若一组数据6，x，2，4的平均数是3，则x的值是（ ）
A．0B．3C．4D．2
【分析】根据平均数的定义可进行求解．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【解答】解：∵一组数据6，x，2，4的平均数是3，
∴6+x+2+4＝3×4，
解得x＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查平均数，熟练掌握平均数是解题的关键．
2．（4分）关于正比例函数y＝﹣3x，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过原点
B．y随x的增大而增大
C．图象经过第二、四象限
D．当x＝时，y＝1
【分析】根据正比例函数的性质直接解答即可．
【解答】解：A．图象经过原点，错误；
B．y随x的增大而减小，错误；
C、图象经过第二、四象限，正确；
D．当x＝时，y＝﹣1，错误；
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系，难度不大．
3．（4分）抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，2）D．（﹣4，2）
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝3（x+4）2+2是抛物线解析式的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣4，2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h得出是解题关键．
4．（4分）下列命题，其中是真命题的为（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；
B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；
C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．
5．（4分）某种防疫物资原价为50元/件，经过连续两次降价后售价为28元/件，每次降价的百分率均为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．50（1﹣x）2＝50﹣28B．50（1﹣x）2＝28
C．50（1﹣2x）＝28D．50（1﹣x2）＝28
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝28，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为50（1﹣x）元，
两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为50（1﹣x）×（1﹣x）元，
则列出的方程是50（1﹣x）2＝28，
故选：B．
【点评】此题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
6．（4分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售如表所示：
若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
【分析】根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
【解答】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，
又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，
所以该店主最应关注的销售数据是众数．
故选：C．
【点评】本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
7．（4分）一次函数的图象经过点A（﹣2，﹣1），且与直线y＝2x﹣3平行，则此函数的解析式为（ ）
A．y＝x+1B．y＝2x+3C．y＝2x﹣1D．y＝﹣2x﹣5
【分析】设所求的一次函数解析式为y＝kx+b，根据两直线平行的问题得到k＝2，然后把A点坐标代入y＝2x+b求出b的值即可．
【解答】解：设所求的一次函数解析式为y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b与直线y＝2x﹣3平行，
∴k＝2，
把A（﹣2，﹣1）代入y＝2x+b得﹣4+b＝﹣1，解得b＝3，
∴所求的一次函数解析式为y＝2x+3．
故选：B．
【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
8．（4分）如图，矩形ABCD中，点O、E分别是AC、AD的中点，若OE＝3，BC＝8，则OB的长为（ ）
A．4B．5C．D．
【分析】由平行线分线段成比例可得CD＝6，由勾股定理可得AC＝10，由直角三角形的性质可得OB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD，AD＝BC＝8，
∵OE∥AB
∴OE∥CD
∴，且AO＝AC，OE＝3
∴CD＝6，
在Rt△ADC中，AC＝＝10
∵点O是斜边AC上的中点，
∴BO＝AC＝5
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD的长度是本题的关键．
9．（4分）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（ ）
A．2024B．2022C．2020D．2018
【分析】根据题意可得m2+2m﹣2022＝0，m+n＝﹣2，变形后代入代数式即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣2022＝0，m+n＝﹣2，
∴m2＝2022﹣2m，
∴m2+4m+2n＝2022﹣2m+4m+2n
＝2022+2m+2n
＝2022+2（m+n）
＝2022﹣4
＝2018，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
10．（4分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或﹣3B．或﹣3C．或﹣3D．或﹣3
【分析】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，
所以b的值为﹣3或﹣，
故选：A．
【点评】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是170cm，方差分别为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，则这两个合唱队的队员身高较整齐的是 乙 大队．（填“甲”、“乙”中的一个）
【分析】根据方差小的身高稳定判断即可．
【解答】解：现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高均为170cm，方差分别为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，且S甲2＞S乙2，
则两个队的队员的身高较整齐的是乙，
故答案为：乙．
【点评】此题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
12．（4分）已知A（4，y1）、B（﹣4，y2）是抛物线y＝（x+3）2﹣a上的两点，则y1 ＞ y2．
【分析】先求得函数y＝（x+3）2﹣a的对称轴为直线x＝﹣3，再判断A（4，y1）、B（﹣4，y2）离对称轴的远近，从而判断出y1与y2的大小关系．
【解答】解：由y＝（x+3）2﹣a可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∵抛物线开口向上，而点A（4，y1）到对称轴的距离比B（﹣4，y2）远，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．
13．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，点A为（﹣3，0），点B为（0，4），则点C的坐标为 （5，4） ．
【分析】由勾股定理求出AB＝5，由菱形的性质得出BC＝5，即可得出点C的坐标．
【解答】解：∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝AB＝5，BC∥AD，
∴点C的坐标为（5，4）；
故答案为：（5，4）．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
14．（4分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为 x＜﹣1 ．
【分析】由图象可以知道，当x＝﹣1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x＞k1x+b解集．
【解答】解：两个条直线的交点坐标为（﹣1，3），且当x＞﹣1时，直线l1在直线l2的上方，故不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．
故本题答案为：x＜﹣1．
【点评】本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
15．（4分）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
Δ＝1﹣4×2m＝0，
整理得：1﹣8m＝0，
解得：m＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为 ．
【分析】延长BC到点H，使CH＝CD，连接EH，AH，结合平行四边形的性质利用SAS证明△CDF≌△HCE，根据全等三角形的性质得出CF＝HE，进而求出AE+CF的最小值为AH，过点A作AG⊥BC于点G，解直角三角形求解即可．
【解答】解：如图，延长BC到点H，使CH＝CD，连接EH，AH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECH，
在△CDF和△HCE中，
，
∴△CDF≌△HCE（SAS），
∴CF＝HE，
∴AE+CF＝AE+HE，
当A、E、H不共线时，AE+HE＞AH，
当A、E、H共线时，AE+HE＝AH，
∴AE+HE的最小值为AH，
即AE+CF的最小值为AH，
过点A作AG⊥BC于点G，
∴∠AGB＝∠AGH＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAG＝30°，
∴BG＝AB＝2，
∴AG＝＝＝2，
∵CD＝CH＝4，
∴BH＝BC+CH＝9，
∴BH＝BC﹣BG＝7，
∴AH＝＝，
即AE+CF的最小值为，
故答案为：．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（8分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣16＝0；
（2）x2+4x﹣5＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝16
x﹣2＝4或x﹣2＝﹣4，
则x1＝6，x2＝﹣2．
（2）（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
则x1＝﹣5，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2满足，求k的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，然后解不等式即可得到k的范围；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝k+2，由题意得出关于k的方程，则可求出答案．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，
解得k≤﹣1；
∴k的取值范围是k≤﹣1．
（2）根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝k+2，
∵x1，x2满足＝k﹣2，
∴＝k﹣2，
∴＝k﹣2，
∴k2＝6，
∴k＝±，
经检验k＝是原方程的根，
∵k≤﹣1，
∴k＝﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式的意义．
19．（8分）已知：如图，A、C是▱DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】如图，连接BD，交AC于点O，欲证明证明四边形ABCD是平行四边形，只需证得AO＝CO，DO＝BO．
【解答】证明：如图，连接BD，交AC于点O．
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴OD＝OB，OE＝OF．
又∵AE＝CF，
∴AE+OE＝CF+OF，即OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
20．（8分）为了巩固我县创建“省级卫生城市”成果，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，对应的分数依次为100分、90分、80分、70分．学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制如图的统计图：
（1）把这一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）根据下表填空：a＝ 87.6 ；b＝ 90 ；c＝ 100 ；
（3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析．
【分析】（1）根据总人数为25人，求出等级C的人数，补全条形统计图即可；
（2）求出一班的平均分与中位数得到a与b的值，求出二班得众数得到c的值即可；
（3）选择平均数与众数比较即可．
【解答】解：（1）根据题意得：一班中等级C的人数为25﹣（6+12+5）＝2（人），
补全条形统计图，如图所示：
（2）根据题意得：一班的平均分为＝87.6（分），中位数为90分，
二班的众数为100分，
则a＝87.6，b＝90，c＝100；
故答案为：87.6，90，100；
（3）一班与二班的平均数相同，但是二班众数为100分，一班众数为90分，
则二班成绩较好．
【点评】此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与直线l2：y2＝2x相交于B（m，4）．
（1）求直线l1的函数解析式；
（2）设直线l1与y轴交于点M，求△BOM的面积；
（3）利用函数图象直接写出当y1≤y2时，x的取值范围为 x≥2 ．
【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）把x＝0代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵点B（m，4）直线l2：y＝2x上，
∴4＝2m，
∴m＝2，
∴点B（2，4），
设直线l1的表达式为y＝kx+b，
将A（﹣6，0），B（2，4）代入得：，
解得，
∴直线l1的表达式为y＝x+3；
（2）将x＝0代入y＝x+3，得：y＝3，
∴M（0，3），
∴OM＝3，
∴△BOM的面积＝OM•|xB|＝×3×2＝3；
（3）观察图象，当y1≤y2时，x的取值范围为 x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题是两条直线平行、相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围．
22．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横纵坐标x，y的对应值如表：
（1）这个二次函数的表达式为 y＝﹣x2﹣2x﹣4 ，对称轴是 直线x＝1 ；
（2）表中的m＝ 3 ，n＝ 12 ；
（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是这个函数图象上的两点，且x1＜x2＜﹣1，则y1 ＜ y2（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（4）写出这个函数的一条性质 x＞﹣1时，y随x的增大而减小，x＜﹣1 时，y随x的增大而增大 ．
【分析】（1）将表中数据代入二次函数解析式即可求得表达式，利用配方法把函数解析式表示成顶点式可得定点坐标；
（2）根据（1）函数解析式当x＝20代入求得n，当y＝﹣59时求得 m；
（3）确定函数的开口方向和对称轴，然后根据递减性以及 x1和x2的大小来比较y1和y2的大小；
（4）根据函数的开口方向和对称轴的位置来确定它的性质．
【解答】解：（1）将（﹣2，﹣4）、（﹣1，﹣3）、（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c，
可得：，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣2x﹣4＝﹣（x+1）2﹣3，
∴对称轴为：x＝﹣＝1，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣4，直线x＝1；
（2）根据函数解析式：y＝﹣x2﹣2x﹣4，
当x＝2时，n＝﹣12，
当y＝﹣19时，﹣19＝﹣x2﹣2x﹣4，
解得：m＝3或﹣5（舍），
∴m＝3
故答案为：m＝3；n＝﹣12；
（3）根据y＝﹣x2﹣2x﹣4，
∴a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
∵对称轴x＝﹣1，
当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x1＜x2＜﹣1时，y1＜y2，
故答案为：＜；
（4）x＞﹣1时，y随x的增大而减小，x＜﹣1 时，y随x的增大而增大；
或函数图象关于直线x＝﹣1轴对称等，答案不唯一．
故答案为：x＞﹣1时，y随x的增大而减小，x＜﹣1 时，y随x的增大而增大．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，顶点坐标的确定，二次函数的性质以及解方程组，①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；．
23．（10分）某超市以每件10元的价格购进一种文具．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）求y与x之间的函数关系式及x的取值范围；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；
（2）依据利润＝单件利润×销售量列出方程，解答即可；
（3）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；
（2）根据题意得：
（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，
解得：x1＝18，x2＝22，
答：销售单价应为18元或22元；
（3）由题意可知：w＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600
＝﹣2（x﹣20）2+200，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝20，
∴当x＝20时，w有最大值，W最大＝200．
答：当销售单价为20元时，每天获利最大，最大利润是200元．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式．
24．（13分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解；
（3）当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5，4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4①；
（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，
故点B的坐标为（4，0），点C（0，4），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
此时点Q的坐标为（2，﹣2）；
∵PQ＝CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ为平行四边形；
（3）∵D是OC的中点，则点D（0，2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
故设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点E的坐标为（5，4），
设点F的坐标为（0，m），
由点B、E的坐标得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
同理可得，当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝；
故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25．（13分）如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：AG＝FG．
（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长．
（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABG≌△CBG，可得AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，由四边形内角和定理可证∠BCG＝∠GFC，可得GC＝GF＝AG；
（2）过点G作GH⊥BC于H，利用勾股定理可求GH的长，即可求解；
（3）在AB上截取BF＝BN，连接NF，由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△ADE，可得∠BAF＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，可得FC＝BF，即可求解．
【解答】证明：（1）连接GC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，
∵∠ABC+∠BAG+∠AGF+∠BFG＝360°，且∠ABC＝∠AGF＝90°，
∴∠BAG+∠BFG＝180°，
∴∠BCG+∠BFG＝180°，
∵∠BFG+∠GFC＝180°，
∴∠BCG＝∠GFC，
∴GC＝GF，
∴AG＝FG；
（2）如图2，过点G作GH⊥BC于H，
∵AB＝10，BF＝4，
∴AF2＝AB2+BF2＝AG2+GF2，
∴GF2＝58，
∵∠DBC＝45°，GH⊥BC，
∴BH＝GH，BG＝GH，
∵GF2＝GH2+FH2，
∴58＝GH2+（GH﹣4）2，
∴GH＝7，（负值舍去），
∴BG＝7；
（3）如图，在AB上截取BF＝BN，连接NF，
∵AG＝GF，AG⊥GF，
∴∠EAF＝45°，
∵AE＝AF，AB＝AD，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴∠BAF＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，
∴CF＝CE，
∵BF＝BN，∠ABC＝90°，
∴NF＝BF，∠BNF＝∠BFN＝45°，
∴∠BAF＝∠AFN＝22.5°，
∴AN＝NF＝BF，
∵AB＝BC，
∴BN+AN＝BF+FC，
∴FC＝BF，
∴BC＝（+1）BF，
∴正方形ABCD与△CEF的面积之比＝BC2：FC2＝3+2：1．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
鞋的尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
a
b
90
二班
87.6
80
c
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
m
…
y
…
﹣19
﹣12
﹣7
﹣4
﹣3
﹣4
﹣7
n
﹣19
…
销售单价x/元
…
12
13
14
…
每天销售数量y/件
…
36
34
32
…
鞋的尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
a
b
90
二班
87.6
80
c
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
m
…
y
…
﹣19
﹣12
﹣7
﹣4
﹣3
﹣4
﹣7
n
﹣19
…
销售单价x/元
…
12
13
14
…
每天销售数量y/件
…
36
34
32
…