黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷(含答案)
展开一、选择题
1.若复数,则( )
A.B.10C.D.20
2.设A,B是直线l上两点,则“A,B到平面a的距离相等”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知一组数据:55,64,92,76,88,67,76,90,则这组数据的第80百分位数是( )
A.90B.88C.82D.76
4.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则( )
A.B.C.D.
5.已知非零向量,满足,且向量在向量上的投影向量为,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
6.已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
7.用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数,则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为( )
A.B.C.D.
8.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则的最大值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9.已知i是虚数单位,则下列说法正确的是( )
A.
B.复数的虚部为5
C.若复数,满足,则
D.若复数z满足,则的最大值为3
10.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列对的个数的判断正确的是( )
A.当,,时,有两解
B.当,,时,有一解
C.当,,时,无解
D.当,,时,有两解
11.如图,在直三棱柱中,,,,D是边的中点,过点A,B,D作截面交于点E,则( )
A.B.平面平面
C.平面D.点到截面的距离为
三、填空题
12.若事件A与B互斥,且,,则________.
13.已知中,,,D为上一点,且,,垂足为E,则________.
四、双空题
14.如图,用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高,无人机的航线与塔在同一铅直平面内,无人机飞行的海拔高度为,在C处测得塔底A(即小山的最高处)的俯角为,塔顶B的俯角为,向山顶方向沿水平线飞行到达D处时,测得塔底A的俯角为,则该座小山的海拔为________m;古塔的塔高为________m.
五、解答题
15.已知向量,,,.
(1)若A,B,C三点共线,求m的值;
(2)若四边形为矩形,求的值.
16.如图,在三棱锥中,E是线段的中点,F是线段上的一点.
(1)若平面,试确定F在上的位置,并说明理由;
(2)若,证明:.
17.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角B的大小;
(2)若,点D是线段上的一点,且,,求的周长.
18.为了估计一批产品的质量状况,现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分),并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
(1)求图中a的值,并求综合评分的平均数;
(2)用样本估计总体,以频率作为概率,按分层随机抽样的思想,先在该条生产线中随机抽取5个产品,再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据,求这2个产品中最多有1个一等品的概率;
(3)已知落在的平均综合评分是54,方差是3,落在的平均综合评分为63,方差是3,求落在的总平均综合评分和总方差.
19.如图,在直三棱柱中,,,,点D,E分别为棱BC,的中点,点F是线段CE的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线DF与平面ABF所成角的正弦值;
(3)求二面角的余弦值.
参考答案
1.答案:A
解析:.
故选:A.
2.答案:B
解析:若,则A,B两点到平面的距离相等,
但反之不成立,因为当A,B分别在平面a的两侧,
且满足A,B到平面的距离相等时,直线l与平面相交.
故选:B.
3.答案:A
解析:将数据从小到大排列为:55,64,67,76,76,88,90,92,
又,
所以这组数据的第80百分位数是90.
故选:A
4.答案:C
解析:由余弦定理得,
因为,所以.
故选:C.
5.答案:C
解析:因为,且,
所以,即夹角为,
故选:C.
6.答案:D
解析:由正六棱柱的性质可得O为其外接球的球心(如图),
由于底面为正六边形,所以为等边三角形,故,
所以,
所以为外接球的半径,故外接球表面积为,
故选:D
7.答案:C
解析:将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有,共6种,
其中偶数有,共4种,
所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为.
故选:C.
8.答案:D
解析:因为,
由正弦定理得,
所以,
所以,
由余弦定理得,
当且仅当,即时,等号成立,
所以,
所以当时,取得最大值,
此时,,
所以的最大值是.
故选:D.
9.答案:AD
解析:对于A,,故A正确;
对于B,复数的虚部为-5,故B错误;
对于C,设,,则,而,,故C错误;
对于D,因为,所以,所以的最大值为3,故D正确.
故选:AD.
10.答案:AC
解析:对于A,由正弦定理得,即,所以,
又因为,,所以或,有两解,故A正确;
对于B,由正弦定理得,无解,故B错误;
对于C,由正弦定理得,无解,故C正确;
对于D,由正弦定理得,
又,所以B为锐角,此三角形只有一解,故D错误.
故选:AC.
11.答案:ABD
解析:如图,
在直三棱柱中,,
平面,平面,
则有平面,平面,平面平面,
可得,故A正确;
D是的中点,,,,
又,,,
则,,
,,,平面,
平面,
平面,,
又,平面,平面,
又平面,平面平面,故B正确;
因为,平面,所以与平面不平行,故C错误;
设与交于点O,则平面,
又因为D为的中点,所以点到截面的距离等于点到截面的距离.
在中,,由等面积法可得,
所以点到截面的距离为,故D正确.
故选:ABD.
12.答案:0.6/
解析:因为事件A与B互斥,且,,
所以.
故答案为:0.6
13.答案:/
解析:如图,以E为坐标原点,,所以直线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,
因为,,,所以,则,,,
又,过D作于F,易知,所以,
得到,设,
则,,所以,
故答案为:.
14.答案:;/
解析:如图,在,,,,,
由正弦定理,
又,
所以,即m,
延长交于H,则m,
又无人机飞行的海拔高度为,所以该座小山的海拔为,
在中,,,
又,
由正弦定理有,得到m,
故答案为:,.
15.答案:(1);
(2)
解析:(1)因为,,,
所以,.
又A,B,C三点共线,所以,所以,
解得.
(2)由,
,
若四边形为矩形,则.即,
解得.
由,得
解得,.所以.
16.答案:(1)F是的中点,理由见解析;
(2)证明见解析
解析:(1)F是的中点,理由如下:
若平面,由平面,平面平面,
得.又E是的中点,F在上,
F是的中点.
(2)取的中点G,连接,,
,G为中点,
,,
,平面,
平面,
平面,.
17.答案:(1);
(2)
解析:(1)因为,
由正弦定理得,
又,所以,
又,
所以,即,
又,所以,
所以,又,所以.
(2)由题意知,
又,所以,
即.
在中,由余弦定理得,
即,
所以,
解得或(舍),
所以的周长为.
18.答案:(1),平均数为81;
(2);
(3),
解析:(1)由频率和为1,得,解得;
设综合评分的平均数为,
则,
所以综合评分的平均数为81.
(2)由题意,抽取5个产品,其中一等品有3个,非一等品有2个,
一等品记为a、b、c,非一等品记为D、E;
从这5个产品中随机抽取2个,试验的样本空间
,;
记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”,
则,,
所以所求的概率为.
(3)由题意可知:落在的频率为0.05,落在的频率为0.1,
所以,
.
19.答案:(1)证明见解析;
(2);
(3)
解析:(1)在直三棱柱中,平面,又平面,所以,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以.
在矩形中,,,点E是棱的中点,
所以,所以是等边三角形,
又点F是线段CE的中点,所以,
又,平面,所以平面.
(2)在平面BCE内,过点D作BF的垂线,垂足为H,如图所示.
由(1)知平面,又平面,所以,
又,,平面,所以平面,
所以是直线DF与平面ABF所成角.
在中,,,所以,
又点D为棱BC的中点,所以.
因为平面,又平面,所以,
所以,.
在中,由余弦定理得,
所以,即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为.
(3)在平面内,过点F作AC的垂线,垂足为O,在平面ABC内,过O作AD的垂线,垂足为G,连接FG,如图所示.
因为平面,又平面,所以,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以,,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以,又,
所以为二面角的平面角.
在中,.
因为平面,平面,所以,
又易得,,所以,
由等面积法可知.
在中,,,,所以,
所以,即二面角的余弦值为.
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