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    黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷(含答案)

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    这是一份黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷(含答案),共15页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.若复数,则( )
    A.B.10C.D.20
    2.设A,B是直线l上两点,则“A,B到平面a的距离相等”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    3.已知一组数据:55,64,92,76,88,67,76,90,则这组数据的第80百分位数是( )
    A.90B.88C.82D.76
    4.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则( )
    A.B.C.D.
    5.已知非零向量,满足,且向量在向量上的投影向量为,则与的夹角为( )
    A.B.C.D.
    6.已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为( )
    A.B.C.D.
    7.用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数,则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为( )
    A.B.C.D.
    8.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则的最大值是( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.已知i是虚数单位,则下列说法正确的是( )
    A.
    B.复数的虚部为5
    C.若复数,满足,则
    D.若复数z满足,则的最大值为3
    10.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列对的个数的判断正确的是( )
    A.当,,时,有两解
    B.当,,时,有一解
    C.当,,时,无解
    D.当,,时,有两解
    11.如图,在直三棱柱中,,,,D是边的中点,过点A,B,D作截面交于点E,则( )
    A.B.平面平面
    C.平面D.点到截面的距离为
    三、填空题
    12.若事件A与B互斥,且,,则________.
    13.已知中,,,D为上一点,且,,垂足为E,则________.
    四、双空题
    14.如图,用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高,无人机的航线与塔在同一铅直平面内,无人机飞行的海拔高度为,在C处测得塔底A(即小山的最高处)的俯角为,塔顶B的俯角为,向山顶方向沿水平线飞行到达D处时,测得塔底A的俯角为,则该座小山的海拔为________m;古塔的塔高为________m.
    五、解答题
    15.已知向量,,,.
    (1)若A,B,C三点共线,求m的值;
    (2)若四边形为矩形,求的值.
    16.如图,在三棱锥中,E是线段的中点,F是线段上的一点.
    (1)若平面,试确定F在上的位置,并说明理由;
    (2)若,证明:.
    17.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
    (1)求角B的大小;
    (2)若,点D是线段上的一点,且,,求的周长.
    18.为了估计一批产品的质量状况,现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分),并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
    (1)求图中a的值,并求综合评分的平均数;
    (2)用样本估计总体,以频率作为概率,按分层随机抽样的思想,先在该条生产线中随机抽取5个产品,再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据,求这2个产品中最多有1个一等品的概率;
    (3)已知落在的平均综合评分是54,方差是3,落在的平均综合评分为63,方差是3,求落在的总平均综合评分和总方差.
    19.如图,在直三棱柱中,,,,点D,E分别为棱BC,的中点,点F是线段CE的中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求直线DF与平面ABF所成角的正弦值;
    (3)求二面角的余弦值.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:.
    故选:A.
    2.答案:B
    解析:若,则A,B两点到平面的距离相等,
    但反之不成立,因为当A,B分别在平面a的两侧,
    且满足A,B到平面的距离相等时,直线l与平面相交.
    故选:B.
    3.答案:A
    解析:将数据从小到大排列为:55,64,67,76,76,88,90,92,
    又,
    所以这组数据的第80百分位数是90.
    故选:A
    4.答案:C
    解析:由余弦定理得,
    因为,所以.
    故选:C.
    5.答案:C
    解析:因为,且,
    所以,即夹角为,
    故选:C.
    6.答案:D
    解析:由正六棱柱的性质可得O为其外接球的球心(如图),
    由于底面为正六边形,所以为等边三角形,故,
    所以,
    所以为外接球的半径,故外接球表面积为,
    故选:D
    7.答案:C
    解析:将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有,共6种,
    其中偶数有,共4种,
    所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为.
    故选:C.
    8.答案:D
    解析:因为,
    由正弦定理得,
    所以,
    所以,
    由余弦定理得,
    当且仅当,即时,等号成立,
    所以,
    所以当时,取得最大值,
    此时,,
    所以的最大值是.
    故选:D.
    9.答案:AD
    解析:对于A,,故A正确;
    对于B,复数的虚部为-5,故B错误;
    对于C,设,,则,而,,故C错误;
    对于D,因为,所以,所以的最大值为3,故D正确.
    故选:AD.
    10.答案:AC
    解析:对于A,由正弦定理得,即,所以,
    又因为,,所以或,有两解,故A正确;
    对于B,由正弦定理得,无解,故B错误;
    对于C,由正弦定理得,无解,故C正确;
    对于D,由正弦定理得,
    又,所以B为锐角,此三角形只有一解,故D错误.
    故选:AC.
    11.答案:ABD
    解析:如图,
    在直三棱柱中,,
    平面,平面,
    则有平面,平面,平面平面,
    可得,故A正确;
    D是的中点,,,,
    又,,,
    则,,
    ,,,平面,
    平面,
    平面,,
    又,平面,平面,
    又平面,平面平面,故B正确;
    因为,平面,所以与平面不平行,故C错误;
    设与交于点O,则平面,
    又因为D为的中点,所以点到截面的距离等于点到截面的距离.
    在中,,由等面积法可得,
    所以点到截面的距离为,故D正确.
    故选:ABD.
    12.答案:0.6/
    解析:因为事件A与B互斥,且,,
    所以.
    故答案为:0.6
    13.答案:/
    解析:如图,以E为坐标原点,,所以直线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,
    因为,,,所以,则,,,
    又,过D作于F,易知,所以,
    得到,设,
    则,,所以,
    故答案为:.
    14.答案:;/
    解析:如图,在,,,,,
    由正弦定理,
    又,
    所以,即m,
    延长交于H,则m,
    又无人机飞行的海拔高度为,所以该座小山的海拔为,
    在中,,,
    又,
    由正弦定理有,得到m,
    故答案为:,.
    15.答案:(1);
    (2)
    解析:(1)因为,,,
    所以,.
    又A,B,C三点共线,所以,所以,
    解得.
    (2)由,

    若四边形为矩形,则.即,
    解得.
    由,得
    解得,.所以.
    16.答案:(1)F是的中点,理由见解析;
    (2)证明见解析
    解析:(1)F是的中点,理由如下:
    若平面,由平面,平面平面,
    得.又E是的中点,F在上,
    F是的中点.
    (2)取的中点G,连接,,
    ,G为中点,
    ,,
    ,平面,
    平面,
    平面,.
    17.答案:(1);
    (2)
    解析:(1)因为,
    由正弦定理得,
    又,所以,
    又,
    所以,即,
    又,所以,
    所以,又,所以.
    (2)由题意知,
    又,所以,
    即.
    在中,由余弦定理得,
    即,
    所以,
    解得或(舍),
    所以的周长为.
    18.答案:(1),平均数为81;
    (2);
    (3),
    解析:(1)由频率和为1,得,解得;
    设综合评分的平均数为,
    则,
    所以综合评分的平均数为81.
    (2)由题意,抽取5个产品,其中一等品有3个,非一等品有2个,
    一等品记为a、b、c,非一等品记为D、E;
    从这5个产品中随机抽取2个,试验的样本空间
    ,;
    记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”,
    则,,
    所以所求的概率为.
    (3)由题意可知:落在的频率为0.05,落在的频率为0.1,
    所以,
    .
    19.答案:(1)证明见解析;
    (2);
    (3)
    解析:(1)在直三棱柱中,平面,又平面,所以,
    又,,平面,所以平面,
    又平面,所以.
    在矩形中,,,点E是棱的中点,
    所以,所以是等边三角形,
    又点F是线段CE的中点,所以,
    又,平面,所以平面.
    (2)在平面BCE内,过点D作BF的垂线,垂足为H,如图所示.
    由(1)知平面,又平面,所以,
    又,,平面,所以平面,
    所以是直线DF与平面ABF所成角.
    在中,,,所以,
    又点D为棱BC的中点,所以.
    因为平面,又平面,所以,
    所以,.
    在中,由余弦定理得,
    所以,即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为.
    (3)在平面内,过点F作AC的垂线,垂足为O,在平面ABC内,过O作AD的垂线,垂足为G,连接FG,如图所示.
    因为平面,又平面,所以,
    又,,平面,所以平面,
    又平面,所以,,
    又,,平面,所以平面,
    又平面,所以,又,
    所以为二面角的平面角.
    在中,.
    因为平面,平面,所以,
    又易得,,所以,
    由等面积法可知.
    在中,,,,所以,
    所以,即二面角的余弦值为.
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