湖北省武汉市重点中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市重点中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．设是可导函数,且,则在处的切线的斜率等于( )
A.2B.C.D.
3．已知变量x与y的数据如下表所示,若y关于x的经验回归方程是,则表中( )
A.11B.12C.12.5D.13
4．甲,乙,丙,丁,戊共5名同学进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到冠军.”对乙说:“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析,5人的名次排列可能有多少种不同情况( )
A.24B.36C.54D.60
5．的展开式中的系数是( )
A.20B.30C.40D.50
6．柯西分布（Cauchydistributin）是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量服从柯西分布为,其中当,时的特例称为标准柯西分布,其概率密度函数为.已知,,,则( )
A.B.C.D.
7．已知函数,则“有两个极值”的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
8．已知x,y,,若,则的最小值等于( )
A.B. C. D.
二、多项选择题
9．下列命题正确的是( )
A.命题“对任意,”的否定是“存在,使得”
B.“”的充分不必要条件是“”
C.设x,,则“且”是“”的充分不必要条件
D.设a,,则“”是“”的充分不必要条件
10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个分别标有1,2,3,4号的盒子中,则下列结论正确的有( )
A.共有256种放法
B.恰有一个盒子不放球,共有72种放法
C.恰有两个盒子不放球,共有84种放法
D.没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种
11．下列选项中正确的是( )
A.已知随机变量X服从二项分布,则
B.口袋中有大小相同的7个红球,2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球,记其中红球的个数为随机变量X,则X的数学期望
C.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8,则在9次射击中,最有可能击中的次数是8次
D.设A,B是一个随机试验中的两个事件,且,,,则
三、填空题
12．某市的5个区县A,B,C,D,E地理位置如图所示,给这五个区域染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择,则不同的染色方案共有______种.
13．某学校组织学生进行数学强基答题比赛,已知共有2道A类试题,4道B类试题,6道C类试题,学生从中任选1道试题作答,学生甲答对A,B,C这3类试题的概率分别为,,,学生甲答对试题的概率为______.
14．若对任意的,,且,,则m的最大值是______.
四、解答题
15．设命题,使得不等式恒成立;命题,不等式成立.
（1）若p为真命题,求实数m的取值范围;.
（2）若金题p,q有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.
16．，，，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌挃该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考栍，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表:
（1）请完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？
（2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附:，.
17．甲,乙两人进行某棋类比赛,每局比赛时,若决出输赢则获胜方得2分,负方得0分;若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜,平局,负的概率均为,且各局比赛结果相互独立.
（1）若比赛共进行了三局,求甲获胜一局的概率;
（2）若比赛共进行了三局,求甲得3分的概率;
（3）规定比赛最多进行五局,若一方比另一方多得4分则停止比赛,求比赛局数的分布列与数学期望.
18．已知函数,.
（1）当时,求的单调区间;
（2）若关于x的方程有两根,（其中）,
①求a的取值范围;
②当时,求的取值范围.
19．某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况,现有份血液样本（数量足够大）,有以下两种检验方式:
方式一:逐份检验,需要检验n次;
方式二:混合检验,将其中份血液样本混合检验,若混合血样无抗体,说明这k份血液样本全无抗体,只需检验1次;若混合血样有抗体,为了明确具体哪份血液样本有抗体,需要对每份血液样本再分别化验一次,检验总次数为次.假设每份样本的检验结果相互独立,每份样本有抗体的概率均为.
（1）现有5份不同的血液样本,其中只有2份血液样本有抗体,采用逐份检验方式,求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率;
（2）现取其中份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为;采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为.
①若,求P关于k的函数关系式;
②已知,以检验总次数的期望为依据,讨论采用何种检验方式更好?
参考数据:,,,,.
参考答案
1．答案：C
解析：,即,
,所以,即,所以.
故选:C
2．答案：B
解析：因为,
所以,
由导数的几何意义知,在处的切线的斜率为,
故选:B.
3．答案：A
解析：,,
因为经验回归方程经过样本中心,
所以,
解得：.
故选：A.
4．答案：C
解析：由条件可知,甲和乙都不是第一名,乙也不是最后一名,
所以先排乙有3种方法,再排甲有3种方法,其他就是全排列种方法,
所以5人的名次排列有种方法.
故选:C
5．答案：A
解析：因为的展开式中,通项公式,
令,得,则,
又,
所以的系数为.
故选:A.
6．答案：D
解析：函数关于y轴对称,
由可知,,且,
则,所以.
故选:D
7．答案：A
解析：的定义域为,则,
因为有两个极值,所以有两个不等的实数解,
由,得,
令,,
则,
当时,,当时,,
所以在上递增,在上递减,
因为,,
所以当时,,当时,,
所以的图象如图所示,
由图可知当时,的图象与的图象有两个不同的交点,即有两个极值,
因为是的真子集,
所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是,
故选:A
8．答案：B
解析：由题设,
设,则,
当,,单调递减,
当,,单调递增,
所以,即,
综上,,即,所以,
设P是直线上点,是圆上的点,
而目标式为,
由,故.
故选：B.
9．答案：BC
解析：对于A选项,命题“对任意,”的否定是“存在,使得”,故A错误;
对于B选项,或,因为⫋或,所以“”是“”的充分不必要条件,故B正确;
对于C选项,充分性:当且时,,则,所以具有充分性,
必要性:令,,但“且”不成立,所以不具有必要性,
所以“且”是“”的充分不必要条件,故C正确;
对于D选项,因为“”是“”的必要不充分条件,所以“”是“”的必要不充分条件,故D错误.
故选:BC
10．答案：ACD
解析：若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子,共有种放法,故A正确;
恰有一个盒子不放球,先选一个盒子,再选一个盒子放两个球,则种放法,故B错误;
恰有两个盒子不放球,首先选出两个空盒子,再将四个球分为3,1或2,2两种情况,共种放法,故C正确;
编号为1的有C种放法,编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号或其他两个盒子,共有,即种放法,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：A.,,,故A正确;
B.X为超几何分布,所以,故B正确;
C.设最有可能击中k次,则,,
则,
得,即或8,故C错误;
D.,则,
,故D正确.
故选:ABD
12．答案：96
解析：第一步:从4种颜色中选3种颜色对A,B,C三个区域着色有种方法,
第二步:对D,E着色分两类,
当D与B同色有1种方法,对E着色有2种方法,
当D与B不同色时有1种方法,对E着色有2种方法,
故不同的染色方案共有种.
故答案为:96种.
13．答案：或0.125
解析：学生甲答对试题的概率为.
故答案为:
14．答案：或
解析：因为,所以,
所以由,得,
所以,
所以,
令,则,
因为对任意的,,且,
所以在上递增,
由,得,
由,得,得,
解得,所以的递增区间为,
所以m的最大值为.
故答案为:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）若p为真命题,即,使得不等式成立,
则对于,即可.
由于,,则
（2）若q为真命题,即,不等式成立,
则对于,即可.
由于,,,解得
p,q有且只有一个是真命题,则或,
解得.
16．答案：（1）“对公式的掌握情况”与“学生所在年级"有关，此推断犯错误的概率不大于0.001
（2）
解析：（1）由100名学生中高三年级的学生占，
可知高三年级的学生有60人，高一年级的学生有40人.
补充完整的列联表，如下：
提出零假设：“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”无关.
根据列联表中的数据，得
.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级"有关，
此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）由（1）得，高一年级的学生对公式的掌握情况合格的频率为.
依题意，得，
则，
，
，
.
所以X的分布列为
.
17．答案：（1）
（2）
（3）分布列见解析,
解析：（1）设“三局比赛后,甲胜一局”为事件A,
甲胜一局包含以下情形:三局中甲一胜两平局,三局中甲一胜两负,三局中甲一胜一平一负,
所以,或,
所以甲胜一局的概率为
（2）设“三局比赛后,甲得3分”为事件B,
甲得3分包含以下情形:三局均为平局,三局中甲一胜一平一负,
所以,
所以甲得3分的概率为
（3）依题意知,X的可能取值为2,3,4,5,
,,
,
,
故X的分布列为:
所以期望
18．答案：（1）的单调递增区间为,的单调递减区间为
（2）①;
②
解析：（1）当时,,所以,
由解得,由解得,
故的单调递增区间为,的单调递减区间为.
（2）①由,即,即,
令,上式为,因为,
所以在上单调递增,故等价于,
即在上有两根,,
令,则,
由解得,由解得,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以有极大值,且当时,,
其图象如图所示:
所以a的取值范围为.
②由①得在上有两根,,所以,
在区间上单调递增,在区间上单调递减,
,所以,
可得,所以,所以.
19．答案：（1）
（2）①（且）,
②答案见解析
解析：（1）设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A,
事件A分为两种情况,一种是前两次检验中,其中一次检验出抗体,第三次检验出抗体,二是前三次均无抗体,
所以,
所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为;
（2）①由已知得,的所有可能取值为1,,
所以,,
所以,
若,则,
所以,,
所以,得,
所以P关于k的函数关系式（且）;
②由①知,,
若,则,所以,得,
所以（且）
令,则,
当时,,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
因为,,
,
所以不等式的解是且,
所以且时,,采用方案二混合检验方式好,
且时,,采用方案一逐份检验方式好.
x
1
2
3
4
5
y
10
11
m
13
15
合格
不合格
合计
高三年级的学生
54
高一年级的学生
16
合计
100
a
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
合格
不合格
合计
高三年级的学生
54
6
60
高一年级的学生
24
16
40
合计
78
22
100
X
0
1
2
3
P
X
2
3
4
5
P