陇县第二高级中学2023-2024学年高一下学期第三次教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份陇县第二高级中学2023-2024学年高一下学期第三次教学质量检测数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设（a,）,则( )
A.,B.,C.,D.,
2．设点O是正三角形的中心，则向量，，是( )
A.相同的向量B.模相等的向量C.共线向量D.共起点的向量
3．已知向量，，且，，，则( )
A.8B.9C.D.
4．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是( )
A.16B.12C.D.
5．若直线平面,则下列说法正确的是( )
A.l仅垂直平面内的一条直线B.l仅垂直平面内与l相交的直线
C. l仅垂直平面内的两条直线D.l与平面内的任意一条直线垂直
6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则此三角形( )
A.无解B.有一解C.有两解D.解的个数不确定
7．如图,某市人民广场正中央有一座铁塔,为了测量塔高AB,小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为,然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处,在D处测得塔顶的仰角为,则铁塔AB的高度是( )
A.70米B.80米C.90米D.100米
8．如图所示,在正方体中,E,F分别为,上的中点,且,P点是正方形内的动点,若平面,则P点的轨迹长度为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题是假命题的是( )
A.B.
C.若,则D.若,则
10．已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是( )
A.如果，，，那么
B.如果，，那么
C.如果，，那么
D.如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等
11．如图,在棱长为1的正方体中,点P是线段上的一点,则下列说法正确的是( )
A.直线与平面所成的角为定值
B.平面
C.三棱锥的体积为定值
D.直线与直线所成的角为定值
三、填空题
12．已知i是虚数单位,复数z满足,则复数z的模为____________.
13．已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角为__________.
14．一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体,其尺寸如图所示（单位：米）,浇制一个这样的预制件需要___________立方米混凝土（钢筋体积略去不计）.
四、解答题
15．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥,所得的截面三角形称为圆锥的轴截面,也称为圆锥的子午三角形.如图,圆锥底面圆的半径是4,轴截面的面积是4.
（1）求圆锥的母线长;
（2）过圆锥的两条母线,作一个截面,求截面面积的最大值.
16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
17．如图,在四棱锥中,,,,设E,F分别为,的中点,.
（1）证明：平面;
（2）证明：平面平面.
18．如图,在等腰三角形ABC中,,,F是线段AC上的动点(异于端点),.
(1)若F是AC边的中点,求的值;
(2)当时,请确定点F的位置.
19．在四棱锥中,是等边三角形,四边形是矩形,,,,E是棱的中点.
（1）求证：;
（2）求二面角的正切值.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意,得,则,.故选A.
2．答案：B
解析：O是正的中心，向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，O到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.故选B.
3．答案：C
解析：由，有，，∴.故选C.
4．答案：A
解析：在直观图中，，
可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为，
则另一边长为，所以原图形的周长为．
故选：A.
5．答案：D
解析：若直线平面,则l与平面内的任意一条直线都垂直.
6．答案：C
解析：由正弦定理，得，解得.
因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.故选C.
7．答案：A
解析：设塔AB的高度为h,在中,
因为,所以;
在中,因为,所以;
在中,,,,根据余弦定理可得,即,
解得或(舍去).
故选：A.
8．答案：C
解析：如图所示,作交于点G,作交于点H,连接,
,,,平面平面,
又点是正方形内的动点,点P在线段上,即轨迹.
9．答案： CD
解析：,A正确,,B也正确,
对于虚数不能比较大小,C错误,当时,,所以D错误.
10．答案：BCD
解析：对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，
不妨设为直线m，CD为直线n，四边形ABCD所在的平面为，四边形
所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立；
B正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面相交于直线l，则，由
知，从而；
由平面与平面平行的定义知，如果，，那么，C正确；
由平行的传递性及线面角的定义知，如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等，D正确.故选BCD.
11．答案：BCD
解析：当P分别在C或时,显然直线与平面所成角不同,故A错误;
平面即为平面,又,平面,平面,
所以平面,故B正确;
因为,平面,平面,所以平面,
所以点到平面的距离为定值,所以三棱锥的体积为定值,故C正确;
在正方体中,易得平面,
又平面,所以,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由,有,可得,
有,可得.
13．答案：
解析：由，得，即，因为，，所以，所以.又，所以向量与的夹角为.故答案为.
14．答案：324
解析：将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.
所以（平方米）,
所以该预制件的体积（立方米）.
故浇制一个这样的预制件需要约324立方米的混凝土.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）轴截面的面积为,所以,
所以圆锥的母线长;
（2）在轴截面中,,,
,,
的面积,
当时,截面面积有最大值,最大值为.
16．答案：(1)；
(2)
解析：(1)由正弦定理有，
因为，，可得；
(2)由(1)知，，，
故有.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）连接,由于E,F为,的中点,则,
又因为,因此,则四边形为平行四边形,
于是,平面,平面,则平面;
（2）由于,则O为中点,因此,
又因为平面,平面,则平面,
由（1）知,平面,平面,则平面,
由于,,平面,则平面平面.
18．答案：(1)
(2)F是线段AC靠近A处的四等分点
解析：(1)由题意知,由于F是AC边的中点,因此,
因此;
(2)不妨设,,因此,
解出,故F是线段AC靠近A处的四等分点.
19．答案：（1）见解析
（2）2
解析：（1）证明：取的中点F,连接,,如图所示.
因为是等边三角形,F是的中点,所以.
因为F是的中点,E是棱的中点,所以.
又四边形是矩形,所以,所以,
又,所以,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以;
（2）因为平面,平面,所以,
又,,,平面,所以平面.
又平面,所以.
过F作的垂线,垂足为G,连接,如图所示.
因为,,平面,所以平面,
又平面,所以,所以二面角的大小为.
在中,易得.
在中,易得,所以.