2025高考数学一轮复习-8.2-两条直线的位置关系【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.2-两条直线的位置关系【课件】，共60页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，k1＝k2，k1·k2＝－1，距离公式，对称问题，考点突破题型剖析，x－3y＋9＝0，或－6，角度1点关于点对称，x＋4y－4＝0等内容，欢迎下载使用。

ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔________.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2______.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔__________________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线______.
1.两条直线平行与垂直的判定
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(2)两直线的位置关系
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′_______________.
(2a－x0，2b－y0)
1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0.2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.
解析　(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.(　　)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　)
所以B(2，0)或B(4，6).
2.(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是(　　)A.(2，0) B.(0，2) C.(4，6) D.(6，4)
解析　设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，
3.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.
解析　直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，当l1∥l2时，a2－1＝0解得a＝±1.当a＝1时，l1与l2重合，不满足题意；当a＝－1时，l1∥l2，则l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0，
5.已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则l1与l2的距离为________.
解析　∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，
6.若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝________.
∴直线ax＋4y－2＝0的方程为5x＋2y－1＝0.将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12，∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4.
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
∴mn＝1，充分性成立.而m＝－1，n＝－1时，mn＝1，但x－y－1＝0与－x＋y＋1＝0重合，必要性不成立.
1.已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
解析　∵直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0，直线l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0互相垂直，∴(k－3)×(k＋1)＋(k＋4)×2(k－3)＝0，即k2－9＝0，解得k＝3或k＝－3.
2.若直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0与l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，则实数k的值是(　　)A.3或－3 B.3或4C.－3或－1 D.－1或4
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
3.经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为_______________.
由点斜式得所求直线方程为
法二　由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0.
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
法三　由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.①又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
解析　若l1∥l2则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合，∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故B正确；
4.(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　)
解析　由题意得，点P到直线的距离为
(2)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10].
∴a＝－4，c≠－2，
∵直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，
训练1 (1)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围为________.
解析　设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，
(2)(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为(　　)A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
解析　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
例2 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为______________.
解析　设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
例3 已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________________.
又反射光线经过点N(2，6)，
解析　设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
例4 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________.
∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
解　设A′(x，y)，
训练2 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
解　在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上.设对称点为M′(a，b)，
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
得N(4，3).又m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.解　法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二　设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y).∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
解析　由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线l过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11，因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
例5 (1)与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程为______________.
角度1　平行、垂直直线系
解析　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0.又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.
(2)经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为__________.
解　法一　解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，
例6 已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
角度2　过两直线交点的直线系
法二　设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0，由法一可知P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
法三　设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
训练3 求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.解　设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0.由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线距离相等，
整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，
所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
解析　设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，
1.如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，∴直线l2的斜率不存在.
解析　过点(0，7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7.
2.已知直线l过点(0，7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为(　　)A.y＝－4x－7 B.y＝4x－7C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
3.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为(　　)
解析　由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2，∴垂足坐标为(1，－2).又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，得n＝－12.
4.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　)A.－12 B.－2 C.0 D.10
解析　设点A(a，b)，
5.已知点A与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为(　　)A.(3，4) B.(4，5)C.(－4，－3) D.(－5，－4)
解得a＝－5，b＝－4，则点A的坐标为(－5，－4).
解析　若A，B位于直线l的同侧，则直线l∥AB.
6.过点P(1，2)作直线l，若点A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线l的方程为(　　)A.4x＋y－6＝0或x＝1B.3x＋2y－7＝0C.4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0D.3x＋2y－7＝0或x＝1
∴直线l的方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；
综上，直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
若A，B位于直线l的两侧，则直线l必经过线段AB的中点(3，－1)，
解析　对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a＝0或a＝－1，不正确；对于C，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点(0，1)，正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在两轴上的截距分别是－1，1，不正确.
7.(多选)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是(　　)A.当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直B.若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0C.直线l过定点(0，1)D.当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
解析　在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
9.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是______________.
解析　法一　两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0，此时A到直线l的距离为3，符合题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.
10.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为_________________________.
x＝2或4x－3y－5＝0
综上知，所求直线方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0.
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
法二　经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
又直线AB的斜率kAB＝1，x轴是∠A的平分线，所以kAC＝－1，则AC边所在的直线方程为y＝－(x＋1).①
11.在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，则点A的坐标为____________，点C的坐标为____________.
所以点A的坐标为(－1，0).
又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，故直线BC的斜率kBC＝－2，所以BC边所在的直线方程为y－2＝－2(x－1).②
即点C的坐标为(5，－6).
解析　令A(0，2)，B(4，0)，C(7，3)，D(m，n).根据题意，得折痕为A，B的对称轴，也是CD的对称轴.
13.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n等于(　　)
所以图纸的折痕所在的直线方程为y－1＝2(x－2)，
解析　对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0，1)；l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确；
14.(多选)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　 )A.不论a为何值时，l1与l2都互相垂直B.当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)C.不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
对于C，在l1上任取点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，代入l2：x＋ay＋1＝0，则等式左边不等于0，故C不正确；
解析　易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两动直线都垂直，所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).
15.设m∈R，若过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.
解析　设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.
16.已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________.
在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.
设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，