高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4.3 不同函数增长的差异课前预习ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4.3 不同函数增长的差异课前预习ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了ax的增长，xn的增长，ax＞xn，logax＜xn，速度不同，微思考，预习自测等内容，欢迎下载使用。

| 自 学 导 引 |
　　　　三类不同增长的函数模型的比较1．三类常见不同函数增长的差异
2．函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)增长速度的对比(1)对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于____________快于____________，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有____________．
(2)对于对数函数y＝lgax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，lgax可能会大于xn，但由于lgax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有____________．(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都单调递增，但它们的增长____________，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有________________．
lgax＜xn＜ax　
在函数y＝3x，y＝lg3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是哪一个函数？【提示】y＝3x．
| 课 堂 互 动 |
题型1　几类函数模型的增长差异　　　　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)A．y＝2 020xB．y＝x2 020C．y＝lg2 020xD．y＝2 020x
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
则关于x呈指数型函数变化的变量是____________．【答案】(1)A　(2)y2
【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数的增长速度最快．故选A．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlgax＋n(m，n，a为常数，m＞0，x＞0，a＞1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定．
【答案】A【解析】指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，并且a的值越大，增长速度越快．故选A．
题型2　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较　　　　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x．(2)因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，所以1＜x1＜2，9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2，2 020＞x2，从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，所以f(6)＜g(6)．当x＞x2时，f(x)＞g(x)，所以f(2 020)＞g(2 020)．又因为g(2 020)＞g(6)，所以f(2 020)＞g(2 020)＞g(6)＞f(6)．
【例题迁移】　(变换条件)在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)题呢？解：由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知，C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x．
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
题型3　函数模型的选择问题　　　　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)．现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
再将x＝4分别代入①与②式得，f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
2．某人对某种松树的生长进行了研究，搜集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据如下表所示，选择h＝mt＋b与h＝lga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合，并预测第八年的松树的高度．
解：由表可以看出增长速度越来越慢，用对数函数模型合理．把(2，1)代入h＝lga(t＋1)中，得a＝3．故h＝lg3(t＋1)．当t＝8时，h＝2．故可预测第8年松树高2米．
| 素 养 达 成 |
三种函数模型的选取(体现了数学建模核心素养)．(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．
1．(题型2)如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(　　)  A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型【答案】A【解析】随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A．
2．(题型1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是(　　)A．y＝3xB．y＝lg3xC．y＝x3D．y＝3x【答案】D【解析】几种函数模型中，指数函数增长最快．故选D．
3．(题型3)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)【答案】D【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝lg1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．(题型2)以下说法正确的是(　　)A．幂函数的增长速度一定比一次函数快B．∀x＞0，xn＞lgaxC．∀x＞0，ax＞lgaxD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞lgax【答案】D