湖北省武汉市部分高中2025届高三起点考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市部分高中2025届高三起点考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限
3．已知向量,,满足,,则( )
A.B.C.20D.5
4．若,为第二象限角,则( )
A.B.C.D.
5．已知双曲线的右顶点为A,若以点A为圆心,以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
6．若曲线的一条切线为（e为自然对数的底数）,其中a,b为正实数,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知数列的前n项和为,则( )
A.若为等差数列,且,,则,
B.若为等差数列,且,,则,
C.若为等比数列,且,则
D.若为等比数列,且,则
8．已知奇函数的定义域为R,对任意的x满足,且在区间上单调递增,若,,,则,,的大小关系为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．下列论述正确的有( )
A.若A,B两组成对数据的样本相关系数分别为,,则A组数据比B组数据的相关性较强
B.数据,,,,,,,的第60百分位数为38
C.若随机变量,且,则
D.若样本数据,,,的方差为1,则数据,,,的方差为4
10．已知函数,则( )
A.关于直线对称
B.的最大值为
C.在上不单调
D.在,方程（m为常数）最多有4个解
11．已知圆,斜率为k的直线l经过圆O内与O点不重合且不在坐标轴上的一个定点P,且与圆O相交于A、B两点,下列选项中正确的是( )
A.若r为定值,则存在k,使得
B.若k为定值,则存在r,使得
C.若r为定值,则存在k,使得圆O上恰有三个点到l的距离均为
D.若k为定值,则存在r,使得圆O上恰有三个点到l的距离均为
三、填空题
12．设椭圆的左、右焦点分别为,,P是C上的点,,,则C的离心率为________.
13．已知正三棱锥,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为______________.
14．为锐角三角形,其三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,则周长的取值范围为_______________.
四、解答题
15．如图,四棱锥中,底面,,,,.
(1)求证：平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
16．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行,赛期10天,共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项,329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开,武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动,努力让大家更多的了解军运会的相关知识,并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况,在全市开展了网上问卷调查,民众参与度极高,现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者,他们得分（满分100分）数据,统计结果如下：
(1)若此次问卷调查得分整体服从正态分布,用样本来估计总体,设,分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表）,求,的值（,的值四舍五入取整数）,并计算;
(2)在(1)的条件下,为感谢大家参与这次活动,市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会,得分不低于的可获得2次抽奖机会,在一次抽奖中,抽中价值为15元的纪念品A的概率为,抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者,记Y为他参加活动获得纪念品的总价值,求Y的分布列和数学期望.
（参考数据：;;.）
17．已知曲线C上的点到点的距离比到直线的距离小2,O为坐标原点.直线过定点.
(1)直线l与曲线C仅有一个公共点,求直线的方程;
(2)曲线C与直线l交于M,N两点,试分别判断直线,的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由.
18．已知函数与函数,其中.
(1)求的单调区间;
(2)若,求a的取值范围;
(3)若曲线与x轴有两个不同的交点,求证：曲线与曲线共有三个不同的交点.
19．定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形成新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”,例如：数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到数列1,3,2,5,3;第二次“和扩充”后得到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3,设数列a,b,c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为,所有项的和为.
(1)若,,,求;
(2)若,求正整数n的最小值;
(3)是否存在数列a,b,,使得数列为等比数列？请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由,得或,而,
所以.
故选：B.
2．答案：A
解析：,
故,故在复平面内对应的点在第四象限.
故选：A.
3．答案：A
解析：,
,
故.
故选：A.
4．答案：B
解析：由,有为第二象限角,则,
故.
故选：B.
5．答案：B
解析：不妨设该圆与渐近线分别交于M、N点,
则,故,则,
设,则,
则有,
,
即有,则有,即,
故,即,
即,即,
故有,即,故,即.
故选：B.
6．答案：C
解析：,
设点为,则,
,,
a,b,
原式,当且仅当,
即,时等号成立,
即.
故选:C.
7．答案：D
解析：设等差数列的公差为d,
对于A,若为等差数列,且,,,,,,
则,,
,无法判断符号,A错误;
对于B,若,,,,
,则,
,则,则,,,B错误;
设等比数列的公比为,
对于C,若为等比数列,且,,,
若时,则,,,故C错误;
对于D,若为等比数列,且,,
当时,则,
当时,则;
若时,,,,;
若时,,,,;
若时,,,,;D正确.
故选：D.
8．答案：D
解析：因为对任意的x满足,所以关于对称,
又因为奇函数的定义域为R,所以,
则,则的周期为4,
因为在区间上单调递增,所以在区间上单调递增,
,,
,
,,
又,,
所以,即,
故选：D.
9．答案：BCD
解析：对于A中,若A,B两组成对数据的样本相关系数分别为,,因为,所以B组数据比A组数据的相关性较强,A错误;
对于B,数据排序,,,,,,,共8个数据,则,所以数据的第60百分位数为38,B正确;
对于C,若随机变量,且,根据正态分布的对称性,,则,C正确;
对于D,样本数据,,,的方差为1,则数据,,,的方差为,D正确.
故选：BCD.
10．答案：BCD
解析：若,则,
即,即,,
故,,
故其图象如图所示：
对A：由图象可得不关于直线对称,故A错误;
对B：由图象可得的最大值为,故B正确;
对C：当时,,
则在上单调递增,在上单调递减,故C正确;
对D：由图象,当时,方程在有4个解,
在时,方程在少于4个解,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：AC
解析：如图,
当P为弦AB中点时,,A 正确,B错误;
因为与l距离为非零定值的所有点的轨迹是与l平行的两条平行线,
若r为定值,当k趋向于0时,两条平行线与l的距离趋向于0,都与圆相交,
当k趋向于无穷大时,两条平行线与l的距离趋向于无穷大,都与圆相离.
由于P点在圆内且与O点不重合,前面两个极限状态之间必然存在一条平行线与圆相交而另一条平行线与圆相切的情况,
此时圆O上恰有三个点到l的距离均为,符合题意,C正确;
若k为定值,当圆O上恰有三个点到l的距离均为时,l的两条平行线中一条与圆相切,一条与圆相交.设原点O与l的距离为d ,直线OP与l的夹角为 ,此时,
即,由于,所以,所以,故当时,不存在圆O上恰有三个点到l的距离均为,故D错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：在中，设，因为，所以，.
故.故答案为：
13．答案：
解析：正三棱锥可看作由正方体截得,如图所示,
PF为三棱锥的外接球的直径,且,设正方体棱长为a,
则,,,
由,得,所以,
因为球心到平面ABC的距离为.
14．答案：
解析：由正弦定理可得,
则,,
则周长为
,
由为锐角三角形,则,解得,
故,则,
即周长的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)底面,平面,,
,,
又,,平面,
平面;
(2)令,取的中点E,由,,则,
又,故三角形是正三角形,
,,
又底面,,平面,,
在中,,,所以,
以A为坐标原点,,,所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
设平面的一个法向量为,
则,即,
令,则,,故,
设平面的一个法向量为,
则,即,
令,则,,即,
所以,
即二面角的余弦值为.
16．答案：(1),;;
(2)分布列见解析;期望为30.
解析：(1)由已知得,
,
由,则,而,所以,则X服从正态分布,
所
;
(2)显然,,
所以所有Y的取值为15,30,45,60,
,
,
,
,
所以Y的分布列为：
所以.
17．答案：(1)或或
(2)斜率之和为定值､斜率之积不是定值
解析：(1)曲线C上的点到点的距离比到直线的距离小2,
故曲线C上的点到点的距离与到直线的距离相等,
故曲线C为以为焦点,直线为准线的抛物线,
即有,
过点的直线l与抛物线C仅有一个公共点,
若直线l可能与抛物线C的对称轴平行时,则有：,
若直线l与抛物线C相切时,易知：是其中一条直线,
另一条直线与抛物线C上方相切时,不妨设直线l的斜率为k,设为,
联立可得：,
则有：,解得：,
故此时的直线l的方程为：,
综上,直线l的方程为：或或;
(2)若l与C交于M,N两点,分别设其坐标为,,且,
由（1）可知直线l要与抛物线C有两个交点,则直线l的斜率存在且不为0,
不妨设直线l的斜率为k,则有：,
联立直线l与抛物线C可得：,可得：,
即有,
根据韦达定理可得：,,
则有：,,
则,故为定值;故不为定值;
综上：为定值-4,不为定值.
18．答案：(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)的定义域为：,
又已知,,
所以时,,单调递减;
时,,单调递增;
(2)由题意：,即,
若,不等式恒成立,若,即,
令,,
当时,单调递增,
当时,,单调递减,
故,故a的取值范围为;
(3)曲线与轴有两个不同的交点,即函数有两个不同的零点,,
不妨令,由（2）知,a的取值范围为,
且由得,
同理得曲线与曲线共有两个不同的交点,,
下面证明这两条曲线还有一个交点,
令,
,
令,则,
,令,
则恒成立,则单调递增,
又,
令,得,
故存在,使得在上单调递减,在单调递增,
,,,
故有两个零点,,,
令,,即有且只有两个极值点,,
所以在上单调增,在上单调减,在上单调增,
又,若,,
由得,与题设矛盾,所以,
同理,,不可能在同一单调区间,,,
故有,,
所以在间存在唯一的使得,即两条曲线还有一个交点,
故曲线与曲线共有三个不同的交点.
19．答案：(1),
(2)10
(3)存在,且或
解析：(1),,,第一次“和扩充”后得到数列2,5,3,7,4,
第二次“和扩充”后得到数列2,7,5,8,3,10,7,11,4,
,;
(2)数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项,
数列a,b,c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为,
则经第次“和扩充”后增加的项数为,
所以,所以,
其中数列a,b,c经过1次“和扩充”后,得到a,,b,,c,
故,,故是首项为4,公比为2的等比数列,
所以,故,
则,即,
又,解得,最小值为10;
(3)因为,
,依次类推,,
故
,
若使为等比数列,则或.
组别
频数
5
30
40
50
45
20
10
Y
15
30
45
60
P