新高考数学一轮复习讲义第2章　§2.8　对数与对数函数（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1， SKIPIF 1 < 0 ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)对数换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．lgab·lgba＝1， SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(n,m)lgab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则lgaM＝lgaN.( )
(2)函数y＝lga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．( )
(3)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(4)函数y＝lg2x与y＝ SKIPIF 1 < 0 的图象重合．( )
教材改编题
1．若函数f(x)＝lg2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为( )
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
2．函数y＝lga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
3．eln 2＋eq \f(lg2 02216,lg2 0224)＝________.
题型一 对数式的运算
例1 (1)若2a＝5b＝10，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值是( )
A．－1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(7,10) D．1
(2)计算：lg535＋ SKIPIF 1 < 0 －lg5eq \f(1,50)－lg514＝________.
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
跟踪训练1 (1)已知2a＝3，b＝lg85，则4a－3b＝________.
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋eq \f(1,2)lg 4－lg34×lg23＝________.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0