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新高考数学一轮复习讲义第2章 必刷小题3 基本初等函数（2份打包，原卷版+含解析）
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1．函数f(x)＝eq \f(1,\r(x－1))＋lg(3－x)的定义域为( )
A．[1,3) B．(1,3)
C．(－∞，1)∪[3，＋∞) D．(－∞，1]∪(3，＋∞)
答案 B
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,x－1>0，))解得12．(2023·苏州质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x，x≤0，,lg x，x>0，))则f(f(1))等于( )
A．0 B.eq \f(1,10) C．1 D．10
答案 C
解析 f(f(1))＝f(lg 1)＝f(0)＝100＝1.
3．函数y＝2＋lg2(x2＋3)(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)
答案 C
解析 令t＝x2＋3≥4，因为y＝2＋lg2t在[4，＋∞)上单调递增，
所以y≥2＋lg24＝4，所以y＝2＋lg2(x2＋3)(x≥1)的值域为 [4，＋∞)．
4．函数y＝3－x与y＝lg3(－x)的图象可能是( )
答案 C
解析 函数y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x为R上的减函数，排除A，B选项，函数y＝lg3(－x)的定义域为(－∞，0)，内层函数u＝－x为减函数，外层函数y＝lg3u为增函数，故函数y＝lg3(－x)为(－∞，0)上的减函数，排除D选项．
5．已知a＝lg3eq \r(2)，b＝e0.1，c＝ SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．c答案 B
解析 a＝lg3eq \r(2)e0＝1，c＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(\r(3),3)，故a6．(2023·长沙模拟)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋eq \f(a,2x)，若f(e)＋f(0)＝－3，e是自然对数的底数，则f(－1)等于( )
A．e B．2e C．3e D．4e
答案 D
解析 依题意得f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，因为f(e)＋f(0)＝－3，所以f(e)＝ln e＋eq \f(a,2e)＝－3，解得a＝－8e，所以当x>0时，f(x)＝ln x－eq \f(4e,x)，所以f(－1)＝－f(1)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln 1－\f(4e,1)))＝4e.
7．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2a－1x＋3a，x≤2，,－lga2x－3，x>2))是R上的减函数，那么a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，6)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞))
C．[1,6] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))
答案 A
解析 因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2a－1x＋3a，x≤2，,－lga2x－3，x>2))是R上的减函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2a－1,2)≥2，,a>1，,4－22a－1＋3a≥0，))解得eq \f(5,2)≤a≤6.
8．已知函数f(x)＝2 022x＋ln(eq \r(x2＋1)＋x)－2 022－x＋1，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)>2的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
答案 C
解析 因为f(x)＝2 022x＋ln(eq \r(x2＋1)＋x)－2 022－x＋1，所以f(－x)＝2 022－x＋ln(eq \r(x2＋1)－x)－2 022x＋1，因此f(x)＋f(－x)＝ln(x2＋1－x2)＋2＝2，因此关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)>2，可化为f(2x－1)>2－f(2x)＝f(－2x)，又y＝2 022x－2 022－x单调递增，y＝ln(eq \r(x2＋1)＋x)单调递增，所以f(x)＝2 022x＋ln(eq \r(x2＋1)＋x)－2 022－x＋1在R上单调递增，所以有2x－1>－2x，解得x>eq \f(1,4).
二、多项选择题
9．已知实数a，b，c满足a>1>b>c>0，则下列说法正确的是( )
A．aa>bb B．lgcaC．lgca答案 AC
解析 ∵a>1>b>c>0，∴aa>ab>bb， SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 ，故A选项正确，D选项不正确；
又lgaclgba，故B选项不正确；
∵lgca<0，ac>0，∴lgca10．已知函数f(x)＝2x＋eq \f(1,2x)，则( )
A．f(lg23)＝eq \f(4,3)
B．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增
C．f(x)为偶函数
D．f(x)的最小值为2
答案 CD
解析 f(lg23)＝ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝3＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)，A错误；
令2x＝t(t>0)，则函数为g(t)＝t＋eq \f(1,t)，由对勾函数的性质可知g(t)＝t＋eq \f(1,t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故g(t)＝t＋eq \f(1,t)在t＝1处取得最小值，g(t)min＝g(1)＝2，所以f(x)的最小值为2，故B错误，D正确；
f(x)＝2x＋eq \f(1,2x)的定义域为R，且f(－x)＝2－x＋eq \f(1,2－x)＝2x＋eq \f(1,2x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故C正确．
11．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，若x1A．当x1＋x2>2时，f(x1)B．当x1＋x2＝2时，f(x1)＝f(x2)
C．当x1＋x2>2时，f(x1)>f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小关系与a有关
答案 AB
解析 函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
当x1＋x2＝2时，x1与x2的中点为1.∴f(x1)＝f(x2)，选项B正确；
当x1＋x2>2时，x1与x2的中点大于1，又x1显然当a>0时，f(x1)与f(x2)的大小与x1，x2离对称轴的远近有关系，但与a无关，选项D错误．
12．已知2a＋a＝lg2b＋b＝lg3c＋c，则下列关系可能成立的是( )
A．aC．a答案 ABC
解析 依题意，令2a＋a＝lg2b＋b＝lg3c＋c＝k，则2a＝－a＋k，lg2b＝－b＋k，lg3c＝－c＋k，令y＝2x，y＝lg2x，y＝lg3x和y＝－x＋k，则a，b，c可分别视为函数y＝2x，y＝lg2x，y＝lg3x的图象与直线y＝－x＋k交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝lg2x，y＝lg3x和y＝－x＋k的图象，如图，
观察图象得，当k<1时，a1时，a显然c三、填空题
13. SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＋π0－eq \r(3,125)＋ SKIPIF 1 < 0 3＋2lg 4＋lg eq \f(5,8)＋e3ln 2＝________.
答案 eq \f(19,4)
解析 原式＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＋1－5－eq \f(1,2)lg33＋4lg 2＋lg 5－lg 8＋eln 8
＝eq \f(9,4)－2＋1－5－eq \f(1,2)＋3lg 2＋(lg 2＋lg 5)－3lg 2＋8＝eq \f(9,4)－2＋1－5－eq \f(1,2)＋1＋8＝eq \f(19,4).
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________________.
①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)； ②f(－x)＝f(x)；
③任取x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)>0.
答案 ln|x|(答案不唯一)
解析 由题设，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且为偶函数，f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，结合对数的运算性质及对数函数的性质，易知f(x)＝ln|x|符合要求．
15．若函数f(x)＝a·bx＋c在区间[0，＋∞)上的值域是[－2,1)，则ac＝________.
答案 －3
解析 因为x∈[0，＋∞)，f(x)＝a·bx＋c∈[－2,1)，所以016．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω(cm)和厚度x(cm)有以下关系：n≤eq \f(2,3)lg2eq \f(ω,x).现有一张长边为30 cm，厚度为0.01 cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，eq \f(ω,x)的最小值为________，该矩形纸最多能对折________次．(参考数值：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
答案 64 7
解析 由n≤eq \f(2,3)lg2eq \f(ω,x)可知，当对折完4次时，即eq \f(2,3)lg2eq \f(ω,x)≥4，即lg2eq \f(ω,x)≥6，∴eq \f(ω,x)≥64，即eq \f(ω,x)的最小值为64.由题知n≤eq \f(2,3)lg2eq \f(30,0.01)＝eq \f(2,3)lg23 000＝eq \f(2,3)×eq \f(lg 3＋3,lg 2)≈eq \f(2,3)×eq \f(0.48＋3,0.30)≈7.7，故矩形纸最多能对折7次．
1．函数f(x)＝eq \f(1,\r(x－1))＋lg(3－x)的定义域为( )
A．[1,3) B．(1,3)
C．(－∞，1)∪[3，＋∞) D．(－∞，1]∪(3，＋∞)
答案 B
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,x－1>0，))解得1
A．0 B.eq \f(1,10) C．1 D．10
答案 C
解析 f(f(1))＝f(lg 1)＝f(0)＝100＝1.
3．函数y＝2＋lg2(x2＋3)(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)
答案 C
解析 令t＝x2＋3≥4，因为y＝2＋lg2t在[4，＋∞)上单调递增，
所以y≥2＋lg24＝4，所以y＝2＋lg2(x2＋3)(x≥1)的值域为 [4，＋∞)．
4．函数y＝3－x与y＝lg3(－x)的图象可能是( )
答案 C
解析 函数y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x为R上的减函数，排除A，B选项，函数y＝lg3(－x)的定义域为(－∞，0)，内层函数u＝－x为减函数，外层函数y＝lg3u为增函数，故函数y＝lg3(－x)为(－∞，0)上的减函数，排除D选项．
5．已知a＝lg3eq \r(2)，b＝e0.1，c＝ SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
解析 a＝lg3eq \r(2)
A．e B．2e C．3e D．4e
答案 D
解析 依题意得f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，因为f(e)＋f(0)＝－3，所以f(e)＝ln e＋eq \f(a,2e)＝－3，解得a＝－8e，所以当x>0时，f(x)＝ln x－eq \f(4e,x)，所以f(－1)＝－f(1)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln 1－\f(4e,1)))＝4e.
7．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2a－1x＋3a，x≤2，,－lga2x－3，x>2))是R上的减函数，那么a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，6)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞))
C．[1,6] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))
答案 A
解析 因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2a－1x＋3a，x≤2，,－lga2x－3，x>2))是R上的减函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2a－1,2)≥2，,a>1，,4－22a－1＋3a≥0，))解得eq \f(5,2)≤a≤6.
8．已知函数f(x)＝2 022x＋ln(eq \r(x2＋1)＋x)－2 022－x＋1，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)>2的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
答案 C
解析 因为f(x)＝2 022x＋ln(eq \r(x2＋1)＋x)－2 022－x＋1，所以f(－x)＝2 022－x＋ln(eq \r(x2＋1)－x)－2 022x＋1，因此f(x)＋f(－x)＝ln(x2＋1－x2)＋2＝2，因此关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)>2，可化为f(2x－1)>2－f(2x)＝f(－2x)，又y＝2 022x－2 022－x单调递增，y＝ln(eq \r(x2＋1)＋x)单调递增，所以f(x)＝2 022x＋ln(eq \r(x2＋1)＋x)－2 022－x＋1在R上单调递增，所以有2x－1>－2x，解得x>eq \f(1,4).
二、多项选择题
9．已知实数a，b，c满足a>1>b>c>0，则下列说法正确的是( )
A．aa>bb B．lgca
解析 ∵a>1>b>c>0，∴aa>ab>bb， SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 ，故A选项正确，D选项不正确；
又lgac
∵lgca<0，ac>0，∴lgca
A．f(lg23)＝eq \f(4,3)
B．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增
C．f(x)为偶函数
D．f(x)的最小值为2
答案 CD
解析 f(lg23)＝ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝3＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)，A错误；
令2x＝t(t>0)，则函数为g(t)＝t＋eq \f(1,t)，由对勾函数的性质可知g(t)＝t＋eq \f(1,t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故g(t)＝t＋eq \f(1,t)在t＝1处取得最小值，g(t)min＝g(1)＝2，所以f(x)的最小值为2，故B错误，D正确；
f(x)＝2x＋eq \f(1,2x)的定义域为R，且f(－x)＝2－x＋eq \f(1,2－x)＝2x＋eq \f(1,2x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故C正确．
11．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，若x1
C．当x1＋x2>2时，f(x1)>f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小关系与a有关
答案 AB
解析 函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
当x1＋x2＝2时，x1与x2的中点为1.∴f(x1)＝f(x2)，选项B正确；
当x1＋x2>2时，x1与x2的中点大于1，又x1
12．已知2a＋a＝lg2b＋b＝lg3c＋c，则下列关系可能成立的是( )
A．a
解析 依题意，令2a＋a＝lg2b＋b＝lg3c＋c＝k，则2a＝－a＋k，lg2b＝－b＋k，lg3c＝－c＋k，令y＝2x，y＝lg2x，y＝lg3x和y＝－x＋k，则a，b，c可分别视为函数y＝2x，y＝lg2x，y＝lg3x的图象与直线y＝－x＋k交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝lg2x，y＝lg3x和y＝－x＋k的图象，如图，
观察图象得，当k<1时，a
13. SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＋π0－eq \r(3,125)＋ SKIPIF 1 < 0 3＋2lg 4＋lg eq \f(5,8)＋e3ln 2＝________.
答案 eq \f(19,4)
解析 原式＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＋1－5－eq \f(1,2)lg33＋4lg 2＋lg 5－lg 8＋eln 8
＝eq \f(9,4)－2＋1－5－eq \f(1,2)＋3lg 2＋(lg 2＋lg 5)－3lg 2＋8＝eq \f(9,4)－2＋1－5－eq \f(1,2)＋1＋8＝eq \f(19,4).
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________________.
①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)； ②f(－x)＝f(x)；
③任取x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)>0.
答案 ln|x|(答案不唯一)
解析 由题设，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且为偶函数，f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，结合对数的运算性质及对数函数的性质，易知f(x)＝ln|x|符合要求．
15．若函数f(x)＝a·bx＋c在区间[0，＋∞)上的值域是[－2,1)，则ac＝________.
答案 －3
解析 因为x∈[0，＋∞)，f(x)＝a·bx＋c∈[－2,1)，所以0
答案 64 7
解析 由n≤eq \f(2,3)lg2eq \f(ω,x)可知，当对折完4次时，即eq \f(2,3)lg2eq \f(ω,x)≥4，即lg2eq \f(ω,x)≥6，∴eq \f(ω,x)≥64，即eq \f(ω,x)的最小值为64.由题知n≤eq \f(2,3)lg2eq \f(30,0.01)＝eq \f(2,3)lg23 000＝eq \f(2,3)×eq \f(lg 3＋3,lg 2)≈eq \f(2,3)×eq \f(0.48＋3,0.30)≈7.7，故矩形纸最多能对折7次．
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