新高考数学一轮复习讲义第4章　必刷大题9　解三角形（2份打包，原卷版+含解析）

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(1)求角C；
(2)若c＝6，△ABC的面积S＝6bsin B，求S.
解 (1)因为A＋B＋C＝π，所以cs(B＋C)＝－cs A，
所以2ccs C＝acs B＋bcs A，
由正弦定理得2sin Ccs C＝sin Acs B＋sin Bcs A＝sin(A＋B)．
因为sin(A＋B)＝sin C，所以2sin Ccs C＝sin C.
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cs C＝eq \f(1,2)，则C＝eq \f(π,3).
(2)由S＝6bsin B，根据面积公式得6bsin B＝eq \f(1,2)acsin B＝3asin B，所以a＝2b.
由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，
整理得a2＋b2－ab＝36，即3b2＝36，
所以b＝2eq \r(3)，a＝4eq \r(3).
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)sin eq \f(π,3)＝6eq \r(3).
2.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，eq \f(4\r(5),5)a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcs C)．
(1)求sin C的值；
(2)在BC的延长线上有一点D，使得∠DAC＝eq \f(π,4)，AD＝10，求AC，CD.
解 (1)在锐角△ABC中，eq \f(4\r(5),5)a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcs C)，
由正弦定理得eq \f(4\r(5),5)sin A＝2sin Bsin Ccs C＋2sin C(sin A－sin Bcs C)＝2sin Asin C，而sin A>0，
所以sin C＝eq \f(2\r(5),5).
(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)得cs∠ACB＝eq \r(1－sin2∠ACB)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq \f(\r(5),5)，
sin∠ADC＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∠ACB－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(sin∠ACB－cs∠ACB)＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)－\f(\r(5),5)))＝eq \f(\r(10),10)，
在△ACD中，由正弦定理得eq \f(CD,sin∠DAC)＝eq \f(AD,sinπ－∠ACB)＝eq \f(AC,sin∠ADC)，
即eq \f(CD,\f(\r(2),2))＝eq \f(AC,\f(\r(10),10))＝eq \f(10,\f(2\r(5),5))＝5eq \r(5)，解得CD＝eq \f(5\r(10),2)，AC＝eq \f(5\r(2),2)，
所以CD＝eq \f(5\r(10),2)，AC＝eq \f(5\r(2),2).
3．(2023·德州模拟)在①asin B＝bsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))；②(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C；
③eq \r(3)bsin eq \f(B＋C,2)＝asin B三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________．
(1)求角A；
(2)若A的角平分线AD长为1，且b＋c＝6，求sin Bsin C的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)选①：由asin B＝bsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))得，
sin Asin B＝sin Bsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3))).
即sin A＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))，
则A＝A－eq \f(π,3)(舍)或A＋A－eq \f(π,3)＝π，
所以A＝eq \f(2π,3).
选②：由(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C得，
(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，
即b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，
又A∈(0，π)，所以A＝eq \f(2π,3).
选③：由eq \r(3)bsin eq \f(B＋C,2)＝asin B得，eq \r(3)sin eq \f(B＋C,2)＝sin A，
即eq \r(3)cs eq \f(A,2)＝2sin eq \f(A,2)cs eq \f(A,2)，
因为cs eq \f(A,2)≠0，所以sin eq \f(A,2)＝eq \f(\r(3),2)，
又A∈(0，π)，所以A＝eq \f(2π,3).
(2)由S△ABD＋S△ADC＝S△ABC得，eq \f(\r(3),4)(b＋c)＝eq \f(\r(3),4)bc，
即bc＝b＋c＝6，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝(b＋c)2－bc＝36－6＝30，
解得a＝eq \r(30)，
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R＝2eq \r(10)，即R＝eq \r(10)，
所以sin Bsin C＝eq \f(bc,4R2)＝eq \f(6,40)＝eq \f(3,20).
所以sin Bsin C的值为eq \f(3,20).
4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足bcs C＋eq \r(3)bsin C－a－c＝0.
(1)求B；
(2)若b＝2，求锐角△ABC的周长l的取值范围．
解 (1)由bcs C＋eq \r(3)bsin C－a－c＝0，
可得sin Bcs C＋eq \r(3)sin Bsin C－sin A－sin C＝0
⇒sin Bcs C＋eq \r(3)sin Bsin C－sin(B＋C)－sin C＝0
⇒sin Bcs C＋eq \r(3)sin Bsin C－sin Bcs C－cs Bsin C－sin C＝0
⇒eq \r(3)sin Bsin C－cs Bsin C－sin C＝0
⇒eq \r(3)sin B－cs B＝1
⇒sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，
因为B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以B＝eq \f(π,3).
(2)因为B＝eq \f(π,3)，b＝2，
利用正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(2,sin \f(π,3))＝eq \f(4\r(3),3)，
所以a＝eq \f(4\r(3),3)sin A，c＝eq \f(4\r(3),3)sin C，
所以l＝a＋b＋c＝2＋eq \f(4\r(3),3)(sin A＋sin C)，
所以l＝2＋eq \f(4\r(3),3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin A＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))))
＝2＋4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))，
因为△ABC是锐角三角形，所以0