新高考数学一轮复习讲义第5章　§5.2　平面向量基本定理及坐标表示（2份打包，原卷版+含解析）

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3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( )
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0.( )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( )
教材改编题
1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(2，－3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为( )
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
3．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是( )
A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EO,\s\up6(→))，则eq \(ED,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
C.eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))
(2)已知在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，若eq \(BP,\s\up6(→))＝xa＋yb，则x＋y＝________.
思维升华
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
跟踪训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb
C．若eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
(2)如图，已知平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，C(0,1)，若eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，则点D的坐标为( )
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(6,5) B.eq \f(8,5)
C．2 D.eq \f(8,3)
思维升华
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
跟踪训练2 (1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且eq \(PN,\s\up6(→))＝－2eq \(PM,\s\up6(→))，则P点的坐标为( )
A．(2,4) B．(－14,16)
C．(6,1) D．(22，－11)
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b))表示c，则( )
A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
题型三 向量共线的坐标表示
命题点1 利用向量共线求参数
例3 已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(6,1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3)，eq \(BC,\s\up6(→))∥eq \(DA,\s\up6(→))，则x＋2y的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标
例4 设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(AP,\s\up6(→))|，则点P的坐标为( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练3 (1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(7,4) D.eq \f(7,5)
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝eq \f(π,3)，若m＝(c－eq \r(6)，a－b)，n＝(a－b，c＋eq \r(6))，且m∥n，则△ABC的面积为( )
A．3 B.eq \f(9\r(3),2) C.eq \f(3\r(3),2) D．3eq \r(3)
课时精练
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1－2e2与－e1＋2e2
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知点P是△ABC所在平面内一点，且eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则( )
A.eq \(PA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(PA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→)) D.eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
4．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A.eq \r(5) B.eq \r(6) C.eq \r(17) D.eq \r(26)
5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧 SKIPIF 1 < 0 上的两个三等分点，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(BD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)a－b B．a－eq \f(1,2)b
C．－eq \f(1,2)a＋b D．－a＋eq \f(1,2)b
6．(多选)若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是( )
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少有一个为0
7.如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AC,\s\up6(→))＋yeq \(BQ,\s\up6(→))，则x等于( )
A.eq \f(11,13) B.eq \f(6,5)
C.eq \f(5,6) D.eq \f(3,2)
8．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m不可能是( )
A．－2 B.eq \f(1,2) C．1 D．－1
9．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2,0)，若向量ma＋b与2a－nb共线，则mn＝________.
10．若在△ABC中，AB＝eq \r(2)，∠ABC＝eq \f(π,4)，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________.
11．在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，eq \(BM,\s\up6(→))＝a，eq \(BN,\s\up6(→))＝b，则eq \(BD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(2,3)a＋eq \f(3,4)b D.eq \f(3,4)a＋eq \f(3,4)b
12．在△ABC中，D是直线AB上的点．若2eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋λeq \(CA,\s\up6(→))，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则eq \f(S1,S2)等于( )
A.eq \f(λ,6) B.eq \f(λ,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
13．已知0<θ<π，向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ，2cs2\f(θ,2)))，b＝(1，sin θ)，且a∥b，则θ＝________.
14．如图，扇形的半径为1，且eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，点C在弧AB上运动，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则2x＋y的最小值是________．
15．(多选)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0,1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有( )
A．{(x，y)|y≥ex} B．{(x，y)|y≥ln x}
C．{(x，y)|x＋2y－1≥0} D．{(x，y)|x2＋y2≤1}
16.如图，矩形LMNK，LM＝6，sin∠MLN＝eq \f(2,3)，⊙E的半径为1，且E为NK的中点，P为圆E上的动点，设eq \(MP,\s\up6(→))＝λeq \(ML,\s\up6(→))＋μeq \(MN,\s\up6(→))，则λ＋μ的最小值是________．