新高考数学一轮复习讲义第5章　§5.4　平面向量的综合应用（2份打包，原卷版+含解析）

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题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)如图，在△ABC中，cs∠BAC＝eq \f(1,4)，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝eq \f(\r(15),2)，则△ABC的面积的最大值为________．
(2)在△ABC中，eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，D是AC的中点，eq \(CB,\s\up6(→))＝2eq \(BE,\s\up6(→))，试用a，b表示eq \(DE,\s\up6(→))为________，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，则∠ACB的最大值为________．
思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题eq \(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq \(――→,\s\up7(计算))解决向量问题eq \(――→,\s\up7(还原))解决几何问题．
跟踪训练1
(1)在△ABC中，已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，AD＝eq \r(37)，则BC的长为( )
A．3eq \r(7) B．3eq \r(6) C．3eq \r(3) D．6
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 如图，在△ABC中，点P满足2eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为( )
A．3 B．3eq \r(2) C．1 D.eq \f(1,3)
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
例3 已知在边长为2的正△ABC中，M，N分别为边BC，AC上的动点，且CN＝BM，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))的最大值为________．
命题点3 与模有关的最值(范围)问题
例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1] B．[eq \r(2)－1，eq \r(2)]
C．[eq \r(2)，eq \r(2)＋1] D．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2)]
思维升华 向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
跟踪训练2 (1)已知平行四边形ABCD的面积为9eq \r(3)，∠BAD＝eq \f(2π,3)，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AD,\s\up6(→))，则|eq \(AF,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \r(11) B．3 C.eq \r(7) D.eq \r(5)
(2)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \r(3)－1 B．2eq \r(2)－1 C．2eq \r(3)－1 D.eq \r(7)－1
(3)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[－5,3] B．[－3,5]
C．[－6,4] D．[－4,6]
课时精练
1．四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝0，则这个四边形是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．等腰梯形
2．(多选)如图，点A，B在圆C上，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值( )
A．与圆C的半径有关
B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关
D．与点A，B的位置有关
3.如图，在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，E为线段AD上的动点，且eq \(CE,\s\up6(→))＝xeq \(CA,\s\up6(→))＋yeq \(CB,\s\up6(→))，则eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为( )
A．8 B．9 C．12 D．16
4．在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，G为△ABC的重心，若eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6，则△ABC外接圆的半径为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(4\r(3),3) C．2 D．2eq \r(3)
5．在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，点P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值是( )
A．－eq \f(5,8) B．－eq \f(1,2) C．－eq \f(3,8) D．－eq \f(1,4)
6．设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(a＋b－c)＝0，则|c|的最大值等于( )
A．1 B．2 C．1＋eq \f(\r(5),2) D.eq \r(5)
7．(多选)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A．若eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则点O为△ABC的重心
B．若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)－\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)－\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)))＝0，则点O为△ABC的垂心
C．若(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，则点O为△ABC的外心
D．若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))，则点O为△ABC的内心
8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[1,2] B．[2,3]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
9．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|2eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为________．
10．已知P是边长为4的正△ABC所在平面内一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋(2－2λ)eq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为________．
11．在△ABC中，D为AC上一点且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，若P为BD上一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．
12．设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,1)＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,2)＋…＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,8)的取值范围是______________．