新高考数学一轮复习讲义第3章　必刷大题6　导数的综合问题（2份打包，原卷版+含解析）

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(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝0时，f′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝eq \f(2x2－1,x).
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))时，f′(x)0，则f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞)).
(2)由f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，得a2＋1≤eq \f(x2,ln x)对∀x∈(1，＋∞)恒成立．
设h(x)＝eq \f(x2,ln x)(x>1)，则h′(x)＝eq \f(x2ln x－1,ln x2).
当x∈(1，eq \r(e))时，h′(x)0.
所以h(x)min＝h(eq \r(e))＝2e，则a2＋1≤2e，解得－eq \r(2e－1)≤a≤eq \r(2e－1)，
故a的取值范围是[－eq \r(2e－1)，eq \r(2e－1)]．
2．设f(x)＝2xln x＋1.
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：f(x)≤x2－x＋eq \f(1,x)＋2ln x.
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))时，f′(x)0，f(x)单调递增，
所以当x＝eq \f(1,e)时，f(x)取得最小值f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝1－eq \f(2,e).
(2)证明 令F(x)＝x2－x＋eq \f(1,x)＋2ln x－f(x)＝x(x－1)－eq \f(x－1,x)－2(x－1)ln x＝(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)－2ln x))，
令g(x)＝x－eq \f(1,x)－2ln x，则g′(x)＝1＋eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)＝eq \f(x－12,x2)≥0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，所以当00，F(x)>0，当x＝1时，F(x)＝0，所以(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)－2ln x))≥0，
即f(x)≤x2－x＋eq \f(1,x)＋2ln x.
3．(2023·邢台质检)2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收，预计当每件产品的售价定为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2万件．
(1)求该商店一年的利润f(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式；
(2)求出f(x)的最大值Q(a)．
解 (1)由题意，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2 万件，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)，
∴商店一年的利润f(x)(万元)与售价x的函数关系式为f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]．
(2)∵f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]，∴f′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，
令f′(x)＝0，解得x＝eq \f(28＋2a,3)或x＝18，而10≤a≤13，则16≤eq \f(28＋2a,3)≤18，
①若16≤eq \f(28＋2a,3)