新高考数学一轮复习讲义第7章　§7.6　空间向量的概念与运算（2份打包，原卷版+含解析）

这是一份新高考数学一轮复习讲义第7章　§7.6　空间向量的概念与运算（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习讲义第7章§76空间向量的概念与运算原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第7章§76空间向量的概念与运算含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。


知识梳理
1．空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
常用结论
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( )
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．( )
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0.( )
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( )
教材改编题
1. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，则下列向量中与eq \(C1M,\s\up6(—→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
2. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)在空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3,5,2)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则eq \(EF,\s\up6(→))的坐标为( )
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
(2)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且eq \(AA1,\s\up6(—→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，则eq \(A1D,\s\up6(—→))等于( )
A.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
B.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
D．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
跟踪训练1 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)x－2a，则x等于( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
①化简eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
②用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(—→))表示eq \(OC1,\s\up6(—→))，则eq \(OC1,\s\up6(—→))＝________.
题型二 空间向量基本定理及其应用
例2 (1)下列命题正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
思维升华 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
跟踪训练2 (1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若eq \(BD,\s\up6(→))＝6eq \(PA,\s\up6(→))－4eq \(PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，则λ等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足eq \(DE,\s\up6(→))＝xeq \(DA,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(DD1,\s\up6(—→))，则|eq \(DE,\s\up6(→))|的最小值是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2,3)
题型三 空间向量数量积及其应用
例3 (1)已知点O为空间直角坐标系的原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值时，eq \(OQ,\s\up6(→))的坐标是______．
(2)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
①求线段AC1的长；
②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
③求证：AA1⊥BD.
思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
跟踪训练3 (1)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(5,9) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(4\r(2),3) D.eq \f(8,3)
(2)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．
①求〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉；
②求eq \(AC,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量．
题型四 向量法证明平行、垂直
例4 如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
思维升华
(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
跟踪训练4 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD.
课时精练
1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于( )
A．－6 B．6 C．－4 D．4
2．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))是空间的一组基底，且eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共面
D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则a，b，c也是空间的一组基底
3. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，则eq \(BD1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．1 B．2
C．3 D.eq \f(\r(6),3)
4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－\f(3,2)))
5. 如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝eq \r(2)，AC＝1，BD＝2，则CD的长为( )
A．2 B．3 C．2eq \r(3) D．4
6．(多选)已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法正确的是( )
A．向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直
B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面
C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为eq \f(2,3)
D．向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)
7．已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2,3,3)．若l⊥α，则a＋b＝________.
8．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，eq \(VP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(VC,\s\up6(→))，eq \(VM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(VB,\s\up6(→))， eq \(VN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(VD,\s\up6(→)).则VA与平面PMN的位置关系是________．
9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得eq \(OE,\s\up6(→))⊥b？(O为原点)
10. 如图，四棱锥P －ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：
(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq \r(3)AD＝eq \r(3)AA1＝eq \r(3)，点P为线段A1C上的动点，则下列结论不正确的是( )
A．当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝2eq \(A1P,\s\up6(—→))时，B1，P，D三点共线
B．当eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(A1C,\s\up6(—→))时，eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(D1P,\s\up6(—→))
C．当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝3eq \(A1P,\s\up6(—→))时，D1P∥平面BDC1
D．当eq \(A1C,\s\up6(—→))＝5eq \(A1P,\s\up6(—→))时，A1C⊥平面D1AP
12．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是( )
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为eq \f(3,4)
D．三棱锥C1－A1D1M体积不变
13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，eq \(C1N,\s\up6(→))＝λeq \(NC,\s\up6(→))，且AB1⊥MN，则λ的值为________．
14．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cs∠EAF＝________，EF＝________.
15．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F满足eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
16.如图，在三棱锥P－ABC 中，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，|eq \(PA,\s\up6(→))|2＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝4|eq \(AB,\s\up6(→))|2.
(1)求证：AB⊥平面PAC；
(2)若M 为线段PC 上的点，设eq \f(|\(PM,\s\up6(→))|,|\(PC,\s\up6(→))|)＝λ，当λ 为何值时，直线PC⊥平面MAB?
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
长度相等而方向相反的向量
共线向量(或平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夹角余弦值
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))
eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(OB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(OB,\s\up6(→))