所属成套资源:新高考数学一轮复习讲义 (2份打包,原卷版+含解析)
新高考数学一轮复习讲义第10章 §10.2 排列与组合(2份打包,原卷版+含解析)
展开
这是一份新高考数学一轮复习讲义第10章 §10.2 排列与组合(2份打包,原卷版+含解析),文件包含新高考数学一轮复习讲义第10章§102排列与组合原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第10章§102排列与组合含解析doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共19页, 欢迎下载使用。
知识梳理
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,用符号Aeq \\al(m,n)表示.
(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,用符号Ceq \\al(m,n)表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
常用结论
1.排列数、组合数常用公式
(1)Aeq \\al(m,n)=(n-m+1)Aeq \\al(m-1,n).
(2)Aeq \\al(m,n)=nAeq \\al(m-1,n-1).
(3)(n+1)!-n!=n·n!.
(4)kCeq \\al(k,n)=nCeq \\al(k-1,n-1).
(5)Ceq \\al(m,n)+Ceq \\al(m,n-1)+…+Ceq \\al(m,m+1)+Ceq \\al(m,m)=Ceq \\al(m+1,n+1).
2.解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部.
(9)构造模型.
(10)正难则反,等价转化.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )
(3)若组合式Ceq \\al(x,n)=Ceq \\al(m,n),则x=m成立.( )
(4)Aeq \\al(m,n)=n(n-1)(n-2)…(n-m).( )
教材改编题
1.Aeq \\al(2,4)+Ceq \\al(3,7)等于( )
A.35 B.47 C.45 D.57
2.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男、女生都有的选法种数是( )
A.18 B.24 C.30 D.36
3.将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动,每个地方至少安排一名学生参加,则不同的安排方案共有________种.
题型一 排列问题
例1 (1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演,现安排两名男队员和两名女队员组队参演,参演选手每人展示其中一个不同的项目,雪上技巧项目必须由女队员展示,则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为( )
A.576 B.288 C.144 D.48
(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4 310的四位偶数.
思维升华 对于有限制条件的排列问题,分析问题时,有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时,一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
跟踪训练1 (1)源于探索外太空的渴望,航天事业在21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件,宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中,宇航员们负责的科学实验要经过5道程序,其中A,B两道程序既不能放在最前,也不能放在最后,则该实验不同程序的顺序安排共有( )
A.18种 B.36种 C.72种 D.108种
(2)8人站成前后两排,每排4人,其中甲、乙两人必须在前排,丙在后排,则共有________种排法.
题型二 组合问题
例2 (1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的有( )
A.如果4人全部为男生,那么有30种不同的选法
B.如果4人中男生、女生各有2人,那么有30种不同的选法
C.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有28种不同的选法
D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有140种不同的选法
(2)在某场新闻发布会上,主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问,要求3人中既有国内记者又有国外记者,且不能连续选国内记者,则不同的选法有( )
A.80种 B.180种 C.260种 D.420种
思维升华 组合问题常有以下两类题型
(1)“含有”或“不含有”问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”问题:用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.
跟踪训练2 (1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动,要求至少有一名女生参加,则不同的选派种数为( )
A.12 B.24 C.34 D.60
(2)如图,从上往下读(不能跳读,即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字,又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念),构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为________.
题型三 排列与组合的综合问题
命题点1 相邻、相间问题
例3 (多选)有3名男生,4名女生,在下列不同条件下,正确的是( )
A.全体站成一排,女生必须站在一起有144种排法
B.全体站成一排,男生互不相邻有1 440种排法
C.任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案有70种
D.全体站成一排,甲不站排头,乙不站排尾有3 720种排法
命题点2 定序问题
例4 有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列(不一定相邻),不同的排法共有________种.
命题点3 分组、分配问题
例5 (1)中国书法历史悠久,源远流长,书法作为一门艺术,以文字为载体,不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观,谈到书法艺术,就离不开汉字,汉字是书法艺术的精髓,汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性,使汉字书写成为一门独特的艺术,我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体,如图,以“国”字为例,现有5张分别写有一种书体的临摹纸,将其全部分给3名书法爱好者,每人至少1张,则不同的分法种数为( )
A.60 B.90 C.120 D.150
(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排6名航天员开展实验,其中每个舱安排2人.若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验,则不同的安排方案共有( )
A.20种 B.36种
C.72种 D.84种
思维升华 求解排列、组合应用问题的常用方法
跟踪训练3 (1)(多选)已知A,B,C,D,E五个人并排站在一起,则下列说法正确的有( )
A.若A,B不相邻,共有72种排法
B.若A不站在最左边,B不站在最右边,有72种排法
C.若A在B右边有60种排法
D.若A,B两人站在一起有48种排法
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120 C.144 D.168
(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动,每天分别安排3人,每人参加一次,则不同的安排方案共有________种.(用数字作答)
课时精练
1.若Aeq \\al(3,m)=6Ceq \\al(4,m),则m等于( )
A.9 B.8 C.7 D.6
2.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的安排方法的种数为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( )
A.1 440种 B.960种
C.720种 D.480种
4.由0,1,2,…,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有( )
A.98个 B.105个 C.112个 D.210个
5.将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球,且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友,则不同的分法种数为( )
A.15 B.20 C.30 D.42
6.2022年7月19日,亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会,为了办好这届体育文化盛会,杭州亚运会组委会决定进行赛前志愿者招募,此举得到在杭大学生的积极参与.某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务,通过培训,拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务,这四个项目都有人参加,要求2位女同学不安排在一起,且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开,则不同的安排方法种数为( )
A.144 B.150 C.168 D.192
7.如图是由6个正方形拼成的矩形图案,从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为( )
A.208 B.204 C.200 D.196
8.(多选)现有4个编号为1,2,3,4的不同的球和4个编号为1,2,3,4的不同的盒子,把球全部放入盒子内.则下列说法正确的是( )
A.恰有1个盒子不放球,共有72种放法
B.每个盒子内只放一个球,且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种
C.有2个盒子内不放球,另外两个盒子内各放2个球的放法有36种
D.恰有2个盒子不放球,共有84种放法
9.在5G,AI,MR等技术的支持下,新闻媒体推出诸多创新融媒产品,将5G技术引入新闻生产,有效扩展了新闻的应用场景,云采访、云访谈、云直播等云端对话成为报道的新常态.现有4名新闻媒体记者采用云采访、云访谈、云直播三种方式进行报道,每种方式至少有一名记者采用,则不同的安排方法种数为________.
10.某小区共有3个核酸检测点同时进行检测,有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务,6人中有4名“熟手”和2名“生手”,1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授,每个检测点至少需要1名“熟手”,且2名“生手”不能分配到同一个检测点,则不同的分配方案种数是________.
11.阳春三月,草长莺飞;丝绦拂堤,尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女孩和2名男孩共8人踏春.在沿行一条小溪时,为了安全起见,他们排队前进,三位母亲互不相邻照顾孩子;3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面;为了防止2名男孩打闹,2人不相邻,且不排最前面也不排最后面.则不同的排法共有( )
A.144种 B.216种
C.288种 D.432种
12.把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为________(用数字作答).
13.某部队在一次军演中要先后执行A,B,C,D,E,F六项不同的任务,要求任务A必须排在前三项执行,且执行任务A之后需立即执行任务E,任务B,C不能相邻,则不同的执行方案共有( )
A.36种 B.44种 C.48种 D.54种
14.某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲,假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的,且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等,则该停车点的车位数为________.
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
公式
(1)Aeq \\al(m,n)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=eq \f(n!,n-m!)(n,m∈N*,且m≤n).
(2)Ceq \\al(m,n)=eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))=eq \f(n!,m!n-m!)(n,m∈N*,且m≤n).特别地,Ceq \\al(0,n)=1
性质
(1)0!=1;Aeq \\al(n,n)=n!.
(2)Ceq \\al(m,n)=Ceq \\al(n-m,n);Ceq \\al(m,n+1)=Ceq \\al(m,n)+Ceq \\al(m-1,n)
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对于不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列
相关试卷
这是一份新高考数学一轮复习讲义第5章 §5.5 复 数(2份打包,原卷版+含解析),文件包含新高考数学一轮复习讲义第5章§55复数原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第5章§55复数含解析doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共19页, 欢迎下载使用。
这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案+巩固提升练习10.2《排列与组合》(2份打包,原卷版+教师版),文件包含新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习102《排列与组合》原卷版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习102《排列与组合》原卷版pdf、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习102《排列与组合》教师版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习102《排列与组合》教师版pdf等4份试卷配套教学资源,其中试卷共41页, 欢迎下载使用。
这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升10.2《排列与组合》(2份打包,原卷版+教师版),文件包含新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习102《排列与组合》原卷版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习102《排列与组合》原卷版pdf、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习102《排列与组合》教师版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习102《排列与组合》教师版pdf等4份试卷配套教学资源,其中试卷共45页, 欢迎下载使用。