中考专题 数学反比例函数综合题含解析答案

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（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y＝（x＞0）的关系式；
（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，
反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，
①求△A'EF的面积；
②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点A（1，1），点C（3，3），
∴点D（1，3），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3，
故反比例函数表达式为：y＝；
（2）平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），
则平移后点E纵坐标为3，则点E（3，1），
同理点F（，2），
△A'EF的面积＝S正方形A′B′C′D′﹣S△A′B′E﹣S△A′D′F﹣S△EFC′＝2×2×2×﹣2×1﹣××1＝
（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），
设点P（m，0），
则EF2＝（3﹣）2+（2﹣1）2＝，EP2＝（m﹣3）2+1，PF2＝（m﹣）2+4，
当EF＝EP时，即＝（m﹣3）2+1，解得：m＝（舍去）或；
当EF＝PF时，同理可得：方程无实数根，舍去；
当EP＝PF时，同理可得：m＝，
故点P的坐标为：（，0）或（，0）．
2.如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1，点B（3，2），
反比例函数y＝（k＞0）的图象经过BC边的中点D．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①求OF的长；
②连接AF，BE，证明：四边形ABEF是正方形．
解：（1）∵点B（3，2），BC边的中点D，∴点D（3，1），
∵反比例函数（k＞0）的图象经过点D（3，1），∴k＝3×1＝3，∴反比例函数表达式为；
（2）①∵点B（3，2），∴BC＝2，
∵△ABC与△EFG成中心对称，
∴△ABC≌△EFG（中心对称的性质），
∴GF＝BC＝2，GE＝AC＝1，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴E（1，3），即OG＝3，
∴OF＝OG﹣GF＝1；
②如图，连接AF、BE，
∵AC＝1，OC＝3，
∴OA＝GF＝2，
在△AOF和△FGE中，
∴△AOF≌△FGE（SAS），
∴∠GFE＝∠FAO，
∵∠FAO+∠OFA＝90°，
∴∠GFE+∠OFA＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∵∠EFG＝∠FAO＝∠ABC，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠FAO＝90°，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE+∠BAF＝180°，
∴EF∥AB，
∵EF＝AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AF＝EF，
∴四边形ABEF为菱形，
∵AF⊥EF，
∴四边形ABEF为正方形．
3.如图，反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，4），直线y＝﹣x+b（b≠0）
与双曲线y＝在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．
（1）求k的值；
（2）当b＝﹣2时，求△OCD的面积；
（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ＝S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，4），∴k＝﹣1×4＝﹣4；
（2）当b＝﹣2时，直线解析式为y＝﹣x﹣2，
∵y＝0时，﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∵当x＝0时，y＝﹣x﹣2＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴S△OCD＝×2×2＝2；
（3）存在．
当y＝0时，﹣x+b＝0，解得x＝b，则C（b，0），
∵S△ODQ＝S△OCD，
∴点Q和点C到OD的距离相等，
而Q点在第四象限，
∴Q的横坐标为﹣b，
当x＝﹣b时，y＝﹣x+b＝2b，则Q（﹣b，2b），
∵点Q在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣b•2b＝﹣4，解得b＝﹣或b＝（舍去），
∴b的值为﹣．
Rt△OBC在直角坐标系内的位置如图所示，点C在y轴上，∠OCB＝90°，
反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象与OB边交于点D（m，3），与BC边交于点E（n，6）．
（1）求m与n的数量关系；
（2）连接CD，若△BCD的面积为12，求反比例函数的解析式和直线OB的解析式；
（3）设点P是线段OB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，
使得以B、C、P为顶点的三角形与△BDE相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点D（m，3），E（n，6）都在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝3m＝6n，
∴m＝2n；
（2）设△BDC的边BC上的高为h，
∵∠OCB＝90°，
∴BC⊥y轴，
∵点E在BC上，且D（m，3），E（n，6），
∴h＝3，∵△BCD的面积为12，
∴BC•h＝12，
∴BC＝＝8，
∴B（8，6），
设直线OB的解析式为y＝k'x，
∴6＝8k'，
∴k'＝，
∴直线OB的解析式为y＝x，
∵点D（m，3）在边OB上，
∴3＝m，
∴m＝4，
∴D（4，3），
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（3）存在，理由：
由（2）知，反比例函数的解析式为y＝，
∵点E（n，6）在反比例函数的图象上，
∴n＝＝2，
∴E（2，6），
由（2）知，B（8，6），D（4，3），
∴BC＝8，BE＝6，BD＝＝5，
设点P（a，a），
∵点P在线段OB上，
∴0≤a＜8，
∴BP＝，
∵B、C、P为顶点的三角形与△BDE相似，且∠DBE＝∠CBP，
∴①当△BDE∽△BPC时，
∴，
∴，
∴a＝或a＝（舍），
∴P（，2），
②当△BDE∽△BCP时，
∴，
∴，
∴a＝或a＝（舍），
∴P（，），
即，存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△BDE相似，此时点P的坐标为P（，2）或（，）．
5.如图，反比例函数y＝（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），
交y轴于点E，过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）将直线EC向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点E'时，直线交x轴于点F．
请判断点B是否在直线E′F上并说明理由；
在平面内有点M，使得以A、B、F、M四点为顶点的四边形为平行四边形，
请直接写出符合条件的所有M点的坐标．
解：（1）把点A（3，4）代入y＝（x＞0），得k＝xy＝3×4＝12，
故该反比例函数解析式为：y＝．
∵点C（6，0），BC⊥x轴，∴把x＝6代入反比例函数y＝，得：y＝＝2，∴B（6，2）．
综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）；
（2）设直线A、C的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x+8，令x＝0，则y＝8，故点E（0，8），
设直线EC向右平移m个单位，
则平移后直线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）+8，则点E′（m，8），
∵点E′在反比例函数上，
∴将点E′坐标代入反比例函数表达式得：8m＝12，解得：m＝，
则平移后直线的表达式为：y＝﹣（x﹣）+8＝﹣x+10，
令y＝0，则x＝，故点F（，0）；
当x＝6时，y＝﹣x+10＝2，故点B在直线E′F上；
（3）设点M的坐标为（s，t），
而点A、B、F的坐标分别为：（3，4）、（6，2）、（，0）；
①当AB是边时，点A向右平移3个单位向下平移2个单位得到B，
同样点M（N）向右平移3个单位向下平移2个单位得到N（M），
故或，解得：或，故点M的坐标为：（，﹣2）或（，2）；
②当AB是对角线时，由中点公式得：，解得：，故点M的坐标为（，6）；
综上，点M的坐标为：（，﹣2）或（，2）或（，6）．
6．菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B落在y轴正半轴上，点A、D落在第一象限内，且D点坐标为（4，3）．
（1）如图1，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，求k的值；
（2）菱形ABCD向右平移t个单位得到菱形A1B1C1D1，如图2．
①请直接写出点B1、D1的坐标（用含t的代数式表示）：B1 （t，5） 、D1 （t+4，3） ；
②是否存在反比例函数y＝（x＞0），使得点B1、D1同时落在y＝（x＞0）的图象上？
若存在，求n的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图，作DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴FO＝4，DF＝3，
∴DO＝5，
∴AD＝5．
∴A点坐标为（4，8），
∴xy＝4×8＝32，
∴k＝32；
（2）①平移后B1、D1的坐标分别为：（t，5），（t+4，3），
故答案为：（t，5），（t+4，3）；
②存在，理由如下：
∵点B1、D1同时落在（x＞0）的图象上B1（t，5），D1（t+4，3），
∴5t＝n，3（t+4）＝n，
解得：t＝6，n＝30
所以，存在，此时n＝30．
7.如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，点A的坐标为（1，2），点C为反比例函数图象第一象限上的一动点，连接OC、AC、BC．
（1）求正比例函数与反比例函数的表达式；
（2）作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，且OA＝OC时，求直线BC的函数表达式；
（3）当△AOC是以OA为直角边的直角三角形时，求点C的坐标．
解：（1）将点A的坐标分别代入y＝kx和y＝并解得：k＝2，m＝2，
故正比例函数与反比例函数的表达式分别为：y＝2x，y＝①；
（2）∵反比例函数的图象关于原点成中心对称，故点B（﹣1，﹣2），
∵反比例函数的图象关于直线y＝x对称且OA＝OC，
∴点A、C关于直线y＝x对称，过点C（2，1），
设直线BC的表达式为：y＝tx+s，则，解得，
故直线BC的表达式为：y＝x﹣1；
（3）如下图，延长AC交x、y轴于点M、N，
直线AB的表达式为：y＝2x，则tan∠AOC＝2，
当△AOC是以OA为直角边的直角三角形时，即∠OAC＝90°，
则tan∠ANO＝，
故设直线AC的表达式为：y＝﹣x+r，
将点A的坐标代入上式并解得：r＝，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x+②，
联立①②并解得：x＝1（舍去）或4，
故点C（4，）．
8.如图①，直线y＝﹣x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C为线段AB的中点，将直线AB向右平移m个单位长度，A、B、C的对应点为A1、B1、C1，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A1，连接AA1、CC1．
（1）当m＝2时，求k的值；
（2）如图②，当反比例函数的图象经过点C1时，求四边形ABB1A1的面积；
（3）如图③，连接A1B，当△AA1B为等腰三角形时，求B1的坐标．
解：（1）∵直线y＝﹣x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴点A坐标（0，4），点B（3，0），
∵将直线AB向右平移m个单位长度，且m＝2，
∴点A1（2，4），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A1，
∴k＝2×4＝8；
（2）∵点A坐标（0，4），点B（3，0），点C为线段AB的中点，
∴点C（，2）
∵将直线AB向右平移m个单位长度，
∴点A1（m，4），点C1（+m，2），AA1∥BB1，AA1＝BB1＝m，
∴四边形ABB1A1是平行四边形，
∵反比例函数的图象经过点C1，点A1，
∴4m＝2×（+m）
∴m＝，
∴四边形ABB1A1的面积＝4×＝6；
（3）∵点A坐标（0，4），点B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵四边形ABB1A1是平行四边形，
∴A1B1＝AB＝5，
若A1B1＝BB1＝5，
∴m＝5，
∴点B1（8，0），
若A1B＝BB1＝m，
∴＝m，
∴m＝，
∴点B1（，0），
当A1B＝A1B1，
∴＝5，
∴m1＝0（不合题意舍去），m2＝6，
∴点B1（9，0），
综上所述：点B1坐标为（8，0）或（，0）或（9，0）．
9.如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点 E．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若BD＝3OC，求△BDE的面积；
（3）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），
∴m＝8，∴反比例函数y＝（x＞0）．
（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），∴OC＝2，
∵BD＝3OC，∴BD＝6，
∵BD⊥x轴，∴B（，6），
∵C（0，2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，
∴直线BC的解析式为y＝3x+2，
∴E（﹣，0），
∴DE＝+＝2，
∴S△BED＝×DE×BD＝6．
（3）存在．如图，设BD交AC于F．设B（a，），
∵A（4，2）
∴AC＝4，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC＝4，且CF∥DE，
∴△BCF∽△BED，
∴＝，即＝，解得a＝2，
∴B（2，4）．
10.如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（4，b）．
（1）b＝ 1 ；k＝ 1 ；
（2）点C是线段AB上的动点（与点A、B不重合），过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例函数的图象于点D，求△OCD面积的最大值；
（3）将（2）中面积取得最大值的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′落在该反比例函数图象上（如图2），则点D′的坐标是 （，） ．
解：（1）把B（4，b）代入y＝（x＞0）中得：b＝＝1，
∴B（4，1），
把B（4，1）代入y＝kx﹣3得：1＝4k﹣3，解得：k＝1，
故答案为：1，1；
（2）设C（m，m﹣3）（0＜m＜4），则D（m，），
∴S△OCD＝m（﹣m+3）＝﹣m2+m+2＝﹣+，
∵0＜m＜4，﹣＜0，
∴当m＝时，△OCD面积取最大值，最大值为；
（3）由（1）知一次函数的解析式为y＝x﹣3，
由（2）知C（，﹣）、D（，）．
设C′（a，a﹣3），则O′（a﹣，a﹣），D′（a，a+），
∵点O′在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a﹣＝，解得：a＝或a＝﹣（舍去），
经检验a＝是方程a﹣＝的解．
∴点D′的坐标是（，）．
11.如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
（3）存在，
理由如下：联立，
解得：或，
∴B点坐标为（2，1），
∵点P在y轴上，
∴设P（0，m），
∴AB＝＝，AP＝，PB＝，
若BP为斜边，
∴BP2＝AB2+AP2 ，
即 ＝2+，
解得：m＝1，
∴P（0，1）；
若AP为斜边，
∴AP2＝PB2+AB2 ，
即 ＝+2，
解得：m＝﹣1，
∴P（0，﹣1）；
综上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）．
12.如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝AD，求出点E的坐标．
解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
将B（6，1）的坐标代入y＝，得k＝6．
∴反比例函数的解析式为y＝．
将A（m，6）的坐标代入y＝，得m＝1．
（2）如图1，设直线AB的解析式为y＝ax+b，
把A（1，6）和B（6，1）代入上式，得
，
解得：，
故直线AB的解析式为：y＝﹣x+7，
∴M（0，7），N（7，0），
∴S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝OM×ON﹣OM×|xA|﹣ON×|yB|
＝×7×7﹣×7×1﹣×7×1
＝．
（3）设E点的坐标为（m，﹣m+7），则F（m，），
∴EF＝﹣m+7﹣．
∵EF＝AD，
∴﹣m+7﹣＝×6．
解得m1＝2，m2＝3，
经检验，m1＝2，m2＝3是分式方程的根，
∴E的坐标为（2，5）或（3，4）．
13.如图，在矩形OABC中，OA＝3，AB＝4，反比例函数（k＞0）的图象与矩形两边AB、BC分别交于点D、点E，且BD＝2AD．
（1）求点D的坐标和k的值：
（2）求证：BE＝2CE；
（3）若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由
解：（1）∵AB＝4，BD＝2AD，
∴AB＝AD+BD＝AD+2AD＝3AD＝4，
∴AD＝，
又∵OA＝3，
∴D（，3），
∵点D在双曲线y＝上，
∴k＝×3＝4；
（2）∵四边形OABC为矩形，
∴AB＝OC＝4，
∴点E的横坐标为4．
把x＝4代入y＝中，得y＝1，
∴E（4，1）；
∵B（4，3），C（4，0），
∴BE＝2，CE＝1，
∴BE＝2CE；
（3）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP＝m，CP＝4﹣m．
∵∠APE＝90°，
∴∠APO+∠EPC＝90°，
又∵∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠EPC＝∠OAP，
又∵∠AOP＝∠PCE＝90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴，
∴，
解得：m＝1或m＝3，
∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．
14.如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．
①连接AC，求△ABC的面积；
②在图上连接OC交AB于点D，求的值．
解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH＝OB＝2，
∴AH＝＝＝6，
∴点A的坐标为（2，6）．
∵A为反比例函数y＝图象上的一点，
∴k＝2×6＝12；
（2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，
∴BC＝＝3．
∵AH⊥OB，
∴AH∥BC，
∴点A到BC的距离＝BH＝2，
∴S△ABC＝×3×2＝3；
②∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，
∴BC＝＝3．
∵AH∥BC，OH＝BH，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH﹣MH＝．
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴＝．
15．如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集： 0＜x≤或3≤x≤ ．
（4）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．
解：（1）在矩形ABCO中，∵OA＝BC＝4，OC＝AB＝3，
∴B（3，4），
∵OD＝DB，
∴D（，2），
∵y＝经过D（，2），
∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）如图①中，连接OE，OF．
由题意E（，4），F（3，1），
∴S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB＝12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×（3﹣）＝．
（3）观察图象可知：在第一象限内，关于x的不等式kx+b≤的解集为：0＜x≤或3≤x＜．
故答案为：0＜x≤或3≤x＜．
（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．
由题意OB＝OH＝5，
∴CH＝OH﹣OC＝5﹣3＝2，
∴BH＝＝＝2，
∴sin∠CBH＝＝，
∵OM⊥BH，
∴∠OMH＝∠BCH＝90°，
∵∠MOH+∠OHM＝90°，∠CBH+∠CHB＝90°，
∴∠MOH＝∠CBH，
∵OB＝OH，OM⊥BH，
∴∠MOB＝∠MOH＝∠CBH，
∴sin∠JOD＝，
∴NJ＝ON•sin∠NOD＝ON，
∴NH+ON＝NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值＝HK的长，
∵OB＝OH，BC⊥OH，HK⊥OB，
∴HK＝BC＝4，
∴HN+ON是最小值为4．
16．如图1，在平面直角坐标系中，放置有一个Rt△ABC，顶点A与原点O重合，边AC与x轴重合，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，反比例函数y＝的图象分别与AB和BC交于点D、E，且此时点D恰为AB的中点．
（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（2）连接DE，在x轴上存在一点P，可使得△DEP成为以DE为腰的等腰三角形，试求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）如图2，保持反比例函数图象不变，将△ABC沿x轴向左平移，使得点E成为BC的中点，求此时点D的坐标．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴点B、C的坐标分别为：（4，4）、（4，0），
∵D为AB的中点，故点D（2，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得：k＝4，
故反比例函数表达式为：y＝①，
设点E（4，m），将点E的坐标代入上式并解得：m＝1，
故点E（4，1）；
（2）设点P（m，0），而点D、E的坐标分别为：（2，2）、（4，1），
DE2＝（4﹣2）2+（2﹣1）2＝5，PD2＝（m﹣2）2+4；PE2＝（m﹣4）2+1，
当DE＝PD时，则5＝（m﹣2）2+4，解得：m＝1或3；
当DE＝PE时，同理可得：m＝2或6（舍去6）；
故点P的坐标为：（1，0）或（2，0）或（3，0）；
（3）设三角形ABC向左平移了m个单位，
则点C、B的坐标分别为：（4﹣m，0）、（4﹣m，4），
∵点E为BC的中点，
∴点E（4﹣m，2），
将点E的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得：m＝2，
故点C、B的坐标分别为：（2，0）、（2，4），点A（﹣2，0），
设直线AB的表达式为：y＝sx+t，则，解得：，
故直线AB的表达式为：y＝x+2②，
联立①②并解得：或（舍去）；
故点D的坐标为：（﹣1，+1）．
17.矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为 （2，3） ．
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．
解：（1）∵OB＝4，OA＝3，
∴点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（4，0）、（4，3），
点F运动到边BC的中点时，点F（4，），
将点F的坐标代入y＝并解得：k＝6，
故反比例函数的表达式为：y＝，
当y＝3时，x＝＝2，故E（2，3），
故答案为：（2，3）；
（2）∵F点的横坐标为4，点F在反比例函数上，
∴F（4，），
∴CF＝BC﹣BF＝3﹣＝，
∵E的纵坐标为3，
∴E（，3），
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝，
在Rt△CEF中，tan∠EFC＝＝；
（3）如图，由（2）知，CF＝，CE＝，＝，
过点E作EH⊥OB于H，
∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴∠EGH+∠HEG＝90°，
由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，
∴∠EGH+∠BGF＝90°，
∴∠HEG＝∠BGF，
∵∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴，
∴，
∴BG＝．
18.在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）求k的值和点G的坐标；
（2）连接FG，则图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；
（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．
解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），
∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°，OC＝AB＝2，OA＝BC＝4，
∵△ODE是△OAB旋转得到的，即：△ODE≌△OAB，
∴∠COF＝∠AOB，∴△COF∽△AOB，
∴＝，∴＝，∴CF＝1，
∴点F的坐标为（1，2），
∵y＝（x＞0）的图象经过点F，
∴2＝，得k＝2，
∵点G在AB上，
∴点G的横坐标为4，
对于y＝，当x＝4，得y＝，
∴点G的坐标为（4，）；
（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．
下面对△OAB∽△BFG进行证明：
∵点G的坐标为（4，），∴AG＝，
∵BC＝OA＝4，CF＝1，AB＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝3，
BG＝AB﹣AG＝．
∴，＝．
∴，
∵∠OAB＝∠FBG＝90°，
∴△OAB∽△FBG．
（3）设点P（m，0），而点F（1，2）、点G（4，），
则FG2＝9+＝，PF2＝（m﹣1）2+4，PG2＝（m﹣4）2+，
当GF＝PF时，即＝（m﹣1）2+4，解得：m＝（舍去负值）；
当PF＝PG时，同理可得：m＝；
当GF＝PG时，同理可得：m＝4﹣；
综上，点P的坐标为（4﹣，0）或（，0）或（，0）．
19.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的正半轴上，直线y＝x﹣1．交边AB、OA于点D、M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，与BC的交点为N．
（1）求BN的长．
（2）点P是直线DM上的动点（点P不与点D、点M重合），连接PB、PC、MN，当△BCP的面积等于四边形ABNM的面积时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接CP，以CP为边作矩形CPEF，使矩形的对角线的交点G落在直线DM上，请直接写出点G的坐标．
解：（1）依题意，得：点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（3，3）．
当x＝3时，y＝x﹣1＝2，
∴点D的坐标为（3，2）．
将D（3，2）代入y＝，得：2＝，
解得：m＝6，
∴反比例函数解析式为y＝．
当y＝3时，＝3，
解得：x＝2，
∴点N的坐标为（2，3），
∴BN＝3﹣2＝1．
（2）当y＝0时，x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴点M的坐标为（1，0），
∴AM＝2，
∴S梯形ABNM＝（BD+AM）•AB＝．
设点P的坐标为（x，x﹣1）（x≠1，x≠3），
∴S△BCP＝BC•|3﹣yP|＝|4﹣x|＝，
解得：x1＝1（舍去），x2＝7，
∴点P的坐标为（7，6）．
（3）过点C作CF⊥CP，交DM于点F，如图2所示．
设点F的坐标为（n，n﹣1）．
∵点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（7，6），
∴PC2＝（0﹣7）2+（3﹣6）2＝58，CF2＝（n﹣0）2+（n﹣1﹣3）2＝2n2﹣8n+16，PF2＝（n﹣7）2+（n﹣1﹣6）2＝2n2﹣28n+98．
∵∠PCF＝90°，
∴PF2＝PC2+CF2，即2n2﹣28n+98＝58+2n2﹣8n+16，
解得：n＝，
∴点F的坐标为（，）．
又∵点G为线段PF的中点，
∴点G的坐标为（，）．
20.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．
（1）求过点D的反比例函数的解析式；
（2）求△DBE的面积；
（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA，AB＝OC，
∵tan∠COD＝，
∴设OC＝3x，CD＝4x，
∴OD＝5x＝5，
∴x＝1，
∴OC＝3，CD＝4，
∴D（4，3），
设过点D的反比例函数的解析式为：y＝，
∴k＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）∵点D是BC的中点，
∴B（8，3），
∴BC＝8，AB＝3，
∵E点在过点D的反比例函数图象上，
∴E（8，），
∴S△DBE＝BD•BE＝＝3；
（3）存在，
∵△OPD为直角三角形，
∴当∠OPD＝90°时，PD⊥x轴于P，
∴OP＝4，
∴P（4，0），
当∠ODP＝90°时，
如图，过D作DH⊥x轴于H，
∴OD2＝OH•OP，
∴OP＝＝．
∴P（，O），
∴存在点P使△OPD为直角三角形，
∴P（4，O），（，O）．