青岛版八年级上册第1章 全等三角形1.3 尺规作图精品一课一练

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1．下列作图语句正确的是（ ）
A．作线段AB，使α＝AB
B．延长线段AB到C，使AC＝BC
C．作∠AOB，使∠AOB＝∠α
D．以O为圆心作弧
【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论．
【解答】解：A、应为：作线段AB，使AB＝α，故本选项错误；
B、应为：延长线段AB到C，BC＝AB，故本选项错误；
C、作∠AOB，使∠AOB＝∠α，故本选项正确；
D、需要说明半径的长，故选项错误．
故选：C．
2．作∠AOB的角平分线的作图过程如下：
用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是（ ）
A．边角边B．角边角C．角角边D．边边边
【分析】如图，连接EC，DC．
【解答】解：如图，连接EC，DC．
在△EOC和△DOC中，
，
∴△EOC≌△DOC（SSS），
∴∠EOC＝∠DOC，
∴OC平分∠BOA．
故选：D．
3．在一节活动课上，数学老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小刚利用两块形状相同的三角尺进行操作，如图所示：
（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；
（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB．
所以，直线AB即为所求．
老师肯定了小刚的作法是正确的．请你回答：小刚的作图依据是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．以上答案都不对
【分析】根据平行线的判定方法判断即可．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2，
∴AB∥l(内错角相等两直线平行），
故选：B．
4．下列各说法一定成立的是（ ）
A．画直线AB＝10厘米
B．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线
C．画射线OB＝10厘米
D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行
【分析】逐条分析四个选项的正误，由此即可得出结论．
【解答】解：A、直线无限长，错误；
B、若A、B、C三点不共线，则无法画出一条直线，错误；
C、射线无限长，错误；
D、过直线AB外一点只能画一条直线与AB平行，正确．
故选：D．
5．下列关于几何画图的语句正确的是（ ）
A．延长射线AB到点C，使BC＝2AB
B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上
C．将射线OA绕端点O旋转180°，终边OB与始边OA形成一个平角
D．连接BC，使BC＝2cm
【分析】根据线段、射线、直线的定义即可判断．
【解答】解：A、射线不能顺向延长，此说法错误；
B、直线AB不能延长，则点Q在直线AB的反向延长线上这一说法错误；
C、将射线OA绕端点O旋转180°，终边OB与始边OA形成一个平角，此说法正确；
D、连接BC，其长度不能确定，此说法错误；
故选：C．
6．尺规作图的画图工具是（ ）
A．刻度尺、量角器B．三角板、量角器
C．直尺、量角器D．没有刻度的直尺和圆规
【分析】根据尺规作图的定义可知．
【解答】解：尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规．
故选：D．
7．如图，已知直线AB和AB上一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：
第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
第二步：分别以点D和点E为圆心，以a为半径作弧，两弧交于点F；
第三步：作直线CF，直线CF即为所求．
下列关于a的说法正确的是（ ）
A．a≥DE的长B．a≤DE的长C．a＞DE的长D．a＜DE的长
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，结合三角形三边关系判断即可．
【解答】解：由作图可知，分别以点D和点E为圆心，以a为半径作弧，两弧交于点F，此时a＞DE，
故选：C．
8．以下尺规作图中，点D为线段BC边上一点，一定能得到线段AD＝BD的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用基本作图，前面三个作图AD分别为三角形高线、角平分线和中线，第四个作了AB的垂直平分线，从而得到DA＝DB．
【解答】解：A、AD为BC边的高；
B、AD为角平分线，
C、D点为BC的中点，AD为BC边上的中线，
D、点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA＝DB．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，交AC于点G；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，若以点G为圆心，GC长为半径作两段弧，一段弧过点C，而另一段弧恰好经过点D，则此时∠FAC的度数为（ ）
A．54°B．60°C．66°D．72°
【分析】连接AD，根据作图过程可得，AE是BD的垂直平分线，DG＝CG，AB＝AD＝AG，设∠C＝x，则∠CDG＝x，∠AGD＝2x，根据∠ADB+∠ADG+∠GDC＝2x+2x+x＝180°，求出x的值后再根据直角三角形两个锐角互余即可求得∠FAC的度数．
【解答】解：如图，连接AD，
根据作图过程可知：
AE是BD的垂直平分线，DG＝CG，AB＝AD＝AG，
设∠C＝x，则∠CDG＝x，∠AGD＝2x，
∴∠ADG＝∠AGD＝2x，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝2x，
∴∠ADB+∠ADG+∠GDC＝2x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠FAC＝90°﹣36°＝54°．
故选：A．
10．如图，在△ABC中，AC＞BC，∠ACB为钝角．按下列步骤作图：
①以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交BC于点D，交AB于点E；
②以点C为圆心，BD长为半径作圆弧，交AC于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作圆弧，交②中所作的圆弧于点G；
④作射线CG交AB于点H．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠ACH＝∠BB．∠AHC＝∠ACBC．∠CHB＝∠A+∠BD．∠CHB＝∠HCB
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤判断即可．
【解答】解：由作图可知，∠ACH＝∠B．
故A，C，B正确，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．所谓尺规作图中的尺规是指： 没有刻度的直尺和圆规 ．
【分析】本题考的是尺规作图的基本概念．
【解答】解：由尺规作图的概念可知：尺规作图中的尺规指的是没有刻度的直尺和圆规．
12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 全等三角形的对应角相等 ．
【分析】根据作图过程可以证明△OCD≌△O′C′D′，进而可得结论．
【解答】解：根据作图过程可知：
OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形对应角相等）．
故答案为：全等三角形的对应角相等．
13．只用 没有刻度的 的直尺和 圆规 进行的作图称为尺规作图．
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【解答】解：只用没有刻度的直尺和圆规进行的作图称为尺规作图．
故答案为：没有刻度的，圆规．
14．如图，在△ABC中，AC＝8，AB＝6，BC＝9，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点G，作射线AG交BC于点D，点F在AC上且AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为 11 ．
【分析】由作图方法可知AD平分∠BAC，结合全等三角形的判定与性质进而得出BD＝DF，即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，AF＝AB，
∴FC＝AC﹣AF＝8﹣6＝2，
由作图方法可得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△AFD中
，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴BD＝DF，
∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+2＝11．
故答案为：11．
15．已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为 15°或45° ．
【分析】利用作法得OP平分∠AOB，则∠AOP＝∠BOP＝30°，讨论：当OC在∠BOP内部时，∠BOC＝∠BOP﹣∠POC；当OC′在∠AOP内部时，∠BOC′＝∠BOP+∠POC′．
【解答】解：由作法得OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，
当OC在∠BOP内部时，∠BOC＝∠BOP﹣∠POC＝30°﹣15°＝15；
当OC′在∠AOP内部时，∠BOC′＝∠BOP+∠POC′＝30°+15°＝45°；
综上所述，∠BOC的度数为15°或45°．
故答案为15°或45°．
三．解答题（共3小题）
16．如图，已知△ABC，利用尺规在AC边上求作点D，使AD＝BD（保留作图痕迹，不写作法．）
【分析】分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，交于两点，过这两点作直线交AC于点D，则点D即为所求
【解答】解：如图所示，点D即为所求；
17．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
【分析】利用尺规作∠EAC＝∠ACB即可，先证明△ACD≌△CAB，再证明CD∥AB即可．
【解答】解：图象如图所示，
∵∠EAC＝∠ACB，
∴AD∥CB，
∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，
∴△ACD≌△CAB（SAS），
∴∠ACD＝∠CAB，
∴AB∥CD．
18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边的中点．
（1）过点D作直线DE⊥BC，交线段AB于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CE，求证：AE＝CE．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，直线DE即为所求；
（2）根据尺规作图可知DE垂直平分BC，
∴EC＝EB，∠EDB＝90°，
∵∠ACB＝∠EDB＝90°，
∴AC∥ED，
∵点D为BC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE＝BE，
∵EC＝EB，
∴AE＝CE．
作法：
（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE．
（2）分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．
（3）作射线OC．
OC就是∠AOB的平分线．