2025年中考压轴模型：阿氏圆（解析卷版）

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【答案】A
【详解】解：∵A（-12，0），B（0，4），D（-4，0），
∴OA=12，OD=4，则AD=8，AC=4，
取E（-10，0），则AE=2，DE=6，
在△AEC和△ACD中，
∠CAE=∠DAC，，
∴△AEC∽△ACD，
∴，即CE=CD，
则BC+CD=BC+CE≥BE，
即BC+CD的最小值为BE的长，
即为=，
2．在中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为______．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接OP，取OC中点为M，连接PM，BM，
∵圆O半径为4，点P为劣弧CD上一动点，
∴OC＝OP＝4，
又∵点M为OC中点，
∴，
∵，∠MOP＝∠POA，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点B、P、M三点共线时，最小值为BM，
∵∠AOB＝90°，
∴，
又OM＝2，OB＝10，
∴，
∴最小值为，
3．在中，，，，以点为圆心，2为半径作圆，分别交，于、两点，点是圆上一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接
∵，
∴，又
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
4．如图，在中，，，，半径为2，P为圆上一动点，则的最小值＝_____．
【答案】
【详解】解：如图，连接，在上取点D，使，连结，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点A，P，D在同一条直线时，的值最小，
在中，
∵，，
∴，
∴的最小值为，
5．在中，为内一动点，满足，写出的最小值.
【答案】.
【详解】的最小值为，
提示：，，
的最小值为.
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（I）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（II）以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值．
【详解】（I）∵ ，，
∴．
∴抛物线的解析式为 ．
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（II）如图，连接，在上截取，使得，
连接，，此时，．
∵，，
∴．
∴，即．
∴．
∴当，，三点共线时，的值最小，最小值即为的值．
∴，
∴的最小值为．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，y与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出的最小值．
【详解】解：如图3，连接，，在轴截取，使，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
上、、三点共线时，的值最小，
在中，
，
即的最小值时．
8．如图，平面直角坐标系中，在轴、轴上分别有点，，动点在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，求的最小值．
【详解】解：如解图，在轴上取一点，连接，，．则
，，，
∴．
又∵，
∴．
∴，即．
∴，
当点，，三点共线时，的值最小，为的长．
∵．
∴当为与圆的交点时，有最小值为．
9．如图，已知抛物线的解析式为与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，点的坐标为（2，0），绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴，．
∵点的坐标为（2，0），
∴点的运动轨迹为以原点为圆心，以2为半径在第一象限的圆弧．
如解图，在轴上取一点，连接，，．则
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即．
∴．
当、、三点共线时，的值最小，为的长．
∵．
∴当为与圆弧的交点时，有最小值为．
10．如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A（-4，-4），B（0，4）两点，直线AC：y=-交y轴与点C，点E是直线AB上的动点，过点EF∥y轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）直接写出抛物线y=-x2+bx+c的解析式为_______；
（2）在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为圆E上一动点，求AM+CM的最小值．
【详解】解：（1）将点代入抛物线解析式可得：
，解得，抛物线的解析式为
（2）设直线解析式为
将代入得，解得
由题意可得：
设，，则
∵，，
∴为直角三角形，
结合图形可得，以A，E，F，H为顶点的矩形为矩形，为矩形的对角线
由矩形的性质可得，线段的中点重合
则，
解得，
∴，
由E点坐标可知，E在x轴上
（3）取的中点，如下图：
由（2）可知，，，
∴
∴
连接交圆于点，连接
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴，当三点共线时，等号成立
设，
化简得
解得或（舍去，在点的左边）
∴
∴
即的最小值为
11．如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线顶点为，抛物线与轴交于点，交轴于两点（在的左边），
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）已知点为线段上的一点且不与重合，作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，．当是以为底边的等腰三角形时，为线段上一点，连接，求出的最小值；
（3）若直线与抛物线的对称轴交于点，以为圆心1为半径作圆，为圆上一动点，求的最小值；
【详解】解：（1）∵顶点
∴设二次函数的解析式为
把点的坐标代入解得
故二次函数的解析式为
（2）如图
∵轴
∴
∵是以为底的等腰三角形
∴，，
∴两点关于抛物线的对称轴对称
∴，
以为斜边向外作，使得
∴
故当三点共线，最短
当三点共线，
∴
设，则
在中，，
∴，解得
∴，
∴，
∴
（3）
连接，，在上截取
设抛物线的对称轴与轴交于
∴
∵抛物线的顶点为
∴对称轴为直线
∴
设直线的解析式为
代入的坐标得，解得
∴直线的解析式为
令则
∴
在中，，
∴
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴当三点共线，最短
作轴于
∵，
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
在中，，
∴
∴
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点，与轴交于点．
（1）求拋物线的解析式以及直线的解析式；
（2）以原点为圆心，OA长为半径作⊙O，点为⊙O上的一点，连接、，求的最小值．
【详解】（1）由题意可知，，解得．
∴抛物线的解析式为；
令，即，解得，，
∴，，
令，则，，
设直线的解析式为，
将，代入，得解得
∴直线的解析式为；
（2）如解图，连接，在上截取，使得，
连接，．此时，．
∵，，
∴．
∴，即．
∴．
当、、三点共线时，的值最小，最小值即为的值，
∵，
∴的最小值为．
13．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点P是轴下方抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，的长为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
【详解】（1）解：由题意，，，设抛物线的解析式为，
把代入得到．故抛物线的解析式为．
（2）∵，∴对称轴是直线x=，
∵是对称轴，∴．
∵，，∴AF=．
∵tan∠OAC=，∴∠OAC=60°，
∵AD平分∠OAC，∴∠OAD=30°，
∴OD=tan∠OAD×=1，∴D(0，-1)．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴，∴，∴，
当x=时，，∴，∴AH=．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在上取一点，使得，则AK=．
作KG⊥AB于点G，则，
∴，∴，∴AG=，∴OG=-=，
当x=-时，=，∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∴当、、共线时，的值最小，最小值．
14．如图，直线y=x+2与抛物线y=x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．
【详解】∵抛物线对称轴为x=m，当x=m时，y=x+2=m+2，
∴M（m，m+2），
又∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AM=1×=，BM=2×=2，
∵D（m，m），
∴以MD为半径的圆的半径为 （m+2）﹣m=2，
取MB的中点N，连接QB、QN、QB'，
∴MN=BN=，
∵，∠QMN=∠BMQ，
∴△MNQ∽△MQB，
∴，
∴，
∴当Q、N、B'三点共线时QB'+QB最小，
∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴直线AB与对称轴夹角为45°，
∵点B、B'关于对称轴对称，
∴∠BMB'=90°，
由勾股定理得：QB'+QB的最小值为B'N==，即QB'+QB的最小值是．
15．已知抛物线与轴交于点、（点在点的右侧），与轴交于点．
（1）如图1，点为抛物线顶点，以点为圆心，1为半径作⊙A，点为⊙A上的动点，连接、，求的最小值；
（2）如图2，若点是直线与抛物线对称轴的交点，以为圆心，以1为半径作⊙H，点是⊙H上一动点，求的最小值；
（3）如图3，点是抛物线上的点，且横坐标为2，过点作轴于点，点是以为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接、，求的最大值．
【详解】解：（1）令，则，
解得，，∴，，∴，
将拋物线解析式化为顶点式为，∴，
如图，在轴上截取，则，
设抛物线对称轴与轴交于点，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴当、、三点共线时，，
即取得最小值，最小值为的长，
∵，
∴，
∴点坐标为，
∴，，
∴，
∴的最小值为；
（2）由抛物线，
可得拋物线对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将，代入，
易得直线的解析式为，
∵点为直线与抛物线对称轴的交点，
∴点坐标为（1，2），
如图，连接，与交于点，在上截取，
过点作轴于点，设抛物线对称轴与轴交于点，连接交于点，
∵，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
要使最小，则取最小值．即点、、三点在一条直线上时，值最小，最小值为的长，
易得直线的解析式为，
∵点在直线上，
∴设点横坐标为，则其纵坐标为，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
解得，
∴点坐标为，
∵点的坐标为（3，0），
∴，
∴的最小值为；
（3）∵点是抛物线上的点，且横坐标为2，
∴，
∵，
∴轴，
∵轴，
∴易证四边形为矩形，
∴，
如图，在上取一点，使得，连接并延长交于点，连接，
易得直线的解析式为，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
∴，
当点在的延长线上时，的值最大，最大值为的长，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最大值为．
16.在平面直角坐标系中,四边形 AOBC 是矩形,点O(0,0),点A(6,0),点B(0,4),点D(4,0).E是边AC或 CB 上的一点(点E不与点A,B重合),沿着DE 折叠该纸片,点A的对应点为A'.
(I)如图①,当∠EDA=30°时,求点A'的坐标;
(Ⅱ)如图②,当点E与点C重合时,延长 DA'交 BC 于点 F.
①求证:FD=FC;②求点F的坐标;
(Ⅲ)若点H的坐标是(4,4),求OA'+A'H的最小值(直接写出结果即可).