第01讲 集合的概念与运算--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
[注意] N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
3.集合的基本运算
考点1 集合的含义与表示
[名师点睛]
与集合元素有关问题的解题策略
(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
[典例] (2022·山东模拟）(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
(2)设A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．
[解析] (1)将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.
(2)因为4∈A，即4∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，
所以a2－3a＝4或a＋eq \f(2,a)＋7＝4.
若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4；
若a＋eq \f(2,a)＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2.
由a2－3a与a＋eq \f(2,a)＋7互异，得a≠－1.
故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,3}，
所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.
综上所述，a的取值集合为{4}．
[答案] (1)A (2){4}
[举一反三]
1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，解得．故选：D．
2．（2022·菏泽模拟）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，则eq \f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为( )
A．0 B．eq \f(1,2)
C．1 D．2
解析：选BD.因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝0，,－2n＋1＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠0，,Δ＝4－4m＝0，,n＝－\f(－2,2m)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝0，,n＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝1，))
所以m＋n＝eq \f(1,2)或m＋n＝2.故选BD.
4．（2022·福建·模拟预测）设集合， ，则集合元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
当时，y＝1；当时，y＝0；当x＝3时，．故集合B共有3个元素．故选：B.
5．（2022·武汉校级月考）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－eq \f(3,2).
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－eq \f(3,2)时，m＋2＝eq \f(1,2)，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
考点2 集合的基本关系
[名师点睛]
解决有关集合间的基本关系问题的策略
(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论．
(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法．
[典例](1)(2021·八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝( )
A．∅ B．M
C．N D．R
(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A＝{x|y＝eq \r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1，2]
C．[－2，1] D．[2，＋∞)
【解析】 (1)因为M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，所以N＝∁RM，所以M∪(∁RN)＝M.故选B.
(2)集合A＝{x|y＝eq \r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因为B⊆A，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥－2，,a＋1≤2，))
所以－2≤a≤1.
【答案】 (1)B (2)C
[举一反三]
1.（2022·广东广州·一模）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】由题可知，所有，所有其子集分别是，所有共有4个子集，故选：C
2．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0