第30讲 平面向量的概念及线性运算--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
考点1 平面向量的概念
[名师点睛]
平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量.
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若，则
D．共线向量是在一条直线上的向量
【答案】C
【分析】根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.
【详解】对于A：根据共线向量的定义可知向量就是所在的直线与所在的直线平行或重合，故选项A不正确；
对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；
对于C：若，则，故选项C正确；
对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；
故选：C.
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．若，都是单位向量，则
B．若向量，，则
C．与非零向量共线的单位向量是唯一的
D．已知为非零实数，若，则与共线
【答案】D
【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果.
【详解】单位向量的方向不一定相同，故A错误；
当时，显然与不一定平行，故B错误；
非零向量共线的单位向量有，故C错误；
由共线定理可知，若存在非零实数，使得，则与共线，故D正确.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．向量与是相等向量
B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任一向量共线
D．两平行向量所在直线平行
【答案】C
【分析】根据向量相等和 平行的定义逐项分析可以求解.
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B错误；
对于C，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C正确；
对于D，两个平行向量所在的直线可能重合，故D错误；
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）设，都是非零向量，成立的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】B
【分析】由题意，利用、上的单位向量相等的条件，得出结论．
【详解】解：因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以要使成立，即、方向上的单位向量相等，则必需保证、的方向相同，
故成立的充分条件可以是；
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题：
①单位向量一定相等；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；
④方向相反的两个单位向量互为相反向量；
⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．
其中正确的命题的个数为______．
【答案】
【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；
对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；
对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确；
对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确；
对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误；
则正确的命题个数为个.
故答案为：.
考点2 向量的线性运算
[名师点睛]
1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：
①若同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________填序号
【答案】①⑤
【详解】对于①，若同向，则与同向，所以，故正确；
对于②，与前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；
对于③，若不共线，则有，故③不正确；
对于④，若，则，故④不正确；
对于⑤，对任意两个向量，总有，故⑤正确；
对于⑥，若三向量满足，若中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．
故答案为：①⑤．
2．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可.
【详解】解：因为在平行四边形中，点、分别满足，，
所以，，
所以．
故选：A
3.如图，在直角梯形ABCD中，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，且eq \(AE,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AD,\s\up6(→))，则2r＋3s＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 法一 由题图可得
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→)).
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AD,\s\up6(→))，所以r＝eq \f(1,2)，s＝eq \f(2,3)，
则2r＋3s＝1＋2＝3.
法二 因为eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝2(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→)))，
整理，得eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
以下同法一.
法三 如图，建立平面直角坐标系xAy，
依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.
由eq \(AE,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AD,\s\up6(→))，
得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4m＝4mr＋3ms，,2h＝3hs，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r＝\f(1,2)，,s＝\f(2,3)，))
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
[举一反三]
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】解：在中，为的中点，所以，
又，所以，
所以；
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】解：因为，所以，
所以.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果.
【详解】．
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.
【详解】∵，
∴，
∵，
又，
∴，即.
故选：D.
考点3 共线向量定理的应用
[名师点睛]
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共线.
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
[典例]
1．（2021·北京通州·一模）设向量是两个不共线的向量，已知，，，且B，C，D三点共线，则______（用表示）；实数______．
【答案】
【分析】由向量减法法则得即可得答案，再根据B，C，D三点共线，得即可得答案.
【详解】由向量减法法则得：，
由于B，C，D三点共线，所以，即：，
所以，解得：.
故答案为：；
2．（2022·全国·高三专题练习）设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使和共线．
【解】（1）证明：，，，


，共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）和共线，
∴存在实数λ，使，
即，.
，是两个不共线的非零向量，

，.
[举一反三]
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线
【答案】A
【详解】由题意得，又有公共点B，所以A，B，D三点共线.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）设，是平面内两个不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【分析】根据向量共线定理得到，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为A，B，C三点共线，所以向量、共线，
所以存在，使得，即，
即，
因为、不共线，所以，消去，得，
因为，，所以，当且仅当，时，等号成立.
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据O，A，B三点共线，则，，，代入整理．
【详解】因为O，A，B三点共线，则
所以，，即
整理得：
又∵向量，不共线，则，则
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线向量，，，若A，B，C三点共线，则实数 __________.
【答案】
【分析】根据三点共线的向量表达可得，再根据平面向量的线性运算与基本定理求解即可
【详解】因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得，
所以，
即，
因为不共线，所以，解得
故答案为：
5．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形中，，，分别为边，，的中点，，，三点共线.若，则实数的值为______.
【答案】
【分析】将化为以为基底可得，由，，三点共线可知，计算即可.
【详解】，，，分别为边，，的中点，
,
，，三点共线，
，解得：.
故答案为：.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知O，A，B是不共线的三点，且
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.
【解】（1）证明：
若m+n=1，则，，
故，即，
，即共线，又有公共点，则A，P，B三点共线；
（2）证明：
若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得，变形得，即，，又，，故
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb