第31讲 平面向量基本定理及坐标表示--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1.平面向量的基本定理
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
考点1 平面向量基本定理的应用
[名师点睛]
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
[典例]
【例1-1】(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝3eq \(EA,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B.eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)b
C.－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D.－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b
答案 C
解析 eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(CA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,12)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b.
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又eq \(CM,\s\up6(→))＝teq \(CP,\s\up6(→))，则t的值为________.
答案 eq \f(3,4)
解析 如图所示.
∵A，M，Q三点共线，
∴eq \(CM,\s\up6(→))＝xeq \(CQ,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(CA,\s\up6(→))
＝eq \f(x,2)eq \(CB,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(CA,\s\up6(→))，
又∵eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CM,\s\up6(→))＝teq \(CP,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＝\f(1,3)t，,1－x＝\f(2,3)t，))解得t＝eq \f(3,4).
【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．
(1)试用向量，表示；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．
【解】(1)设，
由A，M，D三点共线，可知存在（，且），使得，
则，
因为，所以，
由平面向量基本定理得，即，①
同理，由B，M，C三点共线，可知存在（，且），使得，
则，
又，所以，
由平面向量基本定理得 即，②
由①②得，，
故；
(2)由于E，M，F三点共线，则存在实数（，且）使得，即，
于是，
又，，
所以，
由平面向量基本定理得，消去，
得，
故为定值，该定值为5.
[举一反三]
1．（2022·湖北·高三开学考试）在平行四边形中，是的中点，是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】因为，分别用表示出，代入即可得出答案.
【详解】因为是的中点，是的中点，
所以，而，，
所以.
故选：D.
2．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）如图所示，的面积为，其中，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：，
所以，
因为AD为BC边上的高，
所以，
因为M为AD的中点，
所以
，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与所在直线分别交于点，，满足，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答.
【详解】因平行四边形的对角线相交于点，则，
而，于是得，又点M，O，N共线，
因此，，即，又，解得，
所以.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，是上一点，，是线段上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得，设，其中，利用平面向量的线性运算可得出，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值.
【详解】因为，则，所以，，
，
因为是线段上一点，设，其中，
所以，，解得.
故选：D
考点2 平面向量的坐标运算
[名师点睛]
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
[典例]
【例2】（2022·全国·高三专题练习）在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.
【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
令，则，，
，因，
于是得，解得，
所以的值为.
故选：B
[举一反三]
1.在平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，7)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则eq \(CO,\s\up6(→))的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5))
答案 C
解析 因为在平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，7)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以eq \(CO,\s\up6(→))＝－eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)).
2.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
∴a＝eq \(AO,\s\up6(→))＝(－1，1)，b＝eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，2)，c＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3).
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得λ＝－2，μ＝－eq \f(1,2)，
∴eq \f(λ,μ)＝eq \f(－2,－\f(1,2))＝4.
3.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|，则向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐标是________.
答案 (4，7)
解析 由点C是线段AB上一点，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|，得eq \(BC,\s\up6(→))＝－2eq \(AC,\s\up6(→)).
设点B为(x，y)，
则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x＝－2，,3－y＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝7.))
所以向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐标是(4，7).
4.如图，平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________.
答案 6
解析 以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，
则A(1，0)，C(2eq \r(3)cs 30°，2eq \r(3)sin 30°)，
B(cs 120°，sin 120°).
即A(1，0)，C(3，eq \r(3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
由eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)μ＝3，,\f(\r(3),2)μ＝\r(3).))
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(μ＝2，,λ＝4.))∴λ＋μ＝6.
考点3 平面向量共线的坐标表示
[名师点睛]
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
[典例]
【例3-1】（2022·河北沧州·二模）已知向量，且，则实数__________.
【答案】
【分析】首先求出的坐标，然后根据向量共线的坐标表示可建立方程求解.
【详解】由题意得，因为，所以，解得.
故答案为：
【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，，且A，B，C三点共线，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求向量和，再将三点共线转化成向量共线求参数的取值.
【详解】，.
因为A，B，C三点共线，所以共线，
所以，解得.
故选：A
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知点，则满足的的坐标为______.
【答案】.
【分析】设的坐标为，结合向量的坐标运算公式，列出方程，即可求解.
【详解】设的坐标为，且，
因为，可得，
可得，所以的坐标为.
故答案为：.
[举一反三]
1．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，向量，，
可得，，
因为，可得，解得.
故选：A.
2．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0B．48C．D．
【答案】C
【详解】由题意，得，
又与反向共线，故，此时，故.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）若平面向量与向量平行，且，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【详解】由题.又且平面向量与向量平行.
故,即或.
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）已知、，点P是线段上的点，且，则P点的坐标为________．
【答案】
【详解】设的坐标为，
因为、，所以，
又，所以，
故，，
即P点的坐标为,
故答案为：
5．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设向量，，若，则__________．
【答案】
【详解】因为，所以，解得，
故答案为：．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若B，C，D三点共线，则________.
【答案】
【详解】因为，
所以，
，
因为B，C，D三点共线，
所以，即，
所以.
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）平面内给定两个向量，.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
【解】(1)由已知，因此，.
(2)由已知，，
因为，则，解得.
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底