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所属成套资源：2025年高考数学一轮总复习（新高考考点与真题训练）
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第57讲 排列与组合--2025高考一轮单元综合复习与测试卷
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这是一份第57讲 排列与组合--2025高考一轮单元综合复习与测试卷，文件包含第57讲排列与组合原卷版docx、第57讲排列与组合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
1．排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号Aeq \\al(m,n)表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
考点1 排列问题
[名师点睛]
排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
[典例]
1.(多选)17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为( )
A．Aeq \\al(7,7)Aeq \\al(10,10) B．Aeq \\al(7,17)Aeq \\al(10,10) C．Aeq \\al(7,17)＋Aeq \\al(10,10) D．Aeq \\al(17,17)
2.(2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2,3,4,5,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1A．15 B．30 C．45 D．60
3.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
[举一反三]
1.(2022·苏州调研)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学创新能力比赛，决出第一到第五名的名次(无并列名次)．甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“你们都没有得到第一，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有( )
A．36种 B．24种
C．18种 D．12种
2.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有( )
A.96个 B.78个 C.72个 D.64个
考点2 组合问题
[名师点睛]
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
[典例]
1.(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
2.两个三口之家(父母＋小孩)共6人去旅游，有红旗和大众两辆新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为( )
A．48 B．50
C．98 D．68
3.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
[举一反三]
1.泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有 种(用数字作答)．
2.(2022·安徽省五校联盟质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A.15 B.30 C.35 D.42
3.(多选)(2022·沈阳模拟)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A.若任意选科，选法总数为Ceq \\al(2,4)
B.若化学必选，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)
C.若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＋1
考点3 排列与组合的综合问题
[名师点睛]
相邻、相间问题的解题策略
(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．
定序问题的处理策略
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为eq \f(m＋n！,n！).
解决分组分配问题的策略
(1)对于整体均分，分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
[典例]
命题点1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题
例 (2022·广州质检)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为( )
A．Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,2) B．Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)
C．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(5,5) D．Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,5)
延伸探究 若要求饮料类店铺必须相邻，则可以排出的摊位规划总个数为 (用数字作答)．
命题点2 定序问题
例 某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ．
延伸探究 若在本题中，再增加条件“工程丁必须在丙完成后立即进行”，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ．
命题点3 分组、分配问题
例 数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )
A.eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(3,3))Aeq \\al(4,4)种 B．Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)34种
C.eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))43种 D．Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)43种
[举一反三]
1.北京APEC峰会期间，有2名女性和3名男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A.12种 B.24种 C.48种 D.96种
2.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)
＝eq \f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．特别地Ceq \\al(0,n)＝1.
性质
(1)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n！.
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
1．排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号Aeq \\al(m,n)表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
考点1 排列问题
[名师点睛]
排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
[典例]
1.(多选)17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为( )
A．Aeq \\al(7,7)Aeq \\al(10,10) B．Aeq \\al(7,17)Aeq \\al(10,10) C．Aeq \\al(7,17)＋Aeq \\al(10,10) D．Aeq \\al(17,17)
2.(2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2,3,4,5,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1
3.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
[举一反三]
1.(2022·苏州调研)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学创新能力比赛，决出第一到第五名的名次(无并列名次)．甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“你们都没有得到第一，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有( )
A．36种 B．24种
C．18种 D．12种
2.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有( )
A.96个 B.78个 C.72个 D.64个
考点2 组合问题
[名师点睛]
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
[典例]
1.(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
2.两个三口之家(父母＋小孩)共6人去旅游，有红旗和大众两辆新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为( )
A．48 B．50
C．98 D．68
3.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
[举一反三]
1.泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有 种(用数字作答)．
2.(2022·安徽省五校联盟质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A.15 B.30 C.35 D.42
3.(多选)(2022·沈阳模拟)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A.若任意选科，选法总数为Ceq \\al(2,4)
B.若化学必选，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)
C.若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＋1
考点3 排列与组合的综合问题
[名师点睛]
相邻、相间问题的解题策略
(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．
定序问题的处理策略
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为eq \f(m＋n！,n！).
解决分组分配问题的策略
(1)对于整体均分，分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
[典例]
命题点1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题
例 (2022·广州质检)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为( )
A．Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,2) B．Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)
C．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(5,5) D．Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,5)
延伸探究 若要求饮料类店铺必须相邻，则可以排出的摊位规划总个数为 (用数字作答)．
命题点2 定序问题
例 某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ．
延伸探究 若在本题中，再增加条件“工程丁必须在丙完成后立即进行”，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ．
命题点3 分组、分配问题
例 数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )
A.eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(3,3))Aeq \\al(4,4)种 B．Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)34种
C.eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))43种 D．Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)43种
[举一反三]
1.北京APEC峰会期间，有2名女性和3名男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A.12种 B.24种 C.48种 D.96种
2.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)
＝eq \f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．特别地Ceq \\al(0,n)＝1.
性质
(1)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n！.
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
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