第61讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq \(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \a\vs4\al(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1)) （xi－E（X））2pi)为随机变量X的方差，并称eq \r(D（X）)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
考点1 分布列的性质
[名师点睛]
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
[典例]
(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q等于( )
A．1 B.eq \f(\r(2),2)或－eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 D
解析 由离散型随机变量分布列的性质得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1－q＋q－q2＝1，,0≤1－q≤\f(1,2)，,0≤q－q2≤\f(1,2)，))
解得q＝eq \f(\r(2),2).
(2)(多选)设随机变量ξ的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则( )
A．a＝eq \f(1,15)
B．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)<ξ<\f(4,5)))＝eq \f(1,5)
C．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)<ξ<\f(1,2)))＝eq \f(2,15)
D．P(ξ＝1)＝eq \f(3,10)
答案 AB
解析 对于选项A，
∵随机变量ξ的分布列为
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(2,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(3,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(4,5)))＋P(ξ＝1)
＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，
解得a＝eq \f(1,15)，故A正确；
对于B，易知
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)<ξ<\f(4,5)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(3,5)))＝3×eq \f(1,15)＝eq \f(1,5)，
故B正确；
对于C，易知
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)<ξ<\f(1,2)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(2,5)))
＝eq \f(1,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(1,5)，
故C错误；
对于D，易知P(ξ＝1)＝5×eq \f(1,15)＝eq \f(1,3)，故D错误．
[举一反三]
随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.
答案 eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
解析 因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝eq \f(1,3)，
因此P(|X|＝1)＝a＋c＝eq \f(2,3).
又a＝eq \f(1,3)－d，c＝eq \f(1,3)＋d，
根据分布列的性质，得0≤eq \f(1,3)－d≤eq \f(2,3)，0≤eq \f(1,3)＋d≤eq \f(2,3)，
所以－eq \f(1,3)≤d≤eq \f(1,3).
考点2 离散型随机变量的分布列及数字特征
[名师点睛]
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．
(2)求ξ取每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．
[典例]
1.(多选)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
答案 ACD
解析 因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，
所以q＝0.1，故A正确；
由已知可得E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；
因为Y＝2X＋1，
所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，
D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．
2.(2022·昆明模拟)从1,2,3,4,5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X表示取出的数字的最小数，则随机变量X的均值E(X)等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3) C.eq \f(7,4) D.eq \f(9,5)
答案 A
解析 由题意知，X的可能取值为1,2,3，而随机取3个数的取法有Ceq \\al(3,5)种，
当X＝1时，取法有Ceq \\al(2,4)种，
即P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5)；
当X＝2时，取法有Ceq \\al(2,3)种，
即P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)；
当X＝3时，取法有Ceq \\al(2,2)种，
即P(X＝3)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)；
∴E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2).
3.甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为eq \f(3,4)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2).记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列.
解 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(1,24)，
P(X＝1)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，
P(X＝2)＝eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(11,24)，
P(X＝3)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).
∴随机变量X的分布列为
[举一反三]
1．已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋1，且随机变量X的分布列如下：
则随机变量Y的方差D(Y)等于( )
A.eq \f(5,9) B.eq \f(20,9)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(29,9)
答案 B
解析 由分布列的性质，得a＝1－eq \f(1,6)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)，
所以E(X)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(4,3)，
所以D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(4,3)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(4,3)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9)，
又Y＝2X＋1，所以D(Y)＝4D(X)＝eq \f(20,9).
2.(2022·邯郸模拟)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．
表1
表2
(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；
(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；
(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列与均值．
解 (1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，
购买虚拟商品不低于100元的概率为eq \f(1,6)，
因此所求概率为eq \f(3,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,8).
(2)根据条件，积分不低于8分有两种情况：
①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分；
②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，
故小张一个月积分不低于8分的概率为
eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,4).
(3)由条件可知X的可能取值为3,4,5.
P(X＝3)＝eq \f(\f(1,3),\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq \f(2,5)，
P(X＝4)＝P(X＝5)＝eq \f(\f(1,4),\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq \f(3,10)，
即X的分布列如下：
E(X)＝3×eq \f(2,5)＋4×eq \f(3,10)＋5×eq \f(3,10)＝eq \f(39,10).
考点3 均值与方差中的决策问题
[名师点睛]
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
[典例]
(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
[举一反三]
(2021·北京)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为eq \f(1,11)，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和均值E(X)；
(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的均值为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
解 (1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的一组每个人进行检测，需要10次，
所以总检测次数为20.
②由题意，X可以取20,30，
P(X＝20)＝eq \f(1,11)，P(X＝30)＝1－eq \f(1,11)＝eq \f(10,11)，
则X的分布列为
所以E(X)＝20×eq \f(1,11)＋30×eq \f(10,11)＝eq \f(320,11).
(2)由题意，Y可以取25,30，
两名感染者在同一组的概率为P1＝eq \f(C\\al(1,20)C\\al(2,2)C\\al(3,98),C\\al(5,100))＝eq \f(4,99)，不在同一组的概率为P1＝eq \f(95,99)，
则E(Y)＝25×eq \f(4,99)＋30×eq \f(95,99)＝eq \f(2 950,99)>E(X)．
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
1－q
q－q2
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,24)
eq \f(1,4)
eq \f(11,24)
eq \f(1,4)
X
0
1
2
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
a
购买实物商品(元)
(0,100)
[100,500)
[500,1 000)
积分
2
4
6
概率
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
购买虚拟商品(元)
(0,20)
[20,50)
[50,100)
[100,200)
积分
1
2
3
4
概率
eq \f(1,3)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
X
3
4
5
P
eq \f(2,5)
eq \f(3,10)
eq \f(3,10)
X
20
30
P
eq \f(1,11)
eq \f(10,11)