第58讲 二项式定理--2025高考数学一轮单元综合复习与测试卷

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1．二项式定理
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
常用结论
1．两个常用公式
(1)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
2．二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
考点1 通项公式的应用
[名师点睛]
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
[典例]
1.（2022·北京市第一零九中学高三阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．20B．-40C．40D．-10
【答案】C
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】展开后的通项为，
令，所以，
故选：C
2.（2022·江苏·海安高级中学高三阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由二项式定理将展开，然后得出，即可求出的系数.
【详解】由二项式定理：
观察可知的系数为.
故选：B.
3.（2022·山东青岛·高三开学考试）在的展开式中，常数项为（ ）
A．80B．C．160D．
【答案】D
【分析】根据二项式展开式的特征即可知中间项（第4项）为常数项.
【详解】由于互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为，
故选：D
[举一反三]
1．（2022·广东·珠海市第三中学二模）的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】使用二项展开式的通项进行计算即可.
【详解】的展开式的通项是，（）
由题意，，
因此，的系数是.
故选：B.
2．（2022·河北·高三阶段练习）关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（ ）
A．3B．2C．1D．-1
【答案】C
【分析】根据二项式展开式可求得含的项的系数，即得方程，求得答案.
【详解】由题意得的系数为，解得，
故选：C.
3.（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
4．（2022·天津·高考真题）的展开式中的常数项为______.
【答案】
【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
考点2 二项式系数与项的系数的问题
[名师点睛]
赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为eq \f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为eq \f(1,2)[g(1)－g(－1)]．
[典例]
1．（2022·全国·模拟预测）已知的二项展开式中，第三项与第项的二项式系数和为84，则第四项的系数为（ ）
A．280B．448C．692D．960
【答案】B
【分析】根据第三项与第项的二项式系数和为84，可求得，利用通项公式求解即可.
【详解】由题，，
因为第三项与第项的二项式系数和为84，所以，即，
所以，解得，
所以第四项的系数为，
故选：B
2．（2022·广东广州·高三阶段练习）若的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（ ）
A．B．160C．D．1120
【答案】A
【分析】根据第项和第项的二项式系数相等可构造方程求得，由此可得展开式通项，令即可求得常数项
【详解】因为展开式中的第项和第项的二项式系数相等，
，解得：，
展开式通项公式为：，
令，解得：，该展开式中的常数项为,
故选：A
3．（2022·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
[举一反三]
1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据，结合二项式定理求解即可.
【详解】因为，展开式第项，当时，，当时，，故，即.
故选：B
2．（2022·北京市广渠门中学高三阶段练习）若的展开式中的第项和第项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据第项和第项的二项式系数相等可构造方程求得，由此可得展开式通项，令即可求得的系数.
【详解】展开式中的第项和第项的二项式系数相等，，解得：，
展开式通项公式为：，
令，解得：，的系数为.
故选：B.
3．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（ ）
A．90B．10C．10D．90
【答案】A
【分析】由题意可得，得，然后求出二项式展开式的通项公式，由的次数为零，求出，从而可求出常数项.
【详解】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，
所以，得，
所以，
则其展开式的通项公式为，
令，得，
所以该展开式中的常数项为，
故选：A
4．（2022·江苏南通·高三开学考试）在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】写出展开式通项，即可求得展开式中所有奇数项的系数之和.
【详解】的展开式通项为，
因此，展开式中所有奇数项的系数和为.
故选：D.
5．（多选）（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】对于A，利用赋值法求解，对于B，利用二项式展开式的通项公式求解，对于C，利用赋值法求解，对于D，利用二项式展开式的通项公式求解.
【详解】对于A，令，则，令，则，
所以，所以A错误，
对于B，二项式展开式的通项公式为，所以，所以B错误，
对于C，令，则，因为，所以，，
因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为二项式展开式的通项公式为，所以，， ，，，
所以，，
所以，所以D正确，
故选：CD
6．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
7．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习） 的展开式中不含的各项系数之和______.
【答案】128
【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开，展开后对每一项进行合并，合并后使得项幂次为0，确定项数后即可得到答案.
【详解】利用二项展开式的通项公式进行展开，设项为，项为，项为.
展开后得对每一项进行合并得 ，因为展开式中不含，所以，又得取值为，得取值为，故得.
代入展开式得，又得取值为，分别带入后各项系数之和为.
故答案为：128
考点3 系数与二项式系数的最值问题
[名师点睛]
二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第eq \f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第eq \f(n＋1,2)项和第eq \f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为或.
[典例]
1．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）在的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为__________．
【答案】1120
【分析】由二项式系数的性质先确定的值，再由展开式的通项公式即可求解
【详解】由的展开式中只有第5项二项式系数最大得，
所以展开式通项为，
当时常数项为．
故答案为：1120
2．（多选）（2022·浙江·高三开学考试）在二项式的展开式中，正确的说法是（ ）
A．常数项是第3项B．各项的系数和是1
C．偶数项的二项式系数和为32D．第4项的二项式系数最大
【答案】BCD
【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断B选项；求出偶数项的二项式系数和可判断C选项；利用二项式系数的性质可判断D选项；
【详解】解：二项式的展开式通项为，
对于A选项，令，可得，故常数项是第项，A错；
对于B选项，各项的系数和是，B对；
对于C选项，偶数项二项式系数和为，C对
对于D选项，展开式共项，第项二项式系数最大，D对；
故选：BCD
[举一反三]
1.已知(3x－1)n展开式的第5项的二项式系数最大，且n为偶数，则(3x－1)n展开式中x2的系数为( )
A.－252 B.252 C.－28 D.28
答案 B
解析 由题意可得n＝8，则(3x－1)8的展开式的通项是Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)(3x)8－r·(－1)r，令8－r＝2，解得r＝6，则展开式中x2的系数为Ceq \\al(6,8)32＝252.
2.(2022·杭州调研)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(n)的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( )
A.－126 B.－70 C.－56 D.－28
答案 C
解析 ∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n＝8，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(n)的展开式的通项为
Tk＋1＝(－1)kCeq \\al(k,8)x8－eq \f(3,2)k(k＝0，1，2，…，8)，
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3Ceq \\al(3,8)＝－56.
3.已知n为满足S＝n＋Ceq \\al(1,27)＋Ceq \\al(2,27)＋Ceq \\al(3,27)＋…＋Ceq \\al(27,27)(n≥3)能被9整除的正数n的最小值，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))n的展开式中，系数最大的项为( )
A．第6项 B．第7项
C．第11项 D．第6项和第7项
答案 B
解析 S＝n＋Ceq \\al(1,27)＋Ceq \\al(2,27)＋Ceq \\al(3,27)＋…＋Ceq \\al(27,27)
＝n＋(1＋1)27－Ceq \\al(0,27)
＝(9－1)9＋n－1
＝9(98－Ceq \\al(1,9)97＋…＋Ceq \\al(8,9))＋n－2，
∵n≥3，
∴S能被9整除的正数 n的最小值是n－2＝9，
∴n＝11.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))11的展开式中的通项公式为
Tk＋1＝Ceq \\al(k,11)x11－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))k
＝(－1)kCeq \\al(k,11)x11－2k，
只考虑k为偶数的情况，
由T5＝Ceq \\al(4,11)x3，T7＝Ceq \\al(6,11)x－1，T9＝Ceq \\al(8,11)x－5，
可知系数最大的项为第7项．
二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数
Ceq \\al(k,n)(k＝0,1，…，n)