广东省揭阳市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省揭阳市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了 曲线在点处的切线方程为， 若直线平分圆，则实数的值为， 《周髀算经》中有这样一个问题， 已知函数，其中且且为常数， 已知向量，，则， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.
2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 为了得到图象，只要将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
3. 设是三个不同平面，且，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若直线平分圆，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 或
6. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒､立春､惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（ ）
A. 1.5尺B. 3.5尺C. 5.5尺D. 7.5尺
7. 已知函数，其中且且为常数.若对任意且，在内均存在唯一零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”.若三棱锥的四个顶点均在表面积为的球面上，它的两条棱的长度分别为8和6，则的伴随球的体积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则（ ）
A.
B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为
D. 在上的投影向量的坐标为
10. 已知函数，则（ ）
A. 值域为
B. 为偶函数
C. 在上单调递增
D. 在上有2个零点
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 与 定义域不同
B. 的单调递减区间为
C. 若有三个不同的解，则
D. 对任意两个不相等正实数，若，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，内角的对边分别为，其中，则__________.
13. 已知集合，，则__________.
14. 已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边的中点，且，求面积的最大值.
16. 南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男､女性游客各100名，统计结果如下表所示：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？
（2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步､滑行､转弯､制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率.
附：.
17. 如图，在四棱台中，平面，2，，.
（1）记平面与平面的交线为，证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
18. 已知抛物线的准线为，焦点为为上异于原点且不重合的三点.
（1）求的方程；
（2）若为的重心，求的值；
（3）过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值.
19. 给定数列，若首项且，对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”.
（1）已知数列为“指数型数列”，若，求；
（2）已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（3）若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.
对滑雪的喜爱情况
性别
合计
男性游客
女性游客
喜欢滑雪
60
35
95
不喜欢滑雪
40
65
105
合计
100
100
200
005
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
揭阳市2023—2024学年度高中二年级教学质量测试
数学
本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.
2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，所以，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A
2. 为了得到的图象，只要将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】将变形为，由“左加右减，上加下减”的平移规则即可判断.
【详解】由可知，将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象.
故选：A.
3. 设是三个不同平面，且，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.
【详解】由于，，由平面平行的性质定理可得：，
所以是的充分条件；
但当，，并不能推出，也有可能相交，
所以是的不必要条件；
故选:A.
4. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得.
【详解】因为，则，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：D
5. 若直线平分圆，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】列出所满足的条件，由直线过圆心求得的值.
【详解】可化为，则，
又直线平分圆，
则直线经过圆心.
代入直线得，解得或.
因为不满足，故
故选：C.
6. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒､立春､惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（ ）
A. 1.5尺B. 3.5尺C. 5.5尺D. 7.5尺
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项公式及前项和得到方程组，求出，，再求出即可.
【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、
芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，前项和，
由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，
得，解得，，
所以小满日影长为（尺）．
故选：B
7. 已知函数，其中且且为常数.若对任意且，在内均存在唯一零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求导函数，可以判断函数在上单调递增，进而转化为，再解不等式得对一切成立，进而得范围.
【详解】，
当时，恒成立，
所以函数上单调递增，
若函数在内均存在唯一零点，只需即可，
即，
因为且，，
所以对一切成立，
因为当时，，当且仅当时等号成立，
所以.
故选：C．
8. 已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”.若三棱锥的四个顶点均在表面积为的球面上，它的两条棱的长度分别为8和6，则的伴随球的体积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知求出三棱锥的外接球半径，求出，进一步求出的范围，从而得出答案即可．
【详解】设三棱锥外接球的半径为，
则，所以球的半径为，
则球的两条弦的中点为，
则，
即弦分别是以为球心，半径为和的球的切线，
且弦在以为球心，半径为的球的外部，
的最大距离为，最小距离为，
当三点共线时，分别取最大值与最小值，
故的伴随球半径分别为，
当半径为时，的伴随球的体积为，
当半径为时，的伴随球的体积．
∴的伴随球的体积的取值范围是．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由三棱锥的外接球半径，求出是解题的关键．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则（ ）
A.
B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为
D. 在上投影向量的坐标为
【答案】BC
【解析】
【分析】对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得.
【详解】因为，，
对于A：，
则，故A错误；
对于B：因为，所以与为不共线的向量，
故与可作为一组基底向量，故B正确；
对于C：，
所以，故C正确；
对于D：，
所以在上的投影向量的坐标为，故D错误.
故选：BC
10. 已知函数，则（ ）
A. 的值域为
B. 为偶函数
C. 在上单调递增
D. 在上有2个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先化简函数的解析式，再根据函数的振幅判断函数的最值，并求函数的解析式，判断函数的性质，求解函数在区间上的零点个数，即可判断选项.
【详解】．
A．因为，所以，故A正确．
B．因为，所以，是偶函数，故B正确．
C．由选项可得，，
由余弦函数的图象可知，在上单调递减，故C错误．
D．令，则，所以．
令，可得，又，所以或，
所以在上有2个零点，故D正确．
故选：ABD
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 与 的定义域不同
B. 的单调递减区间为
C. 若有三个不同的解，则
D. 对任意两个不相等正实数，若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用定义域关于原点对称且是奇函数，确定选项A；利用求导和导函数值小于0，解不等式，排除选项B；利用导数研究单调性和自变量趋向于正、负无穷时的极限值来作出简图，通过是不符合题意，来排除选项C；利用极值点偏移法，构造函数并进行求导分析证明，确定选项D．
【详解】对于A，由的定义域为，而的定义域为，所以选项A是正确的；
对于B，由函数定义域为，因为，由，得到，解得或，
所以的单调递减区间为，，所以选项B是错误；
对于C，因为，由，解得且，
所以的增区间为区间，，
由选项B知，的减区间为，，
又，当时，，且，
当时，，且，
当且时，，当且时，，
其图象如图所示，

由图知，有三个不同的解，则且，所以选项C是错误；
对于D，由题知，得到，
由图，不妨设，设，，
则，
当时，，，所以，
即在区间上单调递增，又，
所以，得到，
又，当时，，即在区间上单调递减，
又，所以，得到，所以选项D正确.
故选：AD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，内角的对边分别为，其中，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式求出，再由余弦定理计算可得.
【详解】因为，所以，
由余弦定理，即，
所以（负值已舍去）.
故答案为：
13. 已知集合，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先解对数不等式求出集合，再解分式不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，所以，
解得，
所以，
由，解得，所以，
所以.
故答案为：
14. 已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，由此可求离心率.
【详解】设，设圆与轴相切于点，
则，
又，，
所以，
所以，
即，
过点作直线的垂线，垂足为，
则，
所以，
所以，所以，
∴，
∴，
由三角形面积相等，得，
，
，
，
所以，
，即得.
故答案为：.
.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边的中点，且，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理进行角换边，再利用余弦定理即可得到；
（2）转化为求的最大值，利用余弦定理结合基本不等式即可得，最后根据三角形面积公式即可得到最值.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理可得，即，
则，
由余弦定理得.
又，所以.
【小问2详解】
因为是边的中点，
即，所以.
在中，，
由余弦定理得，
即，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即面积的最大值为.
16. 南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男､女性游客各100名，统计结果如下表所示：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？
（2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步､滑行､转弯､制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率.
附：.
【答案】（1）可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联
（2）
【解析】
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
小问1详解】
零假设为游客是否喜欢滑雪与性别无关联，
依题意可得，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.
【小问2详解】
令事件分别表示初学者对起步、滑行、转弯、制动达到优秀，
滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件，
所以
，
所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是.
17. 如图，在四棱台中，平面，2，，.
（1）记平面与平面的交线为，证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再证明平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法来求两平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以 .
因为平面，平面，所以，
在中，，，
由余弦定理可得
，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为，平面，所以平面，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，则 ，
令，得，，所以.
又是平面的一个法向量，
记平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18. 已知抛物线的准线为，焦点为为上异于原点且不重合的三点.
（1）求的方程；
（2）若为的重心，求的值；
（3）过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的准线方程即可求解；
（2）设，由为的重心，得 ,即，再根据抛物线的定义即可求解；
（3）设直线的方程为，，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导并根据导数的几何意义求解切线的斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可.
【小问1详解】
因为抛物线的准线为，
所以，
所以抛物线.
【小问2详解】
由（1）可知，焦点，
设，
因为为的重心，
所以,
所以，
即.
由抛物线的定义的.
【小问3详解】
显然直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
由，解得，
所以，即，
因为，则，
所以，
所以切线的方程为，
同理，切线的方程为，
联立两直线方程，解得，
即，
则点到直线的距离，
由，
化解得，
所以，
当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
19. 给定数列，若首项且，对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”.
（1）已知数列为“指数型数列”，若，求；
（2）已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（3）若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.
【答案】（1），
（2）是，证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
分析】（1）直接根据定义代入计算即可；
（2）根据“指数型数列"的定义可做判断，证明时利用递推式推出数列是等比数列，求出，再结合定义即可证明；
（3）由递推式可得，继而假设数列中存在三项构成等差数列，结合可推出矛盾，即可证明结论.
【小问1详解】
因为数列是“指数型数列”，所以对于任意的，
都有.因为，
所以，.
【小问2详解】
数列是“指数型数列”.
证明:由，得，即，
所以数列是等比数列，且，
则，
，
所以数列是“指数型数列”.
【小问3详解】
因为数列是“指数型数列”，故对任意的，
有，则，所以，
适合该式.
假设数列中存在三项构成等差数列，不妨设，
则由，得，
所以，
当为偶数且时，是偶数，而是奇数，是偶数，
故不能成立；
当为奇数且时，是偶数，而是偶数，是奇数，
故不能成立；
所以，对任意的，不能成立，
即数列中任意三项都不能构成等差数列.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是根据定义得，再对分奇偶数讨论，根据数论知识得到方程不成立.
对滑雪的喜爱情况
性别
合计
男性游客
女性游客
喜欢滑雪
60
35
95
不喜欢滑雪
40
65
105
合计
100
100
200
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828